一、选择题
1．若等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
2．以下命题，正确的是（ ）. A ．对角线相等的菱形是正方形 B ．对角线相等的平行四边形是正方形 C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于AD 边上一点E ，且
4BE =，3CE =，则AB 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．2.5
4．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，
下列结论：
（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有 A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．若函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，则函敷2y x k =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6．如图，菱形中，分别是的中点，连接，则的周长为（）
A．B．C．D．
7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
8．函数的自变量取值范围是( )
A．x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3且x≠0D．x＞﹣3且x≠0 9．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）
A．10B．C．8D．41
10．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．不能确定 11．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A ．2，3，4
B ．7，24，25
C ．8，12，20
D ．5，13，15
12．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A 放在距离墙根C 点0.7米处，另一头B 点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑（ ）米
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.7
D ．0.8
二、填空题
13．45与最简二次根式321a -是同类二次根式，则a ＝_____． 14．若2(3)x -=3-x ，则x 的取值范围是__________．
15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、E 的面积分别为2，5，1，10．则正方形D 的面积是______．
16．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____________米.
17．在ABC ∆中,
13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 18．某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶汽在行驶过程中，油箱的余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的关系如下表： t （小时） 0 1 2 3 y （升）
100
92
84
76
由表格中y 与t 的关系可知，当汽车行驶________小时，油箱的余油量为0．
19．已知点M (1,a )和点N (2,b )是一次函数y =-2x +1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是_________．
20．已知3a b +=，2ab =，则
a b
b a
+
的值为_________． 三、解答题
21．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；
（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）
22．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，若DE=3，求B C 的长.
23．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE=CF ，求证：AF=CE ．
24．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm ）.请你用所学过的有关统计知识，回答下列问题（数据：15，16，16，14，14，15的方差2
2
3
S =甲，数据：11，15，18，17，10，19的方差2
353
S =
乙： （1）分别求甲、乙两段台阶的高度平均数；
（2）哪段台阶走起来更舒服？与哪个数据（平均数、中位数、方差和极差）有关？
25．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：
商品名称甲乙
进价(元/件)4090
售价(元/件)60120
设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式；
(Ⅱ)该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，
①至少要购进多少件甲商品？
②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
【参】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=1
2
BC=3，
AD同时是BC上的高线，∴AB22
AD BD
故它的腰长为5.
故选C.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】
A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；
B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题， 故选：A ． 【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由▱ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于AD 边上一点E ，易证得△ABE ，△CDE 是等腰三角形，△BEC 是直角三角形，则可求得BC 的长，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∴∠AEB=∠CBE ，∠DEC=∠BCE ，∠ABC+∠DCB=90°， ∵BE ，CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，
∴∠ABE=∠CBE=
12∠ABC ，∠DCE=∠BCE=1
2
∠DCB ， ∴∠ABE=∠AEB ，∠DCE=∠DEC ，∠EBC+∠ECB=90°， ∴AB=AE ，CD=DE ， ∴AD=BC=2AB ， ∵BE=4，CE=3，
∴2222345BE CE =+=+， ∴AB=
1
2
BC=2.5.
故选D ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△ABE ，△CDE 是等腰三角形，△BEC 是直角三角形是关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF 易得AF=DE ，根据“SAS”可判断△ABF ≌△DAE ，所以AE=BF ；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD ， 利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE ⊥BF ；连结BE ，BE ＞BC ，BA≠BE ，而BO ⊥AE ，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE ；最后根据△ABF ≌△DAE 得S △ABF =S △DAE ，则S △ABF -S △AOF =S △DAE -S △AOF ，即S △AOB =S 四边形DEOF ．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD=DC ，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF ，
∴AF=DE ，
在△ABF 和△DAE 中
AB DA BAD ADE AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DAE ，
∴AE=BF ，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD ，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE ⊥BF ，所以（2）正确；
连结BE ，
∵BE ＞BC ，
∴BA≠BE ，
而BO ⊥AE ，
∴OA≠OE ，所以（3）错误；
∵△ABF ≌△DAE ，
∴S △ABF =S △DAE ，
∴S △ABF -S △AOF =S △DAE -S △AOF ，
∴S △AOB =S 四边形DEOF ，所以（4）正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐项判断即可求解.
【详解】
∵函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，
∴k ＞0，
∵一次函数2y x k =+，
∴1k =1＞0，b=2k ＞0，
∴此函数的图像经过一、二、四象限；
故答案为C.
【点睛】
本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像特点是解题的关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据菱形的性质证明△ABE ≌△ADF ，然后连接AC 可推出△ABC 以及△ACD 为等边三角形．根据等边三角形三线合一的性质又可推出△AEF 是等边三角形．根据勾股定理可求出AE 的长，继而求出周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2cm ，∠B ＝∠D ，
∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，
∴BE ＝DF ，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
连接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，BE=AB=1cm，
∴△AEF是等边三角形，AE＝，
∴周长是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理，涉及知识点较多，也考察了学生推理计算的能力.
7．D
解析：D
【解析】
试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】【详解】
由题意得：x+3＞0，
解得：x＞－3．
故选B．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5；当s=40时，点P到达点D处，根据三角形BCD的面积可求出BC的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，
∴DE=CE=1
2 CD，
当s=40时，点P到达点D处，
则S=1
2
CD•BC=
1
2
（2AB）•BC=5×BC=40，
∴BC=8，
∴AD=AC2222
58
AB BC
++=
故选B．
【点睛】
本题以动态的形式考查了函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识.准确分析图象，并结合三角形的面积求出BC的长是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由矩形ABCD可得：S△AOD=1
4
S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC的长，则可求
得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA •PE+12
OD •PF ，代入数值即可求得结果．
【详解】 连接OP ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝
12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝14
S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝
12
AC ， ∵AB ＝15，BC ＝20， ∴AC 22AB BC +221520+25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14
×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝252
， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝
12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12
×252（PE +PF ）＝75，
∴PE +PF ＝12． ∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．
故选B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
11．B
解析：B
【解析】
试题解析：A 、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；
B 、∵72+242=252，∴能构成直角三角形；
C 、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；
D 、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．
故选B ．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵AB =2.5米，AC =0.7米，∴BC （米）．
∵梯子的顶部下滑0.4米，∴BE =0.4米，∴EC =BC ﹣0.4=2（米），
∴DC （米），
∴梯子的底部向外滑出AD =1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、填空题
13．3【解析】【分析】先将化成最简二次根式然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程解出即可【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式∴解得：故答案为：【点睛】本题考查了最简二次根式的化简以及 解析：3
【解析】
【分析】
化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a 的方程，解出即可．
【详解】
=
与最简二次根式
∴215a -=，解得：3a =
故答案为：3
【点睛】
本题考查了最简二次根式的化简以及同类二次根式等知识点，能够正确得到关于a 的方程是解题的关键．
14．【解析】试题解析：∵=3﹣x∴x -3≤0解得：x≤3
解析：3x ≤
【解析】
﹣x ， ∴x -3≤0，
解得：x≤3，
15．2【解析】【分析】设中间两个正方形和正方形D的面积分别为xyz然后有勾股定理解答即可【详解】解：设中间两个正方形和正方形D的面积分别为xyz则由勾股定理得：x＝2+5＝7；y＝1+z；7+y＝7+1
解析：2
【解析】
【分析】
设中间两个正方形和正方形D的面积分别为x，y，z，然后有勾股定理解答即可．
【详解】
解：设中间两个正方形和正方形D的面积分别为x，y，z，
则由勾股定理得：
x＝2+5＝7；
y＝1+z；
7+y＝7+1+z＝10；
即正方形D的面积为：z＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16．【解析】在Rt△ABC中AB=5米BC=3米∠ACB=90°∴AC=∴AC+BC=3+4=7米故答案是：7
解析：【解析】
在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
4
=
∴AC+BC=3+4=7米．
故答案是：7．
17．60【解析】【分析】根据题意可以判断为等腰三角形利用勾股定理求出AB 边的高即可得到答案【详解】如图作出AB边上的高
CD∵AC=BC=13AB=10∴△ABC是等腰三角形∴AD=BD=5根据勾股定理C
解析：60
【解析】
【分析】
∆为等腰三角形，利用勾股定理求出AB边的高，即可得到答案.根据题意可以判断ABC
【详解】
如图作出AB边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD=BD=5，
根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2， 22135-，
12ABC S
CD AB =⋅=112102
⨯⨯=60， 故答案为：60.
【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.
18．5【解析】【分析】由表格可知开始油箱中的油为100L 每行驶1小时油量减少8L 据此可得y 与t 的关系式【详解】解：由题意可得：y=100-8t 当y=0时0=100-8t 解得：t=125故答案为：125【
解析：5
【解析】
【分析】
由表格可知，开始油箱中的油为100L ，每行驶1小时，油量减少8L ，据此可得y 与t 的关系式．
【详解】
解：由题意可得：y=100-8t ，
当y=0时，0=100-8t
解得：t=12.5．
故答案为：12.5．
【点睛】
本题考查函数关系式．注意贮满100L 汽油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t 的值．
19．a>b 【解析】【分析】【详解】解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2∴该函数中y 随着x 的增大而减小∵1＜2∴a＞b 故答案为a ＞b 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征
解析：a >b
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，
∴该函数中y 随着x 的增大而减小，
∵1＜2，∴a ＞b ．
故答案为a ＞b ．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征．
20．【解析】【分析】先把二次根式进行化简然后把代入计算即可得到答案
【详解】解：=∵∴原式=；故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运
【解析】
【分析】
先把二次根式进行化简，然后把3a b +=，2ab =，代入计算，即可得到答案.
【详解】
b a
=+
=(a b ab
+， ∵3a b +=，2ab =，
∴原式=
3=22；
故答案为：
2
. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）四边形EFGH 是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH 是正方形.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH=FG 即可． （2）四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC=BD ，再证明EF=FG 即可． （3）四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP=∠
（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=1
2 BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=1
2 BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=1
2
AC，FG=
1
2
BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．
22．【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得AC=2DE=6，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长即可.
【详解】
∵D、E是AB、BC的中点，DE=3
∴AC=2DE=6
∵∠A=90°，∠B=30°
∴BC=2AC=12.
【点睛】
此题主要考查了三角形中位线定理以及30°的角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握定理是解题的关键.
23．见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24．（1）甲台阶高度的平均数15，乙台阶高度的平均数15；（2）甲段路走起来更舒服一些；（3）每个台阶高度均为15cm，游客行走更舒服．
【解析】
分析：（1）根据图中所给的数据，利用平均数公式求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差和极差的特征回答即可；
（3）结合方差，要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小，据此提出合理性的整修建议.
详解：（1）甲台阶高度的平均数：（15+16+16+14+14+15）÷6=15，
乙台阶高度的平均数：（11+15+18+17+10+19）÷6=15.
（2）甲段路走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．
（3）每个台阶高度均为15cm （原平均数）使得方差为0，游客行走更舒服．
点睛：本题主要考查中位数的概念、平均数计算公式以及方差的计算.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定.反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在本题中，根据题意求出方差，进而利用方差的意义进行分析即可.
25．(Ⅰ)103000y x =-+；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x 的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.
【详解】
(Ⅰ)根据题意得：()()()604012090100103000y x x x =-+--=-+
则y 与x 的函数关系式为103000y x =-+．
(Ⅱ)()40901008000x x +-≤，解得20x ≥．
∴至少要购进20件甲商品．
103000y x =-+，
∵100-<，
∴y 随着x 的增大而减小
∴当20x 时，y 有最大值，102030002800y =-⨯+=最大．
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.下载本文
