2012年普通高等学校招生全国统一试卷（广东卷）

数学（理科）

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体体积公式，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体体积公式，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，则复数           

A．　　　       B．              C．             D． 

2．设集合，，则

A．   B．  C． ．  

3．若向量，向量，则

A．         B．              C．            D． 

4．下列函数，在区间上为增函数的是

A．   B． C．   D． 

5．已知变量满足约束条件，则的最大值为

A．1B．11  C．3  D． 

6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．              B．                C．             D． 

7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

   A．                 B．                     C．                 D． 

8．对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，

a与b的夹角，且和都在集合中，则

A．                  B．1                     C．                 D． 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~ 13题）

9．不等式的解集为          ． 

10．中的系数为           ．（用数字作答）                     

11．已知递增的等差数列满足，，则        ．

12．曲线在点处的切线方程为             ．

13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为        ．

图2    

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线与的参数方程分别为

（t为参数）和（为参数），则曲线

与的的交点坐标为           ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆中的半径为1，

A、B、C是圆周上的三点，满足，过

点A作圆的切线与 O C 的延长线交于点P，则

图3   

         ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分分）

已知函数（其中）的最小正周期为．

（1）求的值；                

（2）设，，，求的值．

17．（本小题共13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图4所示，其中成绩分组区间是：

．

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的

人数记为，求的数学期望．

18．（本小题共13分）

如图5所示，在四棱锥中，底面ABCD

为矩形， 平面ABCD，点 E 在线段 PC 上， 

平面BDE．

（1）证明：平面；

   （2）若，求二面角的

正切值．

图5   

19．（本小题满分14分）

设数列的前n项和为，满足，且成等差数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有．

20．（本小题共14分） 

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率，且

椭圆C上的点到点的距离的最大值为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相

交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的

的面积；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

设，集合，，．

（1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数在D内的极值点．

参

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（一）必做题（9 ~ 13题）

9、      10、20      11、     12、      13、8

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

14、         15、

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（本题满分12分）

解：（1）由，可得：；

（2）由（1）得：，

，，

又∵，则．

而，，

又∵，则．

从而

17、（本题满分13分）

解：（1）由图可得：，解得：；

   （2）成绩在80分以上（含80分），低于90分的学生一共有：   人

        成绩在90分以上（含90分）的学生一共有：人

        于是成绩不低于80分的学生一共有9 + 3 = 12人．

        从而可能的取值为0,1,2；

 ； ； 

 的数学期望．

18、（本题满分13分）

解：（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴ 

 又∵平面BDE，平面BDE，∴ 

 而平面，平面，且，

 ∴平面

（2）∵平面，平面

  ∴，于是矩形ABCD是正方形

 ， 

 由平面BDE，平面BDE，

     ∴， 

 于是是二面角的平面角，

     又平面，平面，，

 从而．

     易知，在中有：，

     在中，，

     于是，从而二面角的平面角的正切值为3．

19、（本题满分14分）

解：（1）依题意有：，即，  ①

 由成等差数列，则有，  ②

① - ②得：， ；

（2）由得：

，即

从而有：， 

于是是首项为3，公比为3的等比数列，从而， 

， 

（3）当时，，不等式成立；

     当时，有：，即，则，

从而有，于是有：

20、（本题满分14分）

解：（1），，即，

于是椭圆方程为，

设椭圆C上任意一点P的坐标为，则

从而

当时，PQ取得最大值3，即，解得：，

从而，椭圆C的方程为：．

（2）设点与直线与圆相交于不同的两点A、B，

     则有：圆O到直线l的距离， 

          而，

     从而

     当且仅当，即时取等号．

     而点在椭圆C上，则有： 

     从而当，时，取得最大值，

     此时点M的坐标为：．

21、（本题满分14分）

解：（1）设，

        判别式，

1当时，即，的解集为R，

从而；

2当时，，的解集为

，

当时，，

，

从而；

而当时， 

于是有：，

从而．

（2）

    ① 当时，，

  在处取得极大值，在处取得极小值；

2当时，，

∵

由可得： 

从而没有极值点；

     ③ 当时，，

∵

∴

而

对于

由可得：

从而可得： 

         于是，在处取得极大值．下载本文