一、选择题
1．﹣|﹣2|的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 ． D．2
2．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy ．5x2•x3=5x5 ．4x8÷2x2=2x4 ．（﹣x3）2=x5
4．下列说法不正确的是（ ）
A．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件
B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件
C．“在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于随机事件
D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件
5．直角坐标平面上将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）
A．（0，0） ．（1，﹣1） ．（0，﹣1） ．（﹣1，﹣1）
6．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A．60° ．75° ．85° ．90°
8．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线在半径OC，劣弧，半径DO上作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015= ．
10．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BDC的度数为 °．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=62°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则∠AEC= ．
13．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 ．
14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣3）x+k2﹣9=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
17．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=，求弦AD的长．
19．如图，一次函数y=﹣2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
20．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）．
21．（10分）（2016•洛阳模拟） 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
22．（10分）（2016•洛阳模拟）如图，平面内有一等腰直角三角形ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，小明同学过点C作BF的垂线，如图1，利用三角形全等证得AF+BF=2CE．
（1）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为 ．
23．（11分）（2016•洛阳模拟）如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．
①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；
②若S为整数，则这样的M点有 个．
2016年河南省洛阳市中考数学模拟试卷（中招备考）
参与试题解析
一、选择题
1．﹣|﹣2|的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 ． D．2
【考点】相反数；绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于他的相反数，可得绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣|﹣2|的相反数是2，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，先求绝对值，再求相反数．
2．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy ．5x2•x3=5x5 ．4x8÷2x2=2x4 ．（﹣x3）2=x5
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、正确；
C、4x8÷2x2=2x6，选项错误；
D、（﹣x3）2=x6，选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方，合并同类项法则，正确理解指数的计算是关键．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件
B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件
C．“在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于随机事件
D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件，说法正确，不合题意；
“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件，说法正确，不合题意；
“在标准大气压下，当温度降到﹣5℃时，水结成冰”属于必然事件，不是随机事件，说法错误，符合题意；
“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，说法正确，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．直角坐标平面上将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）
A．（0，0） ．（1，﹣1） ．（0，﹣1） ．（﹣1，﹣1）
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据函数图象平移的法则求出函数图象平移后的解析式，再求出其顶点坐标即可．
【解答】解：∵由函数图象平移的法则可知，将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为：y=（x+1）2﹣1，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
6．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．
A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得扇形的半径，进而利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的半径为=2厘米，
∴扇形的弧长为=π厘米，
∴这个圆锥的底面半径为π÷2π=厘米，
故选B．
【点评】用到的知识点为：扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A．60° ．75° ．85° ．90°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°，即∠BAC的度数为85°．
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．
8．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线在半径OC，劣弧，半径DO上作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意可知点P的运动分为3部分，P在线段OC上，P在上，P在线段OD上，对应y的值先减少，然后根据圆周角定理可知y的值不变，最后y的值增大．
【解答】解：点P在线段OC上时，
∠APB的度数y随时间x的增大而减少，
当点P在上时，
∠APB=∠AOB=45°，
此时∠APB的度数不变，
当点P在线段OD上时，
∠APB的度数y随时间x的增大而增大，
故选（C）
【点评】本题考查函数图象，解题关键是根据题意分析∠APB的变化趋势．
二、填空题
9．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015= ﹣1 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得m、n的值，根据负数奇数次幂是负数，可得答案．
【解答】解：由点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=﹣3，n=2．
（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的则两点的横、纵坐标都是互为相反数，注意负数奇数次幂是负数．
10．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 10 ．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， =0.2，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BDC的度数为 40 °．
【考点】圆周角定理．
【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，根据圆的内接四边形，即可求得∠BAD的度数，由AC平分∠BAD得出∠BAC，再由圆周角定理即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=80°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=40°，
∴∠BDC=∠BAC=40°；
故答案为：40．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理．熟练掌握圆的内接四边形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=62°，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q．
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则∠AEC= 56° ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题意可以求得∠B和∠EAB的度数，由∠AEC=∠B+∠EAB，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
EQ是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠B=∠EAB，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=62°，
∴∠B=28°，
∴∠B=∠EAB=28°，
∵∠AEC=∠B+∠EAB，
∴∠AEC=56°，
故答案为：56．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 x=﹣3 ．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求
函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．
【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1=﹣，
∴x=﹣3，
∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．
14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【考点】切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
【分析】连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，则根据弧长公式可得=，解得r=2，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE进行计算即可．
【解答】解：连结AC，如图，设半径为r，
∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，
而AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2=45°，
∵的长为，
∴=，解得r=2，
在Rt△ACD中，∵∠2=45°，
∴AC=CD=2，
∴S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE×2×2﹣=2﹣．
故答案为2﹣．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式．
15．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，
∴BD=CD′=，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣3）x+k2﹣9=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）直接判断△=b2﹣4ac＞0，进而得出答案；
（2）将x=0代入方程求出k的值，进而解方程得出答案．
【解答】解：（1）△=b2﹣4ac=[2（k﹣3）]2﹣4（k2﹣9）=﹣24k+72＞0，
解得：k＜3；
（2）当0是方程的根，则k2﹣9=0，
解得：k1=3（不合题意舍去），k2=﹣3，
故x2﹣12x=0，
解得：x1=12，x2=0，
故它的另一个根为12．
【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解，正确得出k的值是解题关键．
17．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到 70 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
故答案为：70；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为： =．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=，求弦AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）由同圆的半径相等和角平分线证出∠OTA=∠CAT，得出OT∥AC，由PQ⊥AC，证出PQ⊥OT，即可得出结论；
（2）由垂径定理得出AE=DE，由勾股定理求出AE，即可得出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OT，如图1所示：
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∵AT平分∠BAD，
∴∠OAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PQ⊥AC，
∴PQ⊥OT，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，∠AEO=90°，
∴AE===1，
∴AD=2AE=2．
【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行线的判定；熟练掌握圆的有关性质，证明平行线和运用垂径定理是解决问题的关键．
19．如图，一次函数y=﹣2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=﹣2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，反比例函数的图象在一次函数图象上方．
（3）求得直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=﹣2x+8得6=﹣m+8，n=﹣2×3+8，解得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
把A（1，6）代入y=求得k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围是0＜x＜1或x＞3．
（3）由直线y=﹣2x+8可知与x轴的交点为（4，0），
∴S△AOB=×4×6﹣×4×2=8．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．
20．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】BE=FG，应根据三角函数值先求得斜坡的高度，再得到AF、AG的值，进而求解．
【解答】解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，则在Rt△ABG中，∠BAD=60°，AB=40，
所以就有BG=AB•Sin60°=20，AG=AB•Cos60°=20，
同理在Rt△AEF中，∠EAD=45°，
则有AF=EF=BG=20，
所以BE=FG=AF﹣AG=20（﹣1）米．
故BE至少是20（﹣1）米．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．
21．（10分）（2016•洛阳模拟） 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3=0，
解得a=﹣，
则抛物线是y=﹣（x﹣4）2+3，
当x=0时，y=﹣×16+3=3﹣=＜2.44米，
故能射中球门；
（2）当x=2时，y=﹣（2﹣4）2+3=＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y=2.52时，y=﹣（x﹣4）2+3=2.52，
解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），
∴2﹣1.6=0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
22．（10分）（2016•洛阳模拟）如图，平面内有一等腰直角三角形ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，小明同学过点C作BF的垂线，如图1，利用三角形全等证得AF+BF=2CE．
（1）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为 BF﹣AF=2CE ．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，易证△CBG≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE；
（2）过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BF﹣AF=2CE．
【解答】解：（1）AF﹣BF=2CE
图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，
∵AC=BC
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG和△CAE中，
，
∴△CBG≌△CAE（AAS），
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF﹣BF=2CE；
（2）BF﹣AF=2CE；
如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，
∵AC=BC
可得∠AEC=∠CDB，
∠ACE=∠BCD，
在△CBD和△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，
∵AF=AE﹣EF，
∴AF=BD﹣CE=BF﹣FD﹣CE=BF﹣2CE，
∴BF﹣AF=2CE．
故答案为：BF﹣AF=2CE．
【点评】此题考查几何变换问题，全等三角形的判定和性质，正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．
23．（11分）（2016•洛阳模拟）如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．
①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；
②若S为整数，则这样的M点有 3 个．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设交点式y=a（x+2）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式可得C的坐标；
（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，利用待定系数法求出直线AB的解析式，则可设M（t，﹣ t2+t+4），则N（t，﹣t+4），于是用t可表示出MN，再利用S=S△BMN+S△AMN=•4•MN得到S与m的二次函数，然后根据二次函数的性质求解；
②在t的取值范围内找出整数使对应的函数值为整数即可确定M点的位置．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把B（0，4）代入得a•2•（﹣4）=4，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4），即y=﹣x2+x+4；
∵y=﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，）；
（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，
设AB的解析式为y=mx+n，把B（0，4）、A（4，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，
设M（t，﹣ t2+t+4），则N（t，﹣t+4），
∴MN=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t，
∴S=S△BMN+S△AMN=•4•MN=•4•（﹣t2+2t）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；
②∵0＜t＜4，
∴当t=1、2、3时，S为整数，
即这样的M点有3个．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
