一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 关于的方程＝是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.＝
2. 把一元二次方程＝化成一般形式，得（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3. 在用配方法解一元二次方程＝的过程中配方正确的是（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
4. 当取下列哪个值时，关于的一元二次方程＝没有实数根（ ）
A. B. C. D.
5. 在下列命题中，正确的是（ ）
A.弦是直径
B.长度相等的两条弧是等弧
C.三点确定一个圆
D.三角形的外心不一定在三角形的外部
6. 如图，分别以等边三角形的个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为，则该莱洛三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
7. 在数轴上，点所表示的实数为，点所表示的实数为，的半径为，要使点在内时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
8. 如图，在中，点在优弧上，将沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（ ）
①＝；②＝；③；④平分
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
一元二次方程的解为________．
若是方程＝的一个根，则的值为________．
写出一个以和为根，且二次项系数为的一元二次方程为________．
已知＝，则的值为________．
圆心角是且半径为的扇形面积为________（结果保留）．
某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，所列方程是________．
如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，＝，则的度数为________．
如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若＝，则的度数为________．
如图，在中，＝，＝，＝，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为________．
如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过次翻转之后，点的坐标是________．
三、解答题（共8小题，满分82分）
解下列方程．
（1）＝
（2）＝
（3）＝
（4）＝
当为何值时，代数式的值是的值的倍？
已知关于的一元二次方程＝有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若是正整数，求关于的方程＝的根．
如图，是圆的直径，＝，
（1）求的度数．
（2）若＝，求圆的半径．
定义新运算：对于任意实数、都有＝，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如＝＝，根据以上知识解决问题：
（1）计算的值；
（2）若的值等于，求的值．
如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为点，则点坐标为________；
（2）连接、，则圆的半径长为________（结果保留根号）．的度数为________；
（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）
小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：
如图，在中，＝，圆是的外接圆．点是圆上一点，过点作，垂足为，且平分．
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
（2）若＝，＝，求线段的长．
某水晶饰品商店购进个饰品，进价为每个元，第一天以每个元的价格售出个，第二天若按每个元的价格销售仍可售出个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低元，可多售出个，但售价不得低于进价）
（1）若商家想第天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？
（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个元的价格全部售出，如果这批饰品共获得元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？
参与试题解析
2021-2022学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【解答】
∵ 关于的方程＝是一元二次方程，则；
2.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
根据一元二次方程的一般形式：＝，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步骤整理后，即可得到答案．
【解答】
＝，
去括号得：＝，
移项得：＝，
合并同类项得：＝，
3.
【答案】
B
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
根据配方法即可求出答案．
【解答】
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ ＝，
4.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
由题意可知：＝，
∴ ，
5.
【答案】
D
【考点】
命题与定理
【解析】
根据命题的“真”“假”进行判断即可．
【解答】
、弦不一定是直径，是假命题；
、完全重合的两条弧是等弧，是假命题；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，是假命题；
、三角形的外心不一定在三角形的外部，是真命题；
6.
【答案】
C
【考点】
等边三角形的性质
弧长的计算
【解析】
直接利用弧长公式计算即可．
【解答】
该莱洛三角形的周长＝．
7.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
在数轴上表示实数
数轴
实数
【解析】
首先确定的取值范围，然后根据点所表示的实数写出的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】
∵ 的半径为，若点在内，
∴ ，
∵ 点所表示的实数为，
∴ ，
8.
【答案】
A
【考点】
翻折变换（折叠问题）
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
根据折叠的性质可得＝；根据线段中点的定义可得＝；根据垂径定理可作判断③；延长交于，连接，根据垂径定理可作判断④．
【解答】
过作，交于，连接、，
由折叠得：＝，＝，
∴ ＝＝，
故①正确；
∵ 点是的中点，
∴ ＝，
∵ ＝，故②正确；
∴ ，
由折叠得：，
∴ ；
故③正确；
延长交于，连接，
∵ ，
∴ ＝，
∴ 不平分，
故④错误；
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
【答案】
，
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
首先把移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【解答】
解：，
移项得：，
整理得，
则或，
解得，．
故答案为：，．
【答案】
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
【解答】
∵ ＝
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ ＝＝．
【答案】
＝
【考点】
根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
【解析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】
由题意可设方程为：＝，
由根与系数的关系可知：＝，＝，
∴ ＝，＝，
∴ 该方程为：＝，
【答案】
或
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
先利用因式分解法求出的值，再分别代入求解可得．
【解答】
∵ ＝，
∴ ＝或＝，
解得＝，＝，
当＝时，＝；
当＝时，＝＝；
综上，＝或；
【答案】
【考点】
扇形面积的计算
【解析】
根据扇形的面积公式代入，再求出即可．
【解答】
由扇形面积公式得：．
【答案】
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设每次降价的百分率为，根据题意可得，（降价的百分率），据此列方程即可．
【解答】
解：设每次降价的百分率为，
由题意得，．
故答案为：．
【答案】
【考点】
切线的性质
【解析】
先利用切线的性质得到＝，则利用互余和计算出＝，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出的度数．
【解答】
∵ 直线与相切于点，
∴ ，
∴ ＝，
∴ ＝＝，
∵ ＝，
而＝，
∴ ＝．
【答案】
【考点】
轴对称的性质
圆周角定理
圆内接四边形的性质
【解析】
直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】
∵ 圆内接四边形，
∴ ＝＝，
∵ 点关于的对称点在边上，
∴ ＝＝，
∴ ＝＝．
【答案】
【考点】
切线的性质
【解析】
连接，，由为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时，最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值．
【解答】
连接、，如图所示，
∵ 是的切线，
∴ ，
根据勾股定理知：＝，
∴ 当时，线段最短，
∵ 在中，＝，＝，
∴ ＝，
∴ ∴ ，即，
∵ ＝，
∴ ，
【答案】
【考点】
正多边形和圆
规律型：点的坐标
坐标与图形变化-对称
规律型：数字的变化类
规律型：图形的变化类
翻折变换（折叠问题）
【解析】
先求出开始时点的横坐标为＝，根据正六边形的特点，每次翻转为一个循环组循环，用除以，根据商和余数的情况确定出点的位置，然后求出翻转前进的距离，连接，过点作于，则，＝＝，＝，求出＝＝＝，即可得出点的坐标．
【解答】
∵ 六边形为正六边形，
∴ ＝，
∴ ＝＝，
∴ 开始时点的横坐标为：＝，
∵ 正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，
∴ 每次翻转为一个循环组循环，
∵ ＝，
∴ 为第循环组的第次翻转，点在开始时点的位置，如图所示：
∵ ，
∴ ＝，
∴ 翻转前进的距离＝＝，
∴ 翻转后点的横坐标为：＝，
连接，过点作于，则，＝＝，＝，
∴ ＝＝＝，
∴ 点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分82分）
【答案】
＝，
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ＝，＝；
＝，
＝，
∴ ＝，＝；
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ，＝；
＝
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ，＝．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
（1）移项，利用因式分解法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解；
（3）利用因式分解法求解；
（4）整理后，利用因式分解法计算．
【解答】
＝，
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ＝，＝；
＝，
＝，
∴ ＝，＝；
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ，＝；
＝
＝
＝，
∴ ＝或＝，
∴ ，＝．
【答案】
根据题意，得：＝，
整理，得：＝，
则＝，
∴ ＝或＝，
解得＝，＝．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
先根据题意列出关于的方程，再整理成一般式，最后利用因式分解法求解可得．
【解答】
根据题意，得：＝，
整理，得：＝，
则＝，
∴ ＝或＝，
解得＝，＝．
【答案】
根据题意得：，
解不等式得：；
由（1）得：
∵ 为正整数，
∴ ＝，
把＝代入原方程得：＝，
解得：＝，＝．
【考点】
根的判别式
【解析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根知，据此列出关于的不等式，解之可得；
（2）由（1）中的范围且为正整数得出的值，代入方程，解之可得．
【解答】
根据题意得：，
解不等式得：；
由（1）得：
∵ 为正整数，
∴ ＝，
把＝代入原方程得：＝，
解得：＝，＝．
【答案】
∵ 是圆的直径，
∴ ＝，
∵ ＝＝，
∴ ＝；
∵ ＝，＝，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ 圆的半径为．
【考点】
圆周角定理
【解析】
（1）根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
∵ 是圆的直径，
∴ ＝，
∵ ＝＝，
∴ ＝；
∵ ＝，＝，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝，
∴ 圆的半径为．
【答案】
根据题中的新定义得：原式＝＝；
已知等式利用题中的新定义化简得：＝，即＝，
开方得：＝，即＝．
【考点】
实数的运算
【解析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】
根据题中的新定义得：原式＝＝；
已知等式利用题中的新定义化简得：＝，即＝，
开方得：＝，即＝．
【答案】
,
设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得，．
【考点】
垂径定理
坐标与图形性质
勾股定理的逆定理
勾股定理
圆锥的计算
【解析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解答】
分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点的坐标为，
故答案为：；
圆的半径长，
，
＝＝，
＝，
则＝，
∴ ＝，
故答案为：；；
设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得，．
【答案】
如图，连接．
∵ ＝，
∴ ＝，
又∵ ＝，
∴ ＝，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 直线与相切；
如图，延长交于点，连结，
∵ ，＝，
∴ ＝，即，
又∵ ＝，
∴ ＝，又由是的中点，
∴ 是的中位线，
∴ ．
∵ 为直径，
∴ ＝，
∴ ＝，＝，
∴ ，
∴ ＝．
∴ ＝＝
由四边形是矩形，
∴ ＝＝，
∴ ＝，
∴ ＝＝．
【考点】
直线与圆的位置关系
垂径定理
角平分线的性质
三角形的外接圆与外心
勾股定理
【解析】
（1）直线与相切．连接．根据圆的性质和等边对等角可得＝，等量代换得到＝，根据平行线的判定和性质得到＝＝，再根据垂直的定义和性质可得，根据切线的判定即可求解；
（2）如图，延长交于点，连结，构建直角的中位线，运用三角形中位线定理和勾股定理分别求得＝、＝，结合图形找到相关线段间的和差关系求得线段的长度即可．
【解答】
如图，连接．
∵ ＝，
∴ ＝，
又∵ ＝，
∴ ＝，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 直线与相切；
如图，延长交于点，连结，
∵ ，＝，
∴ ＝，即，
又∵ ＝，
∴ ＝，又由是的中点，
∴ 是的中位线，
∴ ．
∵ 为直径，
∴ ＝，
∴ ＝，＝，
∴ ，
∴ ＝．
∴ ＝＝
由四边形是矩形，
∴ ＝＝，
∴ ＝，
∴ ＝＝．
【答案】
设降低元销售，由题意得：
＝
解得：＝
＝（元）
答：销售价格应定为元．
设单价降低元销售，由题意得：
＝
化简得：＝
∴ ＝＝
∴ ＝
∴ 第二天每个饰品的销售价格为元．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）设降低元销售，由总数减去第一天销售的，再减去第二天销售的，等于，列一元一次方程，求解即可；
（2）设单价降低元销售，根据第一天的利润加第二天的利润，再加上清仓利润等于元，得方程，求解即可．
【解答】
设降低元销售，由题意得：
＝
解得：＝
＝（元）
答：销售价格应定为元．
设单价降低元销售，由题意得：
＝
化简得：＝
∴ ＝＝
∴ ＝
∴ 第二天每个饰品的销售价格为元．下载本文
