【习题1】
三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？
【习题2】
五年级共110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加两个小组的有80人，参加了三个小组的有20人，那么五年级有多少人没有参加小组？
【习题3】
培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？
【习题4】
光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？
【习题5】
甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
【习题6】
五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？
【习题7】
唐僧西天取经共经历了难，其中单独渡过了难，与孙悟空一起渡过了难，与猪八戒一起渡过了难，与沙和尚一起渡过了难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？
【习题8】
有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？
【习题9】
参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么至少有 人参加这次竞赛．
【习题10】
参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么至少有 人参加这次竞赛．
【习题11】
某班有名学生，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．
第5讲：容斥原理——总结容斥原理中最常考的几种题型（小升初计数重点考查内容）练习题补充包答案
【习题1】
题目解析：
根据题意，三位经理一共买过股票：（只）．
【习题2】
题目解析：
使用文式图辅助分析，设没参加小组的为人，则在中，，，，而所谓“至少参加了两个小组的”即图中的阴影部分：，解得.从而列方程：，解得.
【习题3】
题目解析：
订阅报纸的有：（人）；
没有订报纸的有：（人）．
【习题4】
题目解析：
根据容斥原理，先把参加围棋比赛的人，参加中国象棋比赛的人与参加国际象棋比赛的人加起来，共是（人）．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的人，同时参加围棋和国际象棋的人与同时参加中国象棋和国际象棋的人减去，但是，同时参加了三种棋赛的人被加了次，又被减了次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：(人)．
实际上，若设总数为，满足一个条件的为，满足两个条件的为，满足三个条件的为，则有，本题中，，，从而.
【习题5】
题目解析：
块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组擦的；块玻璃不是乙组擦的，说明这块玻璃是甲、丙两组擦的．
如图，用圆表示乙、丙两组擦的块玻璃，圆表示甲、丙两组擦的块玻璃．因甲乙两组共擦了块玻璃，那么(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．(块)．丙组擦了块玻璃．乙组擦了：(块)玻璃，甲组擦了：(块)玻璃．
【习题6】
题目解析：
这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。
设三项活动都参加人数为x，根据题意得参加文艺小组的人数为7x，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x。如图可得，，所以：参加文艺小组的学生有7x=21人。
【习题7】
题目解析：
唐僧与徒弟共同渡过了难，设师徒四人共同渡过了难，根据容斥原理有
解得：
因此师徒四人共同渡过了难
【习题8】
题目解析：
答对题数的合计是：人.
为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于人.把这尽可能少分给一些人.
从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是人.
再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是61-57=4人.
这时，余下的答对题数的合计是：12-（4-2）×4=4.
答对3道题的人数是.
根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人.
所以至少有65人及格.
【习题9】
题目解析：
由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有人参加竞赛，但参加英语竞赛的有人，因此至少应该有人参加竞赛
【习题10】
题目解析：
由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有人参加竞赛，，，参加语文和英语竞赛的有人，参加语文和数学竞赛的有人，参加数学和英语竞赛的有人，符合题意，因此至少有人参加竞赛
【习题11】
题目解析：
根据题意可知，该班参加竞赛的共有人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次。要求参加两科的人数最多，则让这人次尽可能多地重复，而，所以至多有人参加两科，此时还有1人参加1科。
那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有人，参加语文、英语两科的共有人，参加数学、英语两科的共有人。也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加。检验可知符合题设条件。所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人。（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）下载本文
