一、选择题（每题4分，共40分）

1．（4分）下列各点在函数y＝x2﹣1图象上的是（　　）

A．（0，0） B．（1，1） C．（0，﹣1） D．

2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣2

3．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）

A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2

5．（4分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4    

C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4

6．（4分）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）

A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0

7．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　）

A．2018 B．﹣2018 C．2020 D．﹣2020

8．（4分）下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　）

A．开口向下    

B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）    

C．与y 轴相交于点（0，﹣3）    

D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小

9．（4分）设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）

A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3

10．（4分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）

A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0    

C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0

二、填空题（每题4分，共24分）

11．（4分）方程x2﹣4＝0的解是 　   　．

12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：

13．（4分）2021年是中国党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 　   　．

14．（4分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　   　m．

15．（4分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　   　．

16．（4分）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为 　   　．

三、解答题（9小题，共86分）

17．（6分）用你喜欢的方法解方程：x2﹣5x+1＝0．

18．（10分）（1）计算：；

（2）解不等式组：．

19．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．

（1）求这个函数解析式；

（2）在直角坐标系，画出它的图象．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围．

（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．

（1）求线段AB的长；

（2）我们将平面内的点与三角形的位置关系分为三类：①点在三角形的内部；②点在三角形的边上；③点在三角形的外部．

若，判断抛物线y＝ax2+bx的顶点D与△AOB的位置关系，并说明理由．

22．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．

（1）第二轮被传染上流感人数是 　   　；（用含x的代数式表示）

（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．

23．（10分）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．

（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 　   　元，此时大份装每天可售出 　   　份．每天能否获利2768元？若能，求出m值；若不能，请说明理由．

24．（12分）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）．

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数．x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3﹣b＝0的两个根，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．

25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线C的解析式；

（2）当m≤x≤m+4时，﹣4≤y≤5，求m的值；

（3）直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C交于M、N两点（点M在点N的左侧），点P（1，﹣6），连接NP交抛物线C于另一点Q，求证：点M与点Q关于直线x＝1对称．

2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）第一次月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题4分，共40分）

1．（4分）下列各点在函数y＝x2﹣1图象上的是（　　）

A．（0，0） B．（1，1） C．（0，﹣1） D．

【分析】把所给点的坐标代入函数解析式判断即可．

【解答】解：∵y＝x2﹣1，

∴当x＝0时，y＝﹣1≠0，故点（0，0）不在函数图象上，

当x＝1时，y＝﹣12+1＝0≠1，故点（1，1）不在函数图象上，

当x＝0时，y＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数图象上，

当x＝时，y＝﹣≠0，故点（0，0）不在函数图象上，

故选：C．

2．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣2

【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．

【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0

x1＝0，x2＝2．

故选：A．

3．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝2，则实数k的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝2代入原方程得到关于k的一元二次方程，然后解此方程即可．

【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣kx﹣6＝0，得4﹣2k﹣6＝0，

解得k＝﹣1．

故选：B．

4．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）

A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2

【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，从而得出答案．

【解答】解：∵x2﹣6x﹣7＝0，

∴x2﹣6x＝7，

则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，

故选：B．

5．（4分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4    

C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4

【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．

【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．

故选：A．

6．（4分）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）

A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0

【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．

【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；

B．此方程的解为x＝，不符合题意；

C．此方程的解为x＝，符合题意；

D．此方程的解为x＝，不符合题意；

故选：C．

7．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a+b+ab的值为（　　）

A．2018 B．﹣2018 C．2020 D．﹣2020

【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．

【解答】解：根据题意得a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，

所以a+b+ab＝﹣1﹣2019＝﹣2020．

故选：D．

8．（4分）下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（　　）

A．开口向下    

B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）    

C．与y 轴相交于点（0，﹣3）    

D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小

【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：A、∵a＝﹣1＜0，

∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；

B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；

C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，

所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；

D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，

∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；

故选：C．

9．（4分）设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　）

A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3

【分析】当p＝0，易得α＝2，β＝3，当p≠0，对于（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0有两不等根，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，利用y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）得到α＜2，β＞3．

【解答】解：当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，

当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以α＜2，β＞3，

综上所述，α≤2且β≥3．

故选：B．

10．（4分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）

A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0    

C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0

【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．

【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，

可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c＝＝5，此时c2﹣16＞0．故A错误．

B、正确．

理由：∵M1＝1，M2＝0，

∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，

∵a，b，c是正实数，

∴a＝2，

∵b2＝ac，

∴c＝b2，

对于y3＝x2+cx+4，

则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，

∴M3＝0，

∴选项B正确，

C、错误．由M1＝0，M2＝2，

可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．

D、由M1＝0，M2＝0，

可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．

故选：B．

二、填空题（每题4分，共24分）

11．（4分）方程x2﹣4＝0的解是 　x1＝2，x2＝﹣2　．

【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．

【解答】解：x2﹣4＝0，

移项得：x2＝4，

两边直接开平方得：x1＝2，x2＝﹣2，

故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．

12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：

【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决．

【解答】解：由表格可得，

该函数的对称轴是：直线x＝＝，

故答案为：直线x＝．

13．（4分）2021年是中国党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 　10（1+x）2＝12.1　．

【分析】利用5月份的参观人数＝3月份的参观人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12.1．

故答案为：10（1+x）2＝12.1．

14．（4分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　10　m．

【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．

【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

故答案为：10

15．（4分）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　．

【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．

【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），

∴顶点到x轴的距离为4，

∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，

∴m＝4，

故答案为：4．

16．（4分）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为 　2　．

【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．

【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，

∴，

由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，

∵ab的最大值为9，

∴k＜0，﹣＝9，

解得k＝﹣，

把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，

∴c＝2，

故答案为：2．

三、解答题（9小题，共86分）

17．（6分）用你喜欢的方法解方程：x2﹣5x+1＝0．

【分析】利用公式法求解即可．

【解答】解：x2﹣5x+1＝0，

这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，

∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝．

18．（10分）（1）计算：；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）利用分式的混合运算法则运算即可；

（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．

【解答】解：（1）原式＝

＝

＝

＝1；

（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，

不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，

它们的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为：x≥3．

19．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．

（1）求这个函数解析式；

（2）在直角坐标系，画出它的图象．

【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（0，3）代入计算即可确定出抛物线解析式；

（2）在平面直角坐标系中画出抛物线图象即可．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，

将（0，3）代入得：a+4＝3，即a＝﹣1，

则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图所示；

．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围．

（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值．

【分析】（1）根据题意可得根的判别式Δ＞0，列出不等式求解即可；

（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝5，把x1＝5代入，求出方程的另一个根．

【解答】解：（1）根据题意得，Δ＝9﹣4m＞0，

解得，m＜；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝3，

∵x1＝5，

∴x2＝﹣2．

21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．

（1）求线段AB的长；

（2）我们将平面内的点与三角形的位置关系分为三类：①点在三角形的内部；②点在三角形的边上；③点在三角形的外部．

若，判断抛物线y＝ax2+bx的顶点D与△AOB的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求AB的长即可；

（2）先求抛物线的解析式y＝﹣x2+x，从而D点坐标，再确定D点的位置即可．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝5，

∴B（0，5），

当y＝0时，x＝10，

∴A（10，0），

∴AB＝5；

（2）∵，

∴y＝﹣x2+bx，

将A（10，0）代入，可得﹣5+10b＝0，

解得b＝，

∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+，

∴D（5，），

当x＝5时，﹣5+5＝，

∵＜，

∴顶点D在△AOB的内部．

22．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．

（1）第二轮被传染上流感人数是 　x（x+1）　；（用含x的代数式表示）

（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．

【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数＝在每轮的传染中平均一个人传染的人数×（第一轮被传染上流感人数+1），即可用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；

（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数＝1+第一轮被传染上流感人数+第二轮被传染上流感人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由其正值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．

【解答】解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人，

∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）．

故答案为：x（x+1）．

（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：

依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，

整理得：x2﹣2x﹣80＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣8（不合题意，舍去），

∵x1＝10为正整数，

∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生．

23．（10分）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．

（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利 　（20+m）　元，此时大份装每天可售出 　（30+4m）　份．每天能否获利2768元？若能，求出m值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据题意直接计算即可；

（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；根据小份装利润+大份装利润＝2768列出一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）该店总利润为＝30×（100﹣60）+70（60﹣40）＝1200+1400＝2600（元），

∴该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；

（2）①小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元，

利润为60+m﹣40＝（20+m）元，

小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份，

则目前每天销售小份菜（70﹣4m）份，

因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份，

则大份菜销量为100﹣（70﹣4m）＝（30+4m）份．

∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份，

故答案为：（20+m），（30+4m）；

∵大份装多售出4m份，

∴大份装降价＝2m元，

根据题意得：（20+m）×（70﹣4m）+（40﹣2m）×（30+4m）＝﹣12m2+90m+2600＝2678，

解得：m1＝4，m2＝3.5，

∵m为整数，

∴m＝4．

每天能获利2768元，此时m＝4．

24．（12分）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）．

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根都是整数．x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程mx2+（3m+1）x+3﹣b＝0的两个根，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．

【分析】（1）利用△求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；

（2）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程x2+4x+3﹣b＝0的两个根，利用根与系数的关系得到x1+x1+n＝﹣4，即x1＝﹣，代入代数式化简即可求出答案．

【解答】解：（1）∵由题意可知Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2≥0，

∴方程有两个实数根；

（2）设关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0（m≠0）的两个根为a，b，

∴a+b＝﹣＝﹣3﹣，ab＝，

∵a与b是整数，

∴与同为整数，

∵m是正整数，

∴m＝1，

∴方程为x2+4x+3＝0，

∴x1与x1+n（n≠0）分别是关于x的方程x2+4x+3﹣b＝0的两个根，

∴x1+x1+n＝﹣4，

∴x1＝﹣，

∴原式＝4（﹣）2+12n（﹣）+5n2+16n+8＝24．

25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线C的解析式；

（2）当m≤x≤m+4时，﹣4≤y≤5，求m的值；

（3）直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C交于M、N两点（点M在点N的左侧），点P（1，﹣6），连接NP交抛物线C于另一点Q，求证：点M与点Q关于直线x＝1对称．

【分析】（1）利用待定系数法求解．

（2）先确定函数最小值为y＝﹣4，然后分类讨论x＝m时y取最大值与x＝m+4时y取最大值，进而求解．

（3）将图象先向左平移1个单位，通过一元二次方程根与系数的关系求出M'与Q'关于y轴对称，进而求解．

【解答】解：（1）将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴x＝1时，y＝﹣4，

∵﹣4≤y≤5，

∴m≤1≤m+4，

解得﹣3≤m≤1，

当x＝m，y＝5时，5＝m2﹣2m﹣3，

解得m＝4（舍）或m＝﹣2．

当m＝﹣2时，m+4＝2，把x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，满足题意．

当x＝m+4，y＝5时，5＝（m+4）2﹣2（m+4）﹣3，

解得m＝0或m＝﹣6（舍）．

当m＝0时，把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，满足题意．

综上所述，m＝﹣2或m＝0．

（3）证明：将直线y＝kx﹣k﹣2（k＞0）与抛物线C与点P（1，﹣6）向左平移一个单位可得：

直线y＝kx﹣2，抛物线y＝x2﹣4，点P'（0，﹣6），

设M'（m，m2﹣4），N'（n，n2﹣4），Q'（q，q2﹣4），

令x2﹣4＝kx﹣2整理得x2﹣kx+﹣2＝0，

∴mn＝﹣2，

∵点P'坐标为（0，﹣6），

∴设直线P'N'解析式为y＝ax﹣6，

令ax﹣6＝x2﹣4，整理得x2﹣ax+2＝0，

∴qn＝2，

∵mn+qn＝（m+q）n＝﹣2+2＝0，且n≠0，

∴m+q＝0，

即点M'，Q'关于y轴对称，

将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线x＝1对称．下载本文