一、单选题

1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． ．

C． ．

2．复平面内表示复数的点位于

A．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限

3．若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（       ）

A．8 ．4 ．2 ．

4．设向量，，若，则（       ）

A．－3 ．0 ．3 ．3或－3

5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ）

A． ． ． ．

6．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（     ）

A．8 ．10 ．12 ．16

7．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． ． ． ．

8．PQ为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ绕l一周所得旋转面面积为，以MN为直径的球面积为，则（       ）

A． ． ． ．

二、多选题

9．经研究，变量y与变量x具有线性相关关系，数据统计如下表，并且由表中数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列正确的是（       ）

C． ．当时，y的估计值为13

10．已知函数，则（       ）

A．函数的图象关于y轴对称 ．时，函数的值域为

C．函数的图象关于点中心对称 ．函数的最小正周期是8

11．已知函数，若，，，则（       ）

A．在上恒为正 ．在上单调递减

C．a，b，c中最大的是a    D．a，b，c中最小的是b

12．在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则（       ）

A．为等比数列 ．为递减数列

C．为等差数列 ．

三、填空题

13．展开式中的常数项为__________．

14．若在区间上单调递增，则实数的最大值为__________.

15．设函数，已知，且，若的最小值为e，则a的值为______.

16．已知向量，，，则______.

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知______.

(1)求A；

(2)若，，求a.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．已知数列的前n项和为，满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前100项的和.

19．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，，，，，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为.

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P—CD—A的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

20．某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互.

(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；

(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

21．已知函数.

(1)若，证明：当时，；

(2)令，若是极大值点，求实数a的值.

22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；

(3)平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.

【答案与解析】

1．C

解析：

由韦恩图，直接求得.

因为，，

所以阴影部分表示的集合为.

故选：C

2．A

解析：

利用复数代数形式的乘除法运算化简为（，∈R）的形式，则答案可求．

，在复平面对应的点在第一象限.

故选A

本题考查复数代数形式的乘除运算，及复数的几何意义，属于基础题．

3．A

解析：

由抛物线的定义和焦半径的计算公式即可求解.

由题可知，.

故选：A.

4．D

解析：

由向量平行的坐标表示可得求解即可.

由题设，有，可得.

故选：D

5．A

解析：

由不等式的解法和命题的否定的概念，分别求得和，结合是的充分不必要条件，利用集合的包含关系，即可求解.

由不等式，可得或，所以：，

又由：，

因为是的充分不必要条件，所以，

所以实数的取值范围为.

故选：A.

6．C

解析：

数列，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项，得通项公式，从而得结论．

最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C．

本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是由题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．

7．A

解析：

当三棱锥的体积最大值时，平面平面，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.

当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，

取的中点为，连接，则.

设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，

则在上，在上，且,

且平面，平面.

平面平面，平面平面，平面

平面，，同理

四边形为平行四边形

平面，平面

，即四边形为矩形.

外接球半径 

外接球的表面积为 

故选：A.

8．C

解析：

解：设设与轴夹角为，令，，由抛物线的定义可知，，再由圆台的侧面积公式及球的表面积公式得到、，即可判断；

解：设与轴夹角为，令，，则，，则，，所以当且仅当时等号成立；

故选：C

9．AB

解析：

先由回归方程可判断选项A，求出样本中心，结合回归方程可判断B,C,D，得出答案.

由线性回归方程为可得变量y与x呈正相关，故选项A正确.

由表中数据可得， 

故样本点的中心为（10，14.4），所以选项B正确.

将样本点的中心为（10，14.4）代入，可得，解得，故选项C不正确.

将代入回归方程可得，故选项D不正确.

故选：AB

10．BCD

解析：

利用诱导公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质求解可得.

由Z，得Z，故A错误；

因为，则，所以，

所以，故B正确；

由Z，得Z，所以的对称中心为，故C正确；

因为，故D正确.

故选：BCD.

11．AC

解析：

由当时，即可判断A；

利用导数讨论函数在上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；

结合选项A和对数函数的单调性可得即可判断C；

利用作差法和结合选项B可得，由C的分析过程可知，进而判断D.

A：当时，，所以，故A正确；

B：函数的定义域为，，

令，则，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

故，所以在上恒成立，

即函数在上单调递增，故B错误；

C：由选项A可知，当时，所以，

因为，所以，即；

当时，，得，

因为，，

所以，，

即，所以中最大的是a，故C正确；

D：

，

所以，由选项B可知函数在上单调递增，

所以，即，

由选项C可知，有，所以中最小的是c，故D错误；

故选：AC

12．BCD

解析：

设与交于点，由面积比得，由平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后由各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．

设与交于点，，

，

共线，所以存在实数，使得，

所以，

所以，所以，，

所以，，，不是等比数列，A错；

因为，所以，即，所以是等差数列，C正确；

又因为，则，即，，

所以当时，，即，所以是递减数列，B正确；

因为，

，

所以两式相减得

，

所以，D正确．

故选：BCD．

13．

解析：

，令，得，

∴常数项为．

14．##

解析：

由x∈求出的范围A，由余弦函数单调性可知A，列出不等式组求解出a的范围即可求其最大值.

x∈，则，

由题可知，，

则，

则a的最大值为.

故答案为：.

15．##

解析：

令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得.

令，由图象如图所示可知．

因为，则，，得，即．

令，则，

∴当时，即时，，则在上单调递减，

所以，解得（不满足，舍去）；

∴当时，即时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得满足题意．

综上可得，．

故答案为：.

16．

解析：

先通过数学归纳法证明出，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算.

，

，

……

.

下面用数学归纳法进行证明：

当时，满足题意；

假设当时，，

则当时，

，

故.

∴，

∴.

故答案为：.

17．(1)；

(2).

解析：

（1）若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；

（2）先通过三角形的面积公式求出c，进而由余弦定理求得答案.

(1)

若选①，由正弦定理可得，因为，所以，则，而，于是.

若选②，依题意，，则，而，于是.

若选③，依题意，，因为，所以，则.

(2)

依题意，，由余弦定理.

18．(1)，

(2)

解析：

（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；

（2）求出，然后分组求和.

(1)

当时，，

整理得，

又，得

则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.

则，

(2)

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

则

19．(1)在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE

(2)

解析：

（1）将AB，CD延长交于一点M，先证明CM//BE，利用线面平行的判定定理即可证明CM//平面PBE.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

(1)

将AB，CD延长交于一点M，则M在平面PAB内.

∵，BC//AD∴CE//BM且CE=BM，

∴四边形BCDE为平行四边形，∴CM//BE.

∵平面PBE，平面PBE，所以CM//平面PBE.

所以在平面PAB内存在一点M，为AB，CD延长后的交点，使得直线CM//平面PBE

(2)

由已知可得，AD⊥DC，CD⊥PA，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.

所以∠PDA为二面角P—CD—A的平面角，所以∠PDA=30°.

建立如图空间直角坐标系，设AP=2则A(0，0，0)，P(0，0，2)，，，∴，，

设平面PCE的法向量为，由，不妨设x=2，则.

设直线PA与平面PCE所成角为，则，

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

20．(1)0.02916

(2)分布列见解析；（元）

解析：

（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再由重复实验的概率公式即可得解；

（2）可取，求出对应概率，即可求出分布列，再由期望公式计算即可.

(1)

解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次，

则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，

故恰好检测5次的概率；

(2)

解：依题意，合格产品利润为70元，

不合格产品修复合格后利润为50元，

不合格产品修复后不合格的利润为元，

则可取，

，

，

，

故分布列为：

21．(1)证明见解析；

(2).

解析：

(1)利用求导公式和运算法则求出，由时，进而得出函数单调性，结合即可证明；

(2)由求导公式和运算法则求出，利用的取值讨论的单调性，得出的取值，进而得出的单调性，结合极大值点的定义即可得出结果.

(1)

依题意知，函数的定义域为，

当时，，

，

当时，，所以，

即当时，函数单调递增，

又，故在上恒成立，即证；

(2)

函数的定义域为，

，

所以，

又为的极大值，所以且周围是单调递减的趋势，

要使单调递减，需在上恒成立，

，且，

所以需在上单调递增，在上单调递减，

即当时，，当时，，

且，又，

所以，解得；

当时，恒成立，即在上单调递减，

又，所以为的极大值，

综上，.

22．(1)；

(2)见解析；

(3).

解析：

（1）结合离心率和面积的最大值列出关于的方程，解方程即可；

（2）设直线CM方程，写出点M坐标，联立椭圆方程，求点N坐标，通过向量数量积计算即可；

（3）设点坐标，借助点在圆上，将转化成，再借助椭圆定义将转化成，最后通过三点共线求出最小值.

(1)

当P为短轴端点时，的面积最大，，

解得，

故椭圆的方程为.

(2)

由（1）知，,

设直线，，

，

联立整理得，

由得，，

,，

故为定值4.

(3)

依题意，设，使，

，整理得，

又点Q在圆上，解得，

由椭圆定义得，，

当三点共线时，有最小值.

（1）关键在于建立的方程；

（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N坐标；

（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将转化成，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.下载本文