文科数学

第I卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2011•新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个    B．4个    C．6个    D．8个

2．（5分）（2011•新课标）复数=（　　）

A．2﹣i    B．1﹣2i    C．﹣2+i    D．﹣1+2i

3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）

A．y=2x3    B．y=|x|+1    C．y=﹣x2+4    D．y=2﹣|x|

4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）

A．120    B．720    C．1440    D．5040

6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　）

A．18    B．24    C．36    D．48

10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）

A．（，）    B．（﹣，0）    C．（0，）    D．（，）

11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（　　）

A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

12．（5分）（2011•新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个    B．9个    C．8个    D．1个

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 

13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k=　　　　　　．

14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　　　　　　．

15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为　　　　　　．

16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 

17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明：PA⊥BD

（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．

19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．

22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2011•新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个    B．4个    C．6个    D．8个

【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，

∴P=M∩N={1，3}

∴P的子集共有22=4

故选：B

2．（5分）（2011•新课标）复数=（　　）

A．2﹣i    B．1﹣2i    C．﹣2+i    D．﹣1+2i

【解答】解：=﹣2+i

故选C

3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）

A．y=2x3    B．y=|x|+1    C．y=﹣x2+4    D．y=2﹣|x|

【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；

对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；

对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；

对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．

故选B．

4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，

则c==2；

则椭圆的离心率为e==，

故选D．

5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）

A．120    B．720    C．1440    D．5040

【解答】解：经过第一次循环得到    经过第二次循环得到

经过第三次循环得到；   经过第四次循环得

经过第五次循环得；   输出结果

此时执行输出720，

故选B

6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，

满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，

由于共有三个小组，则有3种结果，

根据古典概型概率公式得到P=，

故选A．

7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，

所以cos2θ===，

则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．

故选：B．

8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，

是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，

∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，

故选D．

9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　）

A．18    B．24    C．36    D．48

【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），

则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣

∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，

又∵AB⊥x轴

∴|AB|=2p=12

∴p=6

又∵点P在准线上

∴DP=（+||）=p=6

∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36

故选C．

10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）

A．（，）    B．（﹣，0）    C．（0，）    D．（，）

【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3

∴f′（x）=ex+4

当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0

∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0

f（）=﹣1＞0

f（）=﹣2=﹣＜0

∵f（）•f（）＜0，

∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）

故选：A

11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（　　）

A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称

C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称

【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．

故选D．

12．（5分）（2011•新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个    B．9个    C．8个    D．1个

【解答】解：作出两个函数的图象如上

∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数

∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，

在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，

在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，

且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，

再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，

且当x=1时y=0； x=10时y=1，

再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，

故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k=　1　．

【解答】解：∵

∴

∵垂直

∴

即

∴k=1

故答案为：1

14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　﹣6　．

【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，

得到的图形是一个平行四边形，

目标函数z=x+2y，

变化为y=﹣x+，

当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，

当直线过A点时，z取到最小值，

由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）

∴z=4+2（﹣5）=﹣6

故答案为：﹣6．

15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为　　．

【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，

求得BC=﹣8或3（舍负）

∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=

故答案为：

16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　．

【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，

所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．

故答案为：

三、解答题（共8小题，满分70分）

17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=

∴an=×=，

Sn=

又∵==Sn

∴Sn=

（II）∵an=

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）

=﹣（1+2+…+n）

=﹣

∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣

18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明：PA⊥BD

（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．

（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，

则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，

∴BC⊥BD．

故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，

则DE⊥平面PBC．

由题设知PD=1，则BD=，PB=2．

根据DE•PB=PD•BD，得DE=，

即棱锥D﹣PBC的高为．

19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为

∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为

∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，

∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，

即X的分布列为

20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．

法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0

x=0，y=1有1+E+F=0

y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，

即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组

，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．

在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，

由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②

由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．

21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．

【解答】解：（I）．

由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）

所以

解得a=1，b=1

（II）由（I）知f（x）=

所以

考虑函数，

则

所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，

当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；

当

从而当x＞0且x≠1时，

22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

∴C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．

故AD=2，AB=12．

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．

∵C，B，D，E四点共圆，

∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．

由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，

所以即

从而C2的参数方程为

（α为参数）

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．

射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，

射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．

24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为

|x﹣1|≥2．

由此可得x≥3或x≤﹣1．

故不等式f（x）≥3x+2的解集为

{x|x≥3或x≤﹣1}．

（Ⅱ）由f（x）≤0得

|x﹣a|+3x≤0

此不等式化为不等式组

或

即或

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}

由题设可得﹣=﹣1，故a=2

参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；双曲线；danbo7801；涨停；sllwyn；wubh2011；sdpyqzh；qiss；ywg2058；zhwsd；394782；301137；minqi5（排名不分先后）

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