一、函数单调性知识结构

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1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间

4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用

二、重点叙述

1. 函数单调性定义

(一)函数单调性概念

(1)增减函数定义

      一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 、x2 :

如果当x1＜x2 时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;

如果当x1＜x2 时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。

如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。

(2)函数单调性的内涵与外延

⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。

⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1 、x2 ∈D,

① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)

② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)

③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2 。(可用于比较自变量值的大小)

2. 函数单调性证明方法

证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。

实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

(1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。

⑴转化为求差比较证明程序:

①设任意的x1 、x2 ∈D,使x1＜x2 ;

②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。

求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。

③下明确结论。

⑵转化为求商比较证明程序:

①设任意的x1 、x2 ∈D,使x1＜x2;

②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。

求商:; 变形:化简、因式分解; 判断:小于或大于1。

③下明确结论,要注意商的分母的正负。

(2)导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。

设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内,如果,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。

求导证明函数单调性的程序:

①求函数的导数;

②把导函数变形,化简,因式分解,判断正负;

③下明确结论。

3. 函数单调性的判断方法

(1)判断函数单调性的方法:①定义法(即比较法);②图象法;③复合函数单调性判断法则;④运算法;⑤导数法。

实际上,用导数方法证明,求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来判定解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

(2)判断函数单调性的一些常用的结论:

①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同;

②偶函数在其对称区间上的单调性相反;

③单调函数必有反函数(现教材没此概念),且单调性一致;

④函数是奇函数,在某区间上递增;则在对称区间上是递减。

(3)函数单调性判断方法介绍

[1]、图象法:画函数y=f(x)的图象,看在某区间D上,y的值随x值的增大而增大还是减少,从而做出函数单调性的判断。

[2]、定义法:利用增减函数的定义判断。在判断过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。

⑴转化为求差比较判断程序:

①设任意的x1 、x2 ∈D,使x1＜x2 ;

②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形多要“因式分解”。

求差:;变形:化简、因式分解;判断:的符号正或负。

③下明确结论。

⑵转化为求商比较判断程序:

①设任意的x1 、x2 ∈D,使x1＜x2;

②求商—变形—判断小于或大于1;此为关键步骤,变形要注意“因式分解”。

求商:; 变形:化简、因式分解; 判断:小于或大于1。

③下明确结论,要注意商的分母的正负。

[3]、复合法:复合函数y=f(g(x))在某区间D上的单调性,取决于函数y=f(U)与函数U=g(x)在其相应区间上的单调性,可归纳为:

复合法判断程序:

①把复合函数分解已知其单调性的基本函数g(x)和f(U);

②判断函数g(x)和f(U)在各自相应区间上的单调性;

③合成(奇个“减”为减;偶个“减”为增或同增异减),下结论。

[4]、运算法:函数f(x)、g(x)在公共定义域内:

增函数+增函数是增函数;

减函数+减函数是减函数;

增函数-减函数是增函数;

减函数-增函数是减函数。

[5]、导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。

设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内,如果,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。

求导判断函数单调性的程序:

①求函数的导数;

②把导函数进行变形,化简,因式分解,判断正负;

③下明确结论。

 4. 函数单调性的应用

(1)判断证明函数单调性:

按函数单调性的“判断方法”或“证明方法”的程序进行。

(2)比较大小;

①比较函数值大小:

若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且x1＜x2 ,则 f(x1 ) ＜f(x2 );

若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且x1＜x2 , 则f(x1 )＞f(x2 )。

②比较自变量值大小:

若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ),则x1＜x2 ;

若函数y=f(x)在区间D上是递减函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ),则x1 >x2 。

(3)解方程与不等式

若函数y=f(x)在R上是递增函数,f(g(x))≤f(q(x)), 则g(x)≤q(x);

若函数y=f(x)在R上是递减函数,f(g(x))≤f(q(x)), 则g(x)≥q(x)。

(4)求值域、极值、最值

①求值域:

若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增,则函数值域为(f(a),f(b));

若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递减,则函数值域为(f(b),f(a))。

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增,则函数值域为 [f(a),f(b)] ;

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减,则函数值域为 [f(b),f(a)]。

 ②求极值:

Ⅰ、极值定义:

⑴极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0 附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有f(x0)＞f(x) ,就说f(x0 )是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值 =f(x0 ),x0 是极大值点。

⑵极小值:一般地,设函数f(x)在x0 附近有定义,如果对x0 附近的所有的点,都有f(x)>f(x0 ),就说f(x0 )是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值 =f(x0 ),x0 是极小值点。

⑶极值:极大值与极小值统称为极值。 

Ⅱ、方法1:

若函数y=f(x)在(a,b)上递增,在(b,c)上递减,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是函数y=f(x)的极大值点;

若函数y=f(x)在(a,b)上递减,在(b,c)上递增,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极小值,点b是函数y=f(x)的极小值点。

Ⅲ、方法2:

若函数y=f(x)在(a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极大值,点b是函数y=f(x)的极大值点;

若函数y=f(x)在(a,b)内,在(b,c)内,且f(b)存在,则f(b)是函数y=f(x)的极小值,点b是函数y=f(x)的极小值点。

③求最值:

Ⅰ、最值定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

⑵存在xo ∈I,使得f(xo )=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值。

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

⑴对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;

⑵存在xo ∈I,使得f(xo )=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值。

Ⅱ、方法1:

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递增,则函数的最大值为f(b),最小值为f(a) ;

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上递减,则函数的最大值为f(a),最小值为f(b)。

Ⅲ、方法2:

若函数y=f(x)在定义域 [a,b] 上连续,则

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

②求函数在端点的函数值f(a),f(b);

③将函数y=f(x)的个极值与端点函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。

如图,定义在[a,b]上的连续函数y=f(x),求得极值为f(x1 )、f(x2 ),求得定义域端点的函数值为f(a)、f(b),则函数的最大值与最小值分别由f(x1 )、f(x2 )、f(a)、f(b) 中的最大最小值确定。  下载本文