一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．如果复数
)()2(R
a i ai ∈+的实部与虚部是互为相反数，则a 的值等于 A ．2 B ．1 C ．2- D ．1- 2．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是
A ．α//1l 且α//2l
B ．α⊥1l 且α⊥2l
C ．α//1l 且α⊄2l
D ．α//1l 且α⊂2l 3．在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S
A ．18
B ．99
C ．198
D ．297
4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是
A ．π32
B ．π16
C ．π12
D ．π8
5．已知点)4
3
cos ,43(sin
ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 A ．4
π
B ．43π
C ．45π
D ．47π
6．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为
A ．5i >
B ．7i ≥
C ．9i >
D ．9i ≥
7．若平面向量)2,1(-=与的夹角是︒180，且||=b A ．)6,3(- B ．)6,3(- C ．)3,6(- 8．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中则函数b a x g x
+=)(的大致图像是
A B C D
9．设平面区域D 是由双曲线1422
=-x y 的两条渐近线和椭圆12
22
=+y x 的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
10．设()11x
f x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2009=f x
A ．1x -
B ．x
C ．11x x -+
D ．11x x
+-
俯视图
11. 等差数列{}n a 中，8776
,S S S S ><，真命题有__________(写出所有满足条件的序号)
①前七项递增，后面的项递减 ② 69S S <
③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项 A ．②④
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
12. 已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果直线y x a =+与曲线
()y f x =恰有两个交点，则实数a 的值为 A ．0 B ．2()k k Z ∈ C ．122()4k k k Z -
∈或 D ．1
22()4
k k k Z +∈或 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。
13．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成
人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n 。 14．若关于x 的不等式2||20ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围为 。
15．在ABC Rt ∆中，若a BC b AC C ===∠,,900
，则ABC ∆外接圆半径2
2
2b a r +=。
运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = 。
16. 在OAB 中，O 为坐标原点，(1,cos ),(sin ,1),0,2A B πθθθ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
。
⑴若,OA OB OA OB θ+=-=
则 ，⑵OAB ∆的面积最大值为 。
三、解答题：本大题6小题，满分74分。
17．（本小题满分12分）已知函数2()2cos cos(
)sin cos 6
f x x x x x x π
=-+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设]2,
3[π
π-
∈x ，求()f x 的值域．
18．（本小题满分10分）先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子
出现的点数．
（Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率；
（Ⅱ）求点),(y x P 满足x y 42
<的概率．
19．（本小题满分13分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD . （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；
（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F V -CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．
20.（本题满分12分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，)(R x ∈在任意一点))(,(00x f x 处的切线的斜率为)1)(2(00+-=x x k 。
（1）求c b a ,,的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）若)(x f y =在23≤≤-x 上的最小值为2
5
，求)(x f y =在R 上的极大值。
21．（本题满分13分）
如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成︒30的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． （Ⅰ）求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠
为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围．
22．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧+
⋅+n
n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的 值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证：2
1
)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .
高中文科数学高考模拟试卷答案及评分标准
一、ABBCD DABCD CC
二、13．20. 14．[)4+∞. 15．
2
222c
b a ++． 16．8,23π. 三、解答题：本大题满分74分．
17．解：（Ⅰ）∵2()cos sin )sin cos f x x x x x x x =++
22sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)3
2sin(2π
+=x ．
)(x f ∴的最小正周期为π．
（Ⅱ）∵]2,3[ππ-∈x ，3
4323π
ππ≤+≤-∴x ， ………… 9分
又)3
2sin(2)(π
+=x x f ，]2,3[)(-∈∴x f ，()f x 的值域为]2,3[-．
18．解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为3666=⨯个. 2分
记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：
)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .36
5)(=∴A P …… 5分 （Ⅱ）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ； …………… 6分
当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y ……………… 8分 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．
.36
17
)(=∴B P ………… 10分 19．（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,
平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ， ⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，
⊥∴AF 平面CBF 。 …………………… 5分
（Ⅱ）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2
1
，
则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，
//OM ∴平面DAF 。
(Ⅲ)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
31=⋅=
∴-， ⊥CB 平面ABEF ， CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 6
1
2131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．
20.（本小题满分12分）解：（1）c bx ax x f ++='23)(2（1分）
而)(x f 在))(,(00x f x 处的切线斜率)1)(2(23)(0002
00+-=++='=x x c bx ax x f k
∴ 2,12,13-=-==c b a ∴ 31=a ，2
1
-=b ，2-=c （3分）
（2）∵ d x x x x f +--=22
131)(2
3
由0)1)(2(2)(2≥+-=--='x x x x x f 知)(x f 在]1,(--∞和),2[+∞上是增函数 由0)1)(2()(≤+-='x x x f 知)(x f 在]2,1[-上为减函数（7分）
（3）由)1)(2()(+-='x x x f 及23≤≤-x 可列表
)(x f 在]2,3[-由d f +-=-215)3(，d f +-=310
)2(知)2()3(f f <-（9分） 于是25215)3(=+-=-d f 则10=d （11分）∴ 6
67)1()(=-=f x f 极大值 即所求函数)(x f 在R 上的极大值为6
67
（12分）
21.解：（Ⅰ）由已知得直线21l l ⊥，1l ：x y 3
3
=，
2l ：x y 3-=， ……… 2分
),(11y x P 在直线1l 上运动，),(22y x Q 直线2l 上运动，
113
3
x y =
∴,223x y -=， …………………… 3分 由2=PQ 得4)()(2
2222121=+++y x y x ，
即44342221=+x x ，⇒13
2
22
1=+x x ， …………………… 4分 ∴动点),(21x x M 的轨迹C 的方程为1322
=+y x ． …………………… 5分
（Ⅱ）直线l 方程为2+=kx y ，将其代入13
22=+y x
， 化简得0912)31(22=+++kx x k ， ……… 7分设),(11y x A 、),(22y x B
0)31(36)12(22>+⨯-=∆∴k k ，12>⇒k ，
且2
21221319
,3112k
x x k kx x x +=+-=+， …………………… 9分 AOB ∠ 为锐角，0>⋅∴， 即02121>+y y x x ，⇒0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，
04)(2)1(21212
>++++∴x x k x x k ．
将2
2
1221319
,3112k x x k kx x x +=+-=+代入上式， 化简得0313132
2>+-k
k ，3132
<⇒k ． …………………… 11分 由12
>k 且3132 ∈k ． ……………………13分 22．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭ ⎫ ⎩ ⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由. （Ⅲ）求证： 2 1 )1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a . 解：(Ⅰ)由题意可得： .0221=-++n n S a ① 2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② …………………… 1分 ①─②得()221 02211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ， 2 1 22,12121=⇒=+=a a a a …………………… 3分 ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211 -⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n a ……………… 4分 （Ⅱ）解法一:.2122 112111--=--= n n n S ……………… 5分 若⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ +n n S 2λ为等差数列， 则3322123,22,2λ λλ λλ λ+ ++ ++ +S S S 成等差数列, ……………… 6分 2,82547231492328252349312λλλλλλ+++ =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得.2=λ ……………… 8分 又2=λ时，222 2 2+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列， 故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ ++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分 解法二: .2122112111--=--= n n n S ……………… 5分 ().2 1 22221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ …………… 7分 欲使⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ +⋅+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可. ……………8分 故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分 （Ⅲ）=+++)1)(1(1 1k k a a (21)121)(121(11k k k =++--+1211k )12 111+-k …… 10分 ∑∑==+--+=++∴n k k n k kt k k a a 11112 11 ()1)(1(2)12111+-k ………… 11分 ++-+=)1111211( ++-+)12 1 1 1211(2 -++1211(t )12111+-k 7 ++-=1111211+k 21122-+=k k ………… 12分 又函数=+=122x x y 1211+x 在),1[∞+∈x 上为增函数， 11 2212211<+≤+∴k k ， ………… 13分 211211 222132-<-+≤-∴k k ，21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a ． ……… 14分下载本文
