知识引入：
一、最小公倍数
1.公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法：找最小公倍数方法：列举法、分解质因数法、短除法
（1）列举法分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。
例如：3和7
3的倍数有（ ），7的倍数有（ ），
3和7的公倍数有（ ），3和7的最小公倍数是（ ）。
用集合法表示3和7的倍数与公倍数为：
（2）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，相同质因数对齐写，独有的质因数单独写，然后相同的质因数取一个，独有的质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数。
例如：①24和20
24分解质因数（ ），20分解质因数（ ），
24和20的最小公倍数是（ ）。
②36和48
36分解质因数（ ），48分解质因数（ ），
36和48的最小公倍数是（ ）。
（2）短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所有的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。
例如：18和12 15和30 52和13 11和12
（5）特殊情况
1当两个数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。
2两个数是互质数时，两个数的积就是它们的最小公倍数。
二、通分
1.公分母：把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，其中最小的一个叫做最小公分母。
2.通分的意义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
3.通分的方法：通分时用原分母的公倍数作为公分母（常选用最小公倍数最为公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。
三、分数大小的比较
1.分母相同，分子不同，分子大的分数大。
2.分子相同，分母不同，分母小的分数大。
3.分子分母都不相同时：①根据分数基本性质(通分)转化成同分母分数再比较大小。
②根据分数基本性质转化成同分子分数再比较大小。
例如： 比较分数大小。
和 和 和 和
和 和 和 和
巩固练习
1.求最小公倍数。
16和40 54和72 45和15 11和8 2、7和9
2.比较大小。
（ ） 3（ ） （ ）
（ ） （ ） （ ）
3.判断。
（1）两个数的公倍数一定比这两个数都大。（ ）
（2）a和b的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数是ab。（ ）
（3）27和36的最小公倍数是它们最大公因数的12倍。（ ）
（4）两个不同的合数的最小公倍数一定不是这两个数的积。（ ）
（5）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。（ ）
（6）几个数的公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。（ ）
（7）通分时，只能用分母的最小公倍数作公分母。（ ）
（8）通分时分数值变大，约分时分数值变小。（ ）
（9）大于且小于的分数只有1个。
4.填空。
（1）a和b是两个自然数，a除以b（b≠0）的商正好是8，那么a和b的最小公倍数是（ ）。
（2）070以内，12的倍数有（ ），15的倍数有（ ），
12和15的公倍数有（ ），12和15的最小公倍数是（ ）。
（3）最小质数和最小合数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（4）一个数既是3的倍数，又是5和7的倍数，这个数最小是（ ）。
（5）能同时除以4,6,8三个数，商是整数没有余数的最小两位数是（ ）。
（6）如果A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5，则A、B、C的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5.选择。
（1）甲是乙的10倍，甲和乙的最小公倍数是（ ），甲和乙的最大公因数是（ ）。
A、10 B、甲 C、乙 D、甲×乙
（2）两个数的最大公因数是4，两个数的积是720，这两个数的最小公倍数是（ ）。
A、45 B、120 C、180 D、360
6.解答题。
（1）小明每3天去一次图书馆，小志每两天去一次图书馆，4月24日他们在图书馆相遇，那么下一次他们几月几日会在图书馆再次相遇？
（2）有一堆萝卜，平均分给若干只小兔子，不论是平均分给8只小兔子还是平均分给12只小兔子，都正好分完。这堆萝卜至少有多少个？
（3）甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿着600米的环形跑道在同一地点同时同方向出发，经过多长时间三人又同时从出发点出发？
（4）一个环形跑道长240米，甲乙丙三人同时从同一地点沿着同一方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？
（5）明明和强强在跑道上练习长跑，他们在同一地点同时出发，已知明明50秒能跑一圈，强强60秒能跑一圈，那么至少经过多少分他们能同时在出发点相遇？
（6）动物园正在举行竞走比赛，路程相同。长颈鹿用了小时走完全程，大象用了小时走完全程，梅花鹿用了小时走完全程，谁是冠军？
奥数思维拓展：
运用转化法解决有关最大公因数和最小公倍数的问题
1.渗透两种数学思想：推理思想、化归思想。
2.学习两类思维方法：转化法、排除法。
思维提升：
[例]已知两个数的最大公因数是7，最小公倍数是210。这两个数的和是77，求这两个数。
[分析]
如果将两个数都除以7，那么原题将变为“已知两个数的最大公因数是1，最小公倍数是30。这两个数的和是11，求这两个数。”
改变后两个数的乘积是30（两个数的公因数只有1时，它们的乘积是它们的最小公倍数），和是11。30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。由上式，知两个因数的和是11的只有5×6，且5与6的最大公因数是1。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个数是7×5＝35和7×6＝42。
[解答]
210÷7＝30 77÷7＝11 30＝5×6 11＝5＋6
5×7＝35 6×7＝42
答：这两个数是42。
[技巧]
已知两个数的最大公因数、最小公倍数与它们的和，求这两个数，先把最大公因数除以一个数变为1，最小公倍数也除以这个数，再把最小公倍数写成两个数相乘，根据两个数的和确定出这两个数是多少，最后看原来的最大公因数除以几，就把求得的两个数都乘几，即为要求的两个数
举一反三：
1.已知两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225。这两个数的和是120，求这两个数。
2.已知两个数的最大公因数是9，最小公倍数是135。这两个数的和是72，求这两个数。
3.已知两个数的和是108，最大公因数是12，最小公倍数是168。这两个数分别是多少？下载本文
