一.选择题

1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是

A．∠A=30° ．AC= ．AB=2 ．AC=2

2．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向

A．向上 ．向下 ．向左 ．向右

3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为

A．﹣2 ．﹣3 ．2 ．3

4．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为

A．M在⊙O上 ．M在⊙O内 ．M在⊙O外 ．M在⊙O右上方

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为

A．26° ．° ．52° ．128°

6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是

A．ac＞0 ．当x＞﹣1时，y＜0 ．b=2a ．9a+3b+c=0

二.填空题

7．如果：，那么：=__________．

8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为__________．

9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是__________．

10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=__________．

11．计算：2（3+4）﹣5=__________．

12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为__________．

13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是__________．

14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=__________．

15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1__________y2．

16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为__________．

17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为__________．

18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．

三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）

19．计算：﹣．

20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．

21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．

（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）

22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）

23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：

（1）△BCD与△ACD的面积比；

（2）△ABC的各内角度数．

24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．

（1）求证：=；

（2）若EF∥CD，求DE的长度．

25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？

（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；

（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；

（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．

26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，

（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．

（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；

（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．

（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．

2016年上海市宝山区中考数学一模试卷

一.选择题

1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是

A．∠A=30° ．AC= ．AB=2 ．AC=2

【考点】解直角三角形． 

【专题】探究型．

【分析】根据在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，可以得到AC、BC的长，同时tanA=，tan30°=，可以判断∠A是否等于30°，从而可以得到问题的答案．

【解答】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，tanA=，

∴AC=，

∴AB=，

∵tanA=，tan30°=，

∴∠A≠30°，

故选D．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系，进而判断选项是否正确．

2．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向

A．向上 ．向下 ．向左 ．向右

【考点】二次函数的性质． 

【专题】探究型．

【分析】根据抛物线y=﹣4x2+5，可知二次项系数是﹣4，从而可以得到该函数的开口方向．

【解答】解：∵抛物线y=﹣4x2+5，﹣4＜0，

∴该抛物线的开口向下，

故选B．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由二次项系数可以判断抛物线的开口方向．

3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为

A．﹣2 ．﹣3 ．2 ．3

【考点】*平面向量． 

【分析】由ED∥BC，可证得△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得ED：BC=1：3，则可得=﹣，又由BC=6，即可求得的模．

【解答】解：∵ED∥BC，

∴△AED∽△ABC，

∴ED：BC=AE：AB，

∵AE：BE=1：2，

∴AE：AB=1：3，

∴ED：BC=1：3，

∴=﹣，

∵BC=6，

∴||=||=2．

故选C．

【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意利用相似三角形的性质，求得=是解此题的关键．

4．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为

A．M在⊙O上 ．M在⊙O内 ．M在⊙O外 ．M在⊙O右上方

【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质． 

【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【解答】解：OM==5，

OM=r=5．

故选：A．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为

A．26° ．° ．52° ．128°

【考点】圆心角、弧、弦的关系． 

【分析】先利用互余计算出∠B=°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．

【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，

∴∠B=°，

∵CB=CD，

∴∠CDB=∠B=°，

∴∠BCD=180°﹣°﹣°=52°，

∴的度数为52°．

故选：C．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是

A．ac＞0 ．当x＞﹣1时，y＜0 ．b=2a ．9a+3b+c=0

【考点】二次函数图象与系数的关系． 

【分析】A、由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置即可确定a、c的符号；

B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，x的取值范围；

C、根据抛物线的对称轴直接得出答案；

D、根据抛物线与x轴的交点和抛物线的对称轴，即可得出抛物线与x轴的另一个交点，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号．

【解答】解：A、由抛物线的开口向上，得a＞0，抛物线与y轴负半轴相交，得c＜0，则ac＜0，故本选项错误；

B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，﹣1＜x＜3，故本选项错误；

C、根据抛物线的对称轴x=﹣=1，直接得出b=﹣2a，故本选项错误；

D、根据抛物线与x轴的一个交点（﹣1，0）和抛物线的对称轴x=1，即可得出抛物线与x轴的另一个交点（3，0），然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二.填空题

7．如果：，那么：=．

【考点】分式的基本性质． 

【专题】计算题．

【分析】由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．

【解答】解：∵，

∴2a=3b，

∴===．

故答案为．

【点评】本题的关键是找到a，b的关系．

8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4．

【考点】相似三角形的性质． 

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，

∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4，

故答案为：1：4．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．

9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．

【考点】相似三角形的判定． 

【专题】压轴题；开放型．

【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．

【解答】解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，

∴△AED∽△ABC，

∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，

∴△AED∽△ABC，

∵∠A=∠A，当，

∴△AED∽△ABC，

故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．

【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．

10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．

【考点】射影定理． 

【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．

【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，

∴CD2=BD•AD=36，

∴CD=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．

11．计算：2（3+4）﹣5=+8．

【考点】*平面向量． 

【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．

【解答】解：2（3+4）﹣5=6+8﹣5=+8．

故答案为：+8．

【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．

12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为16．

【考点】菱形的性质． 

【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．

【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，

在Rt△AOB中，∵AB=10，sin∠BAC=，

∴sin∠BAC==，

∴BO=×10=6，

∴AB2=OB2+AO2，

∴AO===8，

∴AC=2AO=16．

故答案为：16．

【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．

13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4）．

【考点】二次函数的性质． 

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．

【解答】解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．

故答案为：（3，4）．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=4．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 

【分析】根据对称点A（1，2），B（3，2）得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后根据对称点C（0，5），D（m，5）得出=2，即可求得m的值．

【解答】解：∵A（1，2），B（3，2）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的点，

∴抛物线的对称轴为直线x==2，

∵C（0，5），D（m，5）是对称点，

∴=2，

解得m=4

故答案为4．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：根据对称点（x1，m）、（x2，m）得到抛物线的对称轴为直线x=．

15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1＞y2．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 

【分析】先求得函数y=（x+3）2﹣2的对称轴为x=﹣3，再判断A（4，y1）、B（﹣4，y2）离对称轴的远近，从而判断出y1与y2的大小关系．

【解答】解：由y=（x+3）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x=﹣3，

∵抛物线开口向上，而点A（4，y1）到对称轴的距离比B（﹣4，y2）远，

∴y1＞y2．

故答案为＞．

【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．

16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为13．

【考点】垂径定理；勾股定理． 

【分析】利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形AOC中，由AC与OC的长，利用勾股定理求出OA的长即可．

【解答】解：如图所示，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC=AB=12，

在Rt△AOC中，AC=12，OC=5，

根据勾股定理得：AO===13，

即此圆的半径长为13；

故答案为：13．

【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AO是解本题的关键．

17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为．

【考点】旋转的性质． 

【专题】计算题．

【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，所以DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x

，利用勾股定理得到42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，则可计算出CH=，然后根据正弦的定义求解．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，

∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，

∵△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=5，

作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x

在Rt△CDH中，CH2=CD2﹣DH2=42﹣x2，

在Rt△CEH中，CH2=CE2﹣EH2=62﹣（5﹣x）2，

∴42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，

在Rt△CDH中，CH==，

∴sin∠CDH===，

即sin∠CDH=．

故答案为．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求C点到DE的距离．

18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为9（面积单位）．

【考点】二次函数图象与几何变换． 

【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．

【解答】解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，

∴曲线CMB在平移过程中扫过的面积=OC•OB+OC•BD=×3×3+×3×3=9，

故答案为9．

【点评】题考查了二次函数图象与几何变换，由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积是解题的关键．

三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）

19．计算：﹣．

【考点】特殊角的三角函数值． 

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．

【解答】解：原式=﹣

=﹣

=+﹣

=+．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．

【考点】*平面向量；待定系数法求二次函数解析式． 

【分析】（1）由图象顶点为A（1，0），首先可设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，又由与y轴交于点B（0，1），可利用待定系数法求得答案；

（2）首先求得点C的坐标，然后根据题意作出图形，易求得，然后由三角形法则，求得答案．

【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，

∵与y轴交于点B（0，1），

∴a=1，

∴该二次函数的解析式为：y=（x﹣1）2；

（2）∵C为该二次函数图象上横坐标为2的点，

∴y=（2﹣1）2=1，

∴C点坐标为：（2，1），

∴BC∥x轴，

∴=2=2，

∴=+=+2．

【点评】此题考查了平面向量的知识、待定系数法求函数的解析式以及点与二次函数的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．

21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．

（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 

【分析】根据AC的坡度得出AG=2CG，由勾股定理得出CG2+AG2=AC2，求出CG、AG，再由三角函数得出EG，即可得出结果．

【解答】解：根据题意得：AG=2CG，

∵∠AGE=90°，

∴由勾股定理得：CG2+AG2=AC2，

即CG2+（2CG）2=（5）2，

解得：CG=5（米），

∴AG=10米，

∵tan∠EAG=，

∴EG=AG•tan42°，

∴CE=EG﹣CG=AG•tan42°﹣CG=10×﹣5=4﹣5（米）；

答：该商场二楼的楼高CE为（4﹣5）米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、坡度、勾股定理、三角函数；由勾股定理求出AG是解决问题的关键．

22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）

【考点】垂径定理；勾股定理；弧长的计算． 

【分析】连接OC，先根据勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂径定理得出CE=DE，，由三角函数求出∠A=30°，由圆周角定理求出∠BOC，由弧长公式得出的长度=的长度=π即可．

【解答】解：∵AC=2，AE=3，CE=，

∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，

∴CD⊥AB，sin∠A==，

∴，∠A=30°，

连接OC，如图所示：

则∠BOC=2∠A=60°，OC===2，

∴的长度=的长度==π．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，由垂径定理得出是解决问题的关键．

23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：

（1）△BCD与△ACD的面积比；

（2）△ABC的各内角度数．

【考点】相似三角形的性质；解直角三角形． 

【分析】（1）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；

（2）根据锐角三角函数的概念解答即可．

【解答】解：（1）∵△BCD和△CAD的相似比为1：，

∴△BCD和△CAD的面积比为1：3；

（2）∵△BCD∽△CAD，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

tanA===，

∴∠A=30°，

tanB==，

∴∠B=60°，

∴∠ACB=90°．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方以及锐角三角函数的概念是解题的关键．

24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．

（1）求证：=；

（2）若EF∥CD，求DE的长度．

【考点】相似三角形的判定与性质． 

【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE，根据相似三角形的性质得到；

（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出DF=CF，得到BF=DF，推出△DF≌△BFE，根据全等三角形的性质得到结论．

【解答】（1）证明：∵∠DFB=∠DEF+∠EFB=∠C+∠FDC，

∴∠EFB=∠FDC，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△CDF∽△BFE，

∴；

（2）解：∵EF∥CD，

∴∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠FDC=∠C，

∴DF=CF，

∴BF=DF，

∴EF=AC=3，∠DFE=∠BFE，

在△DFE与△BFE中，

，

∴△DF≌△BFE，

∴DE=BE=3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？

（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；

（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；

（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．

【考点】二次函数综合题． 

【分析】（1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；

（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可判断；

（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可讨论，求解；

（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F的坐标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．

【解答】解：（1）二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．

抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点；

（2）y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．

∵小胡同学听成了a与c相反，b不变．

∴y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，顶点坐标是（﹣2，1），

故与原抛物线关于原点对称；

（3）∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上，

∴MA=MB，即△MAB为等腰三角形，

又∵△MAB与△NBC相似，

∴△NBC是等腰三角形．

∵N在x轴上，

∴∠CBN=45°或135°．

当∠CBN=135°时，即N点在B的右侧且BC=BN，则N的坐标是（3+3，0）；

当∠CBN=45°时，即N在点B的左侧，

若△MAB的底角为45°，此时三角形为等腰直角三角形，则N的坐标是（0，0）或（﹣3，0）；

若△MAB的顶角是45°时，在△NBC中，BC=BN=3，则N的坐标是（3﹣3，0）；

（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），

由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F（3﹣a，a2﹣2a），

∴点E和点F的纵坐标互为相反数，即a2﹣4a+3+a2﹣2a=0，

解得：a1=，a2=（舍去），

∴E的纵坐标是（，），F的坐标是（，﹣）．

【点评】本题考查了二次函数与等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确理解△NBC是等腰三角形是本题的关键．

26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，

（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．

（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；

（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．

（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．

【考点】圆的综合题． 

【分析】（1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，ED⊥AC，然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知；

（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED=，DN==（4﹣x）=2﹣，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系式；②当D与A重合时，y=2AC=4；

（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立；②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重合，于是得到AD==2；

（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三角形的面积公式即可求得答案．

【解答】解：（1）成立．

如图1所示：设DE交AC于M，DF交BC于N．

∵点E与点D关于AC对称，

∴EM=DM，ED⊥AC．

又∵DE⊥DF，

∴AC∥DF．

∴．

∴CE=CF．

（2）①当D与A不重合时．

∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，

∴四边形CNDM是矩形．

∴MD∥BC．

∴∠ADM=∠ABC=30°．

∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，

∴MD==．

∴ED=．

在Rt△BDN中，∠DBN=30°，

∴DN==（4﹣x）=2﹣．

∵MD∥BC，

∴．

∴DN=NF．

∴DF=2DN=4﹣x．

在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y===2（0＜x≤4）；

②当D与A重合时，如图2所示；

∵CF=EF，

∴y=2AC=4．

（3）①当点E在弧AC上时．

∵∠CAD=60°，点E与点D关于AC对称，

∴∠EAD=∠DAM=60°．

∴∠EAD=120°．

∵当点E在弧AC上时，∠EAD≤90°，

∴此种情况不成立．

故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立．

∴AD=0．

②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．

∵∠DBN=30°，∠BND=90°，

∴∠FDB=60°．

∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，

∴DF=DB．

∴△DFB为等边三角形．

∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．

∴∠AFD=30°．

∵AB是圆O的直径，

∴∠AFB=90°．

∵∠CFA=∠CBA=30°，

∴∠CFB=120°．

∴∠CFB+∠FBD=180°．

∴∠CF∥DB．

∴∠FAD=∠CFA=30°．

∴∠FAD=∠AFD=30°．

∴AD=DF=DB．

∴点D与点O重合．

∴AD==2．

综上所述，AD=0或AD=2．

（4）如图4所示；E、F的初始位置为E1、F1，E1与A点重合，E、F的终止位置为E2、F2，F2与B点重合．

∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，

∴点E运动的轨迹为线段AE1．

∵由（3）可知∠FBD=60°，

∴点F运动的轨迹为线段BF2．

∴阴影部分的面积即为所求，S=2××AC•BC=2××2×2=4．

【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，根据∠EAD和∠FBD为固定值，判断点E、F运动的轨迹都是一条线段是解题的关键．下载本文