2004级高等数学（A）（下）期中试卷

一. 填空题（每小题4分，共24分）

1. 设, 则z = _______.

2. 改变积分次序= _______.

3. 设L为圆锥螺线x = tcost, y = tsint, z = t (0   t  1) , 则= ___.

4.由方程所确定的函数z = z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分dz =____.

5.在点M(1,0,2)沿方向=_______方向导数取最大值   .

6. =_______.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 若二元函数z = f(x, y)在点P0(x0, y0)处的两个偏导数都存在, 则[ ]. 

(A) f(x, y)在点P0处连续,         (B) f(x, y0)在点x = x0处连续,

(C),         (D) A, B, C都不对.

2. 曲线在点(2, 4, 5)处的切线与x轴的正向所成的角度是[ ].

(A),           (B),           (C),          (D).

3. 设函数f(x, y)为连续函数, 则[  ].

(A),  (B),  

(C),  (D) 0.

4. 圆柱面x2+z2 = a2被圆柱面x2+y2 = a2所截部分的面积为[ ]. 

(A) 8a2,        (B) 4a2,        (C) 2a2,        (D) a2.

三. (每小题7分,共21分)

1. 设z = xf(xy, exy), 其中f(u, v)有二阶连续偏导数, 求及.

2. 已知解析函数f(z)的虚部v(x, y) = 2xy   y, 且f(0) = 0, 求f(z)的表达式, 并用z表示.

3. 求原点到曲面(x   y)2   z2 = 1的最短距离.

四. (第1题7分,其余每小题8分, 共39分)

1. 计算，其中( )={(x, y) | x2 + y2   1, x + y   1}.

2. 计算, 其中 为由半椭球面x2 + 4y2 + z2 =1(z > 0)与锥面所围成的区域.

3. 计算, 其中C为摆线x = t   sint    , y = 1   cost, 从t = 0到t =  的一段.

4. 设计算, 其中 为半球面的上侧. 

5. 设计算,其中C是曲线, 从z轴正向往z轴负向看去, C的方向是逆时针方向.

2005级高等数学（A）（下）期中试卷

一. 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1. 设由方程所确定，则             。

2. 设，则                      。

3. 设为连续函数，，则        。

4.            。 

5. 设为平面在第一卦限部分的下侧，则   。

二. 单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6. 设，，其中是连续函数，则有  

(A)       

7. 曲线在点处的切线必定平行于平面  

(A)        

8. 设是摆线上从到的弧段，则

        ]

(A)       

9. 设二元函数在点处可微，下列结论不正确的是                 [    ] 

（A）在点连续             （B）在点的某邻域内有界

（C）在点处两个偏导数都存在

（D）在点处两个偏导数都连续.

三. 计算下列各题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

10. 设其中具有二阶连续偏导数，求。

11. 设调和函数,求的共轭调和函数，并求解析函数。(自变量单独用z表示)

12. 计算，其中区域。

13. 计算，其中。

14. 计算，其中是曲面与平面的交线。 

四（15）.（本题满分7分）求由曲面与所围成的立体的表面积。

五（16）.（本题满分9分）在曲面上求一点，使过点的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小，并求最小体积。

六（17）.（本题满分7分）试求连续可微函数，使在右半平面内曲线积分

与路径无关，其中；且当时，求该曲线积分的值。

七（18）.（本题满分6分）计算，其中为大于的常数，为的上侧。

2006级高等数学（A）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．曲线在点处的切线方程为                             ；

2．方程所确定的函数在点处的全微分

为                         ；

3．交换二次积分的积分次序＝                           ；

4．设曲线，则        ；

5．设曲面，则                      .

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．设，那么                                        [     ]

(A)在原点解析             (B)在复平面上处处不可导

(C)仅在原点可导           (D)仅在实轴上可导

7．二次积分可以写成                  [    ]

（A）         （B）

（C）             （D）

8．设由所围成，则            [     ]

（A）  （B）

C）   （D）

9. 函数在点处                   [     ]

  （A）连续且偏导数存在                 （B）连续但偏导数不存在

  （C）不连续但偏导数存在               （D）不连续且偏导数不存在

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

10．设有连续的二阶偏导数，令，求.

11. 求函数在点处沿曲面在该点的外法线方向上的方向导数.

12．已知解析函数的虚部,求实部及    

解析函数和.

13. 计算，其中

14．计算，其中是由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段弧.

四（15）．（本题满分9分）在平面上求一点，使它与点及

点的距离平方之和为最小.

五（16）.（本题满分9分）设在平面上有薄板(其中常数)，其面密度为，求此薄板的质心坐标.

六（17）. （本题满分6分）设函数具有二阶连续偏导数，且，证明：对任意常数,为一直线的充分必要条件是

.

2007级高等数学（A）（下）期中试卷

一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分)

1. 交换二次积分的次序 

                                 ；

2. 设函数由方程所确定，其中是可微函数，

且，则                         ；

3. 二重积分                      ；

4. 曲线在点处的切线方程为                               ；

5. 设曲线，则曲线积分              .

二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)

6.的主值为                                              [    ]

(A)   (B) 

(C) (D) 

7. 设，为连续函数，则[    ]

(A)  (B) 

(C)  (D) 

8. 设，其中函数具有二阶连续偏导数，则          [    ]                                            

(A) (B) 

(C)             (D) 

9. 设具有一阶连续偏导数,且, , ,

令，则                                      [      ]

（A）3               （B）6                 （C）9             （D）12

三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)

10．计算二重积分

11．求函数在点处沿曲面在该点处的法线方向的方向导数.

12．计算三重积分,其中是由旋转抛物面与平面和围成的空间闭区域.

13. 计算曲面积分，其中为上半球面含在圆柱面内的部分.

四（14）．（本题满分8分）设曲线段上任意一点处的线密度函数，求该曲线段的质量.

五（15）。（本题满分8分）已知曲线，求上距离原点最远的点和最近的点，并求最远距离和最近距离.

六（16）.（本题满分7分）设为解析函数，其中实部与虚部的乘积满足，试求的表达式（必须用变量表示）.

2008级高等数学（A）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．交换积分次序               ；

2．设，则        ，                   ；

3．设是由方程所确定的隐函数，其中可微，则全微分

                         ；

4．设为由与轴,轴围成的三角形的边界,               。 

5．设连续，，且

则                   ．

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．函数在点处                  [     ]   

(A)连续且偏导数存在            (B) 连续但偏导数不存在

(C)不连续但偏导数存在          (D) 不连续且偏导数不存在

7设,为在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[  ]

（A）  （B）

（C）                     （D）

8设, ,则当时, [   ]

（A）是的一阶无穷小 （B）是的二阶无穷小

（C）是的三阶无穷小 （D）至少是的三阶无穷小  

9．设在原点的某邻域内连续，且，则  [  ]

 （A）在原点处取得极大值 （B）在原点处取得极小值

（C）不能断定在原点处是否取得极值 （D）原点一定不是的极值点

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

10．计算二重积分，其中.

11．计算曲面积分，其中是由与所围成的立体的表面.

12．求，其中为圆柱体，的表面，取外侧.

13．求由曲面和所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标.

14．已知解析函数的实部,求的表达式（用变量表示）和．

四（15）（本题满分8分）求函数在球面和平面

的交线上的最大值与最小值.

五（16）（本题满分8分）试求过直线，且与曲面相切的平面方程.

六（17）（本题满分8分）设,具有二阶连续偏导数，且，，，求，，.

2009级高等数学（A）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．由方程确定的隐函数在点处的全微分   ；

2．设，则        ，                    ；

3．曲线在点处的法平面方程为               ；

4．设曲线为球面与平面的交线，则曲线积分

的值等于         ；

5．设曲面，则        ．

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．已知曲面在点处的切平面平行于平面，则点

为                                                                   [    ] 

(A)           (B)   (C)      (D) 

7．设函数连续,则二次积分等于                [    ]

（A）      （B）

（C）     （D）

8.设是摆线上从到的弧段，则的形心的横坐标为  [    ]

(A)             (B)           (C)             (D) 

9．函数在点处的方向导数的最大值是              [     ]     

(A)            (B)              (C)          (D) 

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

10．设，其中具有二阶连续偏导数，求.

11．计算二重积分，其中.

12．设调和函数,求的共轭调和函数，并求解析函数表达式(自变量单独用表示)，且满足.

13． 求极限.

14．计算，其中为与所围成的立体的表面，取外侧.

四（15）（本题满分8分）求密度为，半径为的上半球面对球心处单位质量质点的引力.

五（16）（本题满分10分）平面被抛物面截得一椭圆，

（1）求该椭圆到坐标原点的最长距离和最短距离；（2）求该椭圆所围平面区域的面积.

六（17）（本题满分6分）证明不等式：，

其中曲线，取逆时针方向.

2003级高等数学（A）（下）期末试卷

一. 填空题（每小题3分，满分15分）：

1．幂级数的收敛域为          。

2．当常数p满足条件           时，级数绝对收敛。

3．设，则在的留数         。

4．微分方程的通解为              。

5．设C为抛物线上自点A（-1，0）到点B（1，0）的一段弧，则曲线积分

的值为             。

二.单项选择题（每小题4分，满分12分）：

1．微分方程的特解形式为（其中A、B为常数） （ ）

（A） （B）

（C） （D）

2．设，，其中

，则等于 （ ）

（A）-（B）1（C）5（D）7

3．设级数条件收敛，则必有 （ ）

（A）收敛 （B）收敛

（C）收敛 （D）与都收敛

三．（每小题7分，满分35分）：

1．计算积分。

2．计算复积分，其中为正向圆周：。

3．将展成的幂级数。

4．将在圆环域内展成罗朗级数。

5．求幂级数的和函数。

四．1．（6分）求微分方程的通解。

2．（9分）求微分方程满足条件的特解。

五．（8分）计算曲面积分，其中为抛物面，取下侧。

六．（9分）设具有二阶连续导数，，试确定函数，使曲线积分与路径无关，并对点A（1,1），B（0,3）计算曲线积分的值。

七．（6分）设级数收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛。

2004级高等数学（A）（下）期末试卷

一.填空题(本题共5小题，每小题4分，满分2 0分)

1．曲面在点处的法线方程                     .

2. 幂级数的收敛域为                 .

3. 交换积分次序:                    .

4. 设曲线为圆周,则曲线积分               .

5. 当     ,      时,向量场为有势场.

二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分1 6分)

1. 在下列级数中，收敛的级数是                                        [    ]

（A）（B）（C）（D）

2．设区域由直线和围成，是位于第一象限的部分，则[  ]

（A）

（B）

（C）

（D）

3．设为上半球面，则曲面积分的值为  [   ]

（A）          （B）           （C）             （D）

4．二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的                                                         [    ]

(A) 充分而非必要条件                         （B）必要而非充分条件

（C）充分必要条件                               （D）既非充分也非必要条件

三、(本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)

1．设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求

.

2．确定的值，使曲线积分在平面上与路径无关。当起点为，终点为时，求此曲线积分的值。

3．将函数展成的幂级数。

4．设（1）试将在上展成正弦级数；（2）记此正弦级数的和函数为，求和。

5．将函数分别在圆环域内展成罗朗级数。

四．(本题满分7分) 计算复积分

五．(本题满分8分) 求幂级数的收敛域与和函数。

六．(本题满分8分) 讨论级数的敛散性。若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

七．(本题满分6分) 设级数在上收敛，其和函数为，证明级数

收敛。

2005级高等数学（A）（下）期末试卷

一. 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

1. 交换积分次序：                              。

2. 曲面在点处的切平面方程为                      。

3. 向量场在点处的散度           。 

4. 已知曲线积分与路径无关，则   。 

5. 已知微分式，则其原函数                 。

6. 若幂级数在处条件收敛，则的收敛半径   。

7. 将函数在上展开为正弦级数，其和函数在处的函数值                 。 

8. 设为正向圆周：，则            。

9. 设在平面上解析，，则对任一正整数，函数在点

的留数         。

二. 计算下列各题（本题共4小题，满分33分）

10.（本题满分7分）设函数由方程所确定，其中为可微函数，求。

11.（本题满分7分）将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域。

12.（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数，并求的和。

13.（本题满分9分）计算第二型曲线积分：，

其中是从点沿曲线到点的一段。

三（14）.（本题满分9分）试就在区间上的不同取值，讨论的敛散性；当级数收敛时，判别其是绝对收敛，还是条件收敛？

四（15）.（本题满分10分）将函数分别在圆环域（1）；（2）内展开成Laurent级数。

五（16）.（本题满分6分）证明级数收敛。

六（17）.（本题满分6分）计算第二型曲面积分：

，

其中是曲面介于平面与平面之间的部分，取上侧，为连续函数。

2006级高等数学（A）（下）期末试卷

一。填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)

1．已知曲面上一点处的法线垂直于平面，则     ，     ，     ；

2．交换积分次序                                ； 

3．设，则      ；

4．设正向闭曲线：，则曲线积分       ；

5.设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为        ；                                            

6．设，则          ；                                     

7. 设，其以为周期的级数的和函数记为， 则            ；

8.设正向圆周，则         ； 

9．函数的孤立奇点的类型是         （如为极点，应指明是几级极点），            ；

10．使二重积分的值达到最大的平面闭区域为             .

二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

11．判断级数的敛散性.  12．求幂级数的收敛域与和函数.

三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)

13．将函数在上展开为以为周期的级数.

14．将函数在圆环域内展开为级数.

四．（15）(本题满分9分)验证表达式为某一函数的全微分，并求其原函数.

五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分.

六．（17）(本题满分10分) 已知流体的流速函数                          

，

求该流体流过由上半球面与锥面所围立体表面的外侧的流量. 

七．（18）(本题满分8分) 设函数，且，利用二重积分证明不等式：

2007级高等数学（A）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 幂级数的收敛域为              ；

2. 将三次积分（其中连续）化成球面坐标系

下的三次积分                                        ；

3. 散度                      ；

4. 曲线在点处的切线的方向向量为                      ；

5. 设，且以为周期，为的级数的和函数，则           ；

6. 设为圆周，取逆时针方向，则              ；                                             

7. 留数               ；

8. 已知第二型曲线积分与路径无关，则     ；                                                     

9.平面被椭圆柱面所截的有限部分的面积为          .                                      

二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．求幂级数的和函数，并指明收敛域.

11．将函数展开为余弦级数.

12．讨论级数的敛散性，其中为任意实数，为正实数.

13. 判定级数是否绝对收敛、条件收敛或发散？并说明理由。

三（14）．（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.

四（15）。（本题满分8分）计算，

其中是由点沿曲线到点的一段弧.

五（16）. （本题满分8分）计算，其中为圆柱面被平面和所截部分的外侧.

六（17）（本题满分7分）设，当时，有，

（1）证明不等式，；

（2）证明级数收敛，且满足不等式.

七（18）（本题满分6分）设是圆周，取逆时针方向，连续函数，证明                           

2008级高等数学（A）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 曲面在点处的法线方程是                   ；

2. 设，则梯度                      ；

3. 设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是        ；

4. 设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是          ；5. 设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是                          ；

6. 将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点

处的函数值           ；                                             

7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是          ；

8. 留数               ；                                                     

9.取                ，可使得级数收敛，且级数发散.                                      

二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)

10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.

11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性，并说明理由．

12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.

13. （本小题满分8分） 将函数展开为以为周期的级数.

三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数.

四（15）。（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.

五（16）. （本题满分7分）计算，其中为曲线

，方向沿增大的方向.

六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截的部分，取上侧.

七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得

，则级数收敛.

2009级高等数学（A）（下）期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1. 将（其中为连续函数）写成球面坐标

系下的三次积分                                           ；

2. 球面在点处的切平面方程为                      ；

3. 设，且以为周期，为的级数的和函数，则           ，           ；

4. 已知为某个二元函数的全微分，则；

5. 设为圆周，取逆时针方向，则              ；                                             

6. 留数               ；

7. 设，则散度                ；                                                     

8.设是锥面下侧，则

      ；

9. 设，其中，则       .                                      

二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．设是由方程所确定的隐函数，求.

11．计算.

12．判断级数的敛散性.

13. 求幂级数的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）

三（14）．（本题满分7分）设在上展开成正弦级数，并写出它的和函数.

四（15）。（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.

五（16）（本题满分7分）计算，其中为，方向为逆时针.

六（17）（本题满分8分）求幂级数的收敛域与和函数，并求数项级数的和.

七（18）（本题满分7分）计算由柱面、锥面及平面所围立体的表面积.下载本文