一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.已知a，b均为实数，且a-1＞b-1，下列不等式中一定成立的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

2.山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

3.如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（　　）

A.  B.  C.  D. 

4.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，-2），B（2，-4），C（4，-1）．将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（-2，3），则△ABC平移的方式可以为（　　）

A. 向左3个单位，向上5个单位 B. 向左5个单位，向上3个单位

C. 向右3个单位，向下5个单位 D. 向右5个单位，向下3个单位

5.解不等式时，去分母后结果正确的为（　　）

A.  B. 

C.  D. 

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

A. 26

B. 20

C. 15

D. 13

A.  B. 

C.  D. 

9.如图，直线y=ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y=kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

A.  B.  C.  D. 

二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）

11.太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“55”表示该桥梁载重后总质量超过55t的车辆通过桥梁．设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关系为______（用含x的不等式表示）．

12.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD=30°，则∠CAE的度数为______．

14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD=2，则CD的长为______．

16.近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？

四、解答题（本大题共7小题，共54.0分）

17.解不等式：2x+1≤3（3-x）

18.解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）．

（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为______；

（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．

20.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE=CF，连接AE、AF．

求证：AD平分∠EAF．

21.某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：

22.如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB=10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC=6．

（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；

（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择______题

A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．

①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；

②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为______．

B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．

①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；

②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，此时平移的距离为______．

23.综合与探究

问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD=AE，连接DE，易知BD=CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．

（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD=CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC=120°，其余条件不变，请解答下列问题：

从A，B两题中任选一题作答我选择______题

A．①在图1中，若AB=10，求BC的长；

②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；

B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；

②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：因为a，b均为实数，且a-1＞b-1，

可得a＞b，

所以3a＞3b，-a＜-b，a-2＞b-2，

故选：D．

根据不等式的性质进行判断．

考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

2.【答案】B

【解析】

解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.【答案】C

【解析】

解：根据数轴得：不等式组的解集为x≥2，

故选：C．

找出两个不等式解集的方法部分确定出不等式组的解集即可．

此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.根据A点坐标的变化规律可得横坐标-3，纵坐标+5，利用平移变换中点的坐标的变化规律即可得.

【解答】

解：因为点A（1，-2）的对应点A1的坐标为（-2，3），即（1-3，-2+5），

所以△ABC平移的方式为：向左3个单位，向上5个单位，

故选A.

5.【答案】D

【解析】

解：去分母得2（x+2）＞6-3（x-3）．

故选：D．

利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．

本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．

6.【答案】C

【解析】

【分析】

此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．​已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．

【解答】

解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，

∵DE∥AB，

∴∠EDB=∠ABD=36°，

∴∠EDC=72°-36°=36°，

∴∠DEC=180°-72°-36°=72°，

∴∠A=∠ABD，∠DBE=∠BDE，∠DEC=∠C，∠BDC=∠C，∠ABC=∠C，

∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，

故选C．

7.【答案】D

【解析】

解：∵将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，

∴EF=DB=5，BE=6，

∵AB=AC，BC=9，

∴∠B=∠C，EC=3，

∴∠B=∠FEC，

∴CF=EF=5，

∴△EBF的周长为：5+5+3=13．

故选：D．

直接利用平移的性质得出EF=DB=5，进而得出CF=EF=5，进而求出答案．

此题主要考查了平移的性质，根据题意得出CF的长是解题关键．

8.【答案】A

【解析】

解：由题意可得

210x+90（15-x）≥1800，

故选：A．

根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．

9.【答案】A

【解析】

解：∵直线y=ax+b与直线y=kx交于点B（2，4），

∴不等式kx≤ax+b的解集为x≤2．

故选：A．

写出直线y=kx在直线y=ax+b下方部分的x的取值范围即可．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10.【答案】C

【解析】

解：由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，

∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，

∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，

∴AC∥BD，

∴∠CBD=∠C，

∴∠CBD=∠E，

则A、B、D均正确，

故选：C．

由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．

本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．

11.【答案】10+x≤55

【解析】

解：设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，根据题意可得：10+x≤55，

故答案为：10+x≤55

根据题意列出不等式解答即可．

此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．

12.【答案】30°

【解析】

解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，

∴∠DAC=60°，

∴∠CAE=∠DAC-∠EAD=60°-30°=30°．

故答案为30°．

根据旋转的性质得∠DAC=60°，然后计算∠DAC-∠EAD即可．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

13.【答案】3，4

【解析】

解：，

由不等式①，得

x＞，

由不等式②，得

x≤4，

故原不等式组的解集是，

故不等式组的整数解为3，4，

故答案为：3，4．

根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解不等式的方法．

14.【答案】1

【解析】

解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AD=2，DE垂直平分AB．

∴DE=1，∠DBE=∠A=30°，∠CBA=60°，

∴BD平分∠CBE，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=1，

故答案为：1

根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．

此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．

15.【答案】13

【解析】

解：过D作DH⊥BC于H，

∵DC=DE=10，

∴EH=HC，

∵∠CDE=120°，

∴∠DCH=30°，

∴CH=EH=5，

∴CE=10，

∴BE=BC-CE=24-10，

∵F是BE的中点，

∴BF==12-5，

过A作AM⊥BC于M，

∵△ABC是等边三角形，

∴BM=BC=12，AM=12，

∴FM=BM-BF=12-（12-5）=5，

由勾股定理得：AF====13．

故答案为：13．

作辅助线，构建直角三角形，先求CE的长，从而得FM和AM的长，根据勾股定理可得AF的长．

本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是关键，本题注意作辅助线，构建直角三角形解决问题．

16.【答案】解：设该物流公司4月份要承接运输A种货物x吨，则承接运输A种货物（300-x）吨，

根据题意得：80x+50（300-x）≥19800，

x≥160，

答：该物流公司4月份至少要承接运输A种货物160吨．

【解析】

根据题意4月份的运费，得出不等式，解方程求解即可

本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式是解题关键．

17.【答案】解：2x+1≤3（3-x），

去括号得：2x+1≤9-3x，

移项合并得：5x≤8，

系数化为1得：x≤．

【解析】

不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．

本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．

18.【答案】解：

解不等式①得：x＞-2，

解不等式②得：x≤15，

所以不等式组的解集为：-2＜x≤15，

其解集在数轴上表示为：

．

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】（-1，2），（3，2），

【解析】

解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：

A1，B1的坐标分别为（-1，2），（3，2），

故答案为：（-1，2），（3，2），

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．

（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；

（2）根据关于原点O成中心对称的性质画出图形即可．

本题主要考查中心对称和平移变换，熟练掌握中心对称、平移变换的定义是解题的关键．

20.【答案】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴BD=DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD=∠ACD，

∴∠ABE=∠ACF，

在△ABE与△ACF中，

∴△ABE≌△ACF，

∴∠BAE=∠CAF，

∴∠BAE+∠BAD=∠CAF+∠CAD，

即∠EAD=∠FAD，

即AD平分∠EAF．

【解析】

根据等腰三角形的性质得出BD=DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出BD=DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC．

21.【答案】解：根据题意得：某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，

按方案一购买花费为：y1=60×0.7x+40×0.8（x+10），

按方案二购买花费为：y2=60×0.75x+40×0.75（x+10），

y1-y2=-x+10，

∵x＞15，

∴-x＜-15，

∴-x+10＜-5，

∴y1＜y2，

即方案一的花费少于方案二，

答：该单位选择方案一才能获得更多优惠．

【解析】

某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，由于x＞15，所以两种商品肯定超过35件，方案二也能采用，按方案一购买花费为y1，按照方案二购买花费y2，求y1-y2在自变量x的取值范围的正负情况即可得到答案．

本题考查一元一次不等式的应用，正确找出不等量关系，讨论不等式的正负是解题的关键．

22.【答案】A或B；；

【解析】

（1）证明：如图1中，

∵BC⊥AM，BD⊥AN，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵∠BAC=∠BAD，AB=AB，

∴△ABC≌△ABD，

∴AC=AD，BC=BD，

∴AB垂直平分线段CD．

（2）A：①△A′B′C′如图所示；

②作DH⊥AB于H．

在Rt△ABD中，AB=10，BD=BC=6，

∴AD==8，

∵cos∠DAH===，

∴AH=，

∵DB′∥AC，

∴∠AB′D=∠CAB，

∵∠CAB=∠DAB，

∴∠DAB=∠AB′D，

∴DA=DB′，∵DH⊥AB′，

∴AH=HB′，

∴AB′=，

∴BB′=AB′-AB=-10=，

∴平移的距离为，

B：①△A′B′C′如图所示：

②作C′H⊥AP于H．

∵∠ABD=∠C′BB′=∠C′B′A′，

∴C′B=C′B′，

∵C′H⊥BB′，

∴BH=HB′，

∵cos∠A′B′C′==，

∴=，

∴HB′=，

∴BB′=2B′H=，

∴平移的距离为．

故答案为A或B，，．

（1）只要证明△ABC≌△ABD，即可推出AC=AD，BC=BD，可得AB垂直平分线段CD；

（2）A：①作出△A′B′C′即可；

②作DH⊥AB于H．首先证明DA=DB′，想办法求出AH即可解决问题；

B：①作出△A′B′C′即可；

②作C′H⊥AP于H．首先证明C′B=C′B′，想办法求出B′H即可解决问题；

本题考查几何变换综合题、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

23.【答案】A或B

【解析】

解：（1）结论：BD=CE．

理由：如图2中，

∵∠ABC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD=EC．

（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=HC，

∵∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴BH=AB•cos30°=5，

∴BC=10．

②结论：CD=AD+BD．

理由：如图3中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．

B：①如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=HC，

∵∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴BH=AB•cos30°=AB，

∴BC=2BH=AB．

②结论：CD=AD+BD．

证明方法同A②．

故答案为A或B．

（1）结论：BD=CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；

（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；

②结论：CD=AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，可得CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD；

B：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC=2BH=AB；

②类似A②；

本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．下载本文