韩艳华，蒋刚，宰金珉，蒋桐 （南京工业大学，江苏 南京 210009）
摘要：考虑复合桩基极限状态时承台下土体的可能破坏特点，将土体的塑性变形分为竖直向的整体滑动和水平向的绕桩流动。根据极限分析法上限定理，分析上述因素对条形承台复合桩基的极限承载力的贡献，给出圆桩时地基土极限承载力的上限理论解。算例分析表明桩在复合桩基中的另一种不可忽视的贡献，无论只是把它当作安全储备还是考虑到设计中，都是合理和有必要的。
关键字：复合桩基；极限分析法；上限解；速度场；滑移带；圆桩 中图分类号：TU473
随着科技的发展，更多更好的深基础形式不断出现。复合桩基作为其中一种，其理论体系正逐步发展成熟，但在整体极限承载力状态和相应破坏模式方面，虽然已经被模型试验证明但仍需进一步研究。这些工作涉及到承台下地基土的极限性状，至今仅有宰金珉教授利用极限平衡法对地基土极限承载力提高值[1]进行的理论分析。
极限平衡法，考虑力的平衡忽略材料的屈服，其解答属于下限解；同时它的计算滑动面虽是人为假定，但假定结构在极限状态下满足破坏机构的条件，其解答又属于上限解。这意味极限平衡法的结果只能作为参考，否则安全性将受到置疑。极限分析法以满足不同条件的上、下限解来划定极限荷载精确解的可能范围，符合岩土材料没有唯一极限荷载的特点。极限分析上限定理为：按满足（a ）速度边界条件；（b ）应变与速度相容条件的假想破坏模式，根据能量原理使外荷载所做功率与土体内部能量耗损率相等所确定的荷载不会小于实际破坏荷载，需要寻求最小的上限解。
本文分析遵循如下假设：①土体为理想的弹塑性材料。②屈服面须处处外凸，且材料须符合相关联的流动法则。③土体破坏机构仍取为典型的Prandtl 机构。由于承台下地基土破坏模式的复杂性，本文将土体内部的能量耗损率简便地分为竖直向剖面和水平向绕桩两部分。
1 外荷载所作功率
1.1竖直方向上破坏机构与速度场
竖直方向上取为典型Prandtl 破坏机构，按照先易后难的原则本文不考虑土重与埋深，按对称性取一半机构如图1(a)所示，也先不计承台边缘伸出桩壁外的距离t 。全面考虑上述细节的结果另文再述。对于条形承台复合桩基，单位桩距内的总外荷载用P 表示，并以速度P v 竖直向下运动。破坏机构由底角为/4/2απϕ=+的等腰三角形
ABC ，中心角为/2π的对数螺线受剪区ACD 和底角为/4/2βπϕ=−的等腰三角形ADE 组成。其中，ABC 与P 同速向下作刚体运动，ACD 初始速度为0v ，ADE 以速度1v 并垂直于AD 方向作刚体运动，AC 和CDE 是速度间断线，ϕ为土的摩擦角。CDE 以下土体是刚性区，故沿该线各点的速
度方向必与该线成角度ϕ。
AC 处速度图如图1(b)所示，图中三角形等腰，则有01/2sec P v v α=⋅。在受剪区ACD 内，速度和对数半径均按指数规律变化，其中/2tan
v v e πϕ⋅=。
图1 竖直剖面 Fig. 1 Vertical section
1.2荷载P 所作功率
取对称的半个机构，单位桩距内外部荷载所作功率为 0cos 2
P P P
D v Pv α=
= （1） 1.3竖直向和水平向速度场的关系
图1(a)中，圆桩外侧与承台边的距离t 为0，或者t 很小时，θ与β值相差很小，则水平滑移面范围H 可直接取为r β。在螺线区ACD 中，土体的塑性流动遇到桩而产生绕流，属于三维运动。为简化计算，土体绕桩能量只计水平向分量，这
种考虑也是偏于安全的。水平绕桩初始速度v ′沿
桩长各点相同，也直接取为tan 00S v v v e βϕ′≈≈。
考虑H 范围的上部绕桩滑移场的不完整性及其他因素，本文取最终水平能量耗损率折减系数为0.8ξ=。相应的绕圆桩水平滑移线场和速度场如
图2(a)所示[3]，绕桩土体的滑移带初始宽度与桩直径有关，先取其参量0.9h r =（在下文中将对
Fig. 2 Horizontal section
2 竖直方向土体内部的能量耗损率
根据图1(a)破坏模式和对数螺线的特点可得
/2tan /2tan /2sec DE AD ACe B e πϕπϕα⋅⋅===⋅⋅。根据能
量耗损原理[2]
，单位桩距内竖直方向上半个机构的内部能量耗损率由间断线AC 、CD 、DE 和受剪区ACD 提供，即
tan 00[(cos )cot (1)v D c v AC cv AC e πϕϕϕ=+−+
1(cos )]L c v DE ϕ×
tan 00.5Lsec [cos cot (1)cv B e
πϕ
αϕϕ=+−+
tan cos ]e πϕϕ （2） 其中，受剪区ACD 和间断线CD 的能量耗损率均为[2]tan 01/2cot (1)cv AC e πϕϕ⋅−，B 为承台宽度，L 为桩距，c 为土的粘聚力。
3 水平绕桩能量耗损率
3.1水平方向的破坏机构与速度场（圆桩）
根据对称性取图2(a)破坏机构，由底角为/2πϕ−的平行四边形BCED 、
中心角为/2π的对数螺线区DEFG 和底角为/2πϕ+的平行四边形
FGHI 组成。其中BCED 以速度1
v ′并垂直于BC 方向作刚体运动，DEFG 的初始速度1
v ′，FGHI 以速度2v ′并垂直于FG 方向作刚体运动，BC 、EC 、BD 、DG 、EF 、GH 、FI 和HI 是速度间断线。桩前土处于主动状态，ECO β∠=，cot CE BD r β==；桩后土处于被动，FIO α∠=，cot FI GH r α==。
对数螺线区DEFG 的能量损耗由受剪区DEFG 和速度间断线DG 、EF 提供。在对数区O EF
′内，EF 线上和O EF ′受剪区的能量损耗相等，则
DEFG 区的能量损耗等于O DG ′区能量损耗。对数
螺线区O DG ′的初始半径O D O E DE ′′=+，其中sec DE BC h α==。
圆桩内部三角形OEO ′′和O FO ′′′相似，已知条件有OFO ϕ′∠=，sec EO r ϕ′′=；
sin (tan )sin O O FO r r ϕϕϕ′′′′′==−，根据几何关系得(sin cos )EO EO O O r ϕϕ′′′′′′=+=+。该区内部各点
速度和半径分别为tan 0v v e θϕθ−′′=，tan 0r r e θϕ
θ−=，
则/2tan 2
1v v e πϕ−⋅′′=，/2tan sec FG HI h e πϕα−⋅==⋅。BC 是速度间断线，速度图如图2(b)所示，与AC
同理可得1
0/2sec v v α′′=⋅。 3.2水平绕桩的总能量耗损率（单桩）
根据能量耗损率原理，圆桩水平绕桩能量耗
损率1h D 的一半由间断线BC 、BD 、CE 、DG 、EF 、
GH 、FI 、HI 和对数受剪区DEFG 提供，总能量耗损率为
1h h D D H ξ=⋅
112[cos ()cot (1cv BC CE BD cv O D ξϕϕ′′′=+++−
tan 2
)cos ()]e cv FI GH HI H πϕϕ−′+++⋅ 2tan 2200.8sec {0.9cos 2sin Bcrv e βϕαβα=++
tan [0.9cos csc 0.5cos (1cot )](1)e πϕβϕϕϕ−++−+
tan 2/2tan 0.9cos 2cos }e e πϕπϕβα−−⋅+ （3）
4 总方程式
根据能量原理，外力所作功率等于总的内部
能量耗损率，得条形复合桩基在极限状态时单位桩距内半个机构的能量方程如下。其中，总的内部能量耗损率包括土体竖直剖面和水平绕桩。
p v h D D D =+ （4） 代入并整理得
tan 22tan 3cot [tan 1]0.8sec {0.9P BcL e Bcre πϕβϕϕαα=−+⋅
2cos 2sin [0.9cos csc 0.5cos (1cot )]βαβϕϕϕ++++
tan tan 2/2tan (1)0.9cos 2cos }e e e πϕπϕπϕβα−−−⋅−++
2tan 0.8v c cBLK crBK e βϕ=+ （5）
其中，tan 2cot (tan 1)v K e πϕϕα=−，为竖直剖面上的
能量耗损系数；
32sec {0.9cos 2sin [0.9cos csc 0.5cos c K αβαβϕϕ=+++⋅
tan tan 2(1cot )](1)0.9cos 2cos e e πϕπϕϕβα−−+−++⋅
/2tan }e πϕ−⋅，为水平剖面上的能量耗损系数。
可以看出，v K 、c K 是仅与摩擦系数ϕ有关的无量纲系数，如图3所示。其中，c K 的表达式是在滑移带参量0.9h r =时列出的，图中同时列
出0.8,1.0,1.1h r r r =的c K 曲线。
可以看出，c K 虽然随着r 系数的增大而增加，但是相差不多，即c
K
对系数的选取敏感性不大。事实上，c K 的值也不可能无地变大，土的滑移带影响范围只能在1倍桩径左右，故本文暂定为0.9r ，用模型试验论证滑移带具体宽度的结果另文再述。
图3 v K 、c K 与的关系图
Fig. 3 Graph of the relation among v K ,c K and ϕ
圆桩时单位面积上极限承载力的上限解为
2tan [0.8]u v c P r
f c K K e BL L
βϕ′=
=+ （6） 其中，天然地基土体竖向极限承载力上限解为
u v f cK = （7）
考虑土体绕桩的极限承载力提高上限解为
2tan 0.8u c r
f c K e L
βϕ∆= （8）
5 算例与分析
某条形承台横剖面如图1(a)示， 4.0B m =，
0 3.6B m =， 1.0D m =，0.4d m =。土层参数3017/kN m γ=，38.0/B kN m γ=，20c kPa =。考察u f 、u f ′、u f ∆与ϕ的关系。 解：将各已知量分别代入式（6）、（7）、（8），结果见图4。
从图中可以看出，u f ∆随着ϕ的增加而增加，同时u f 也加速增加，最终承载力提高率/u u f f ∆
u u u u u Fig. 4 Graph of the relation among u f ′,u f ,u f ∆,/u u f f ∆and ϕ
反而是随着ϕ的增加而减小。总的看，桩对承台下地基土的极限承载力有明确的提高，尤其对于较软的粘性土更为明显，这与文[1]的结论相同。
6 结语与展望
本文用极限分析法研究分析复合桩基承台下地基土的极限承载力，使其更符合实际的破坏状态，进一步完善了复合桩基的设计理论。算例分析表明桩在复合桩基中的另一种不可忽视的贡献，无论只是把它当作安全储备还是考虑到设计中，都是合理和有必要的。
参考文献:
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[6]龚晓南.土塑性力学[M].杭州:浙江大学出版社,1999:272～367.
Limit Analysis on Ultimate Bearing Capacity of Soils
under Composite Piles Foundations
Han Yanhua, Jiang Gang, Zai Jinmin, Jiang Tong
(Civil Engineering College, Nanjing University of Technology, Nanjing, China 210009)
Abstract ： Based on the possibly destructive features of soils under strip composite pile foundations on the ultimate state, plastic deformation is divided into vertically whole sliding and horizontally sliding around a pile. According to upper limit theorem and analyzing the contribution of the above factors to the ultimate resistance of strip composite pile foundations, the upper theoretical solution for the ultimate resistance to the soil under caps of circular piles is put forth. Analysis on the example shows that in composite pile foundations piles have another unneglectable contribution, no matter which is used as safety stock or considered in the design, it is reasonable and necessary. Key Words ： composite pile foundation ，limit analysis ，upper limit solution ，velocity field ，sliding area ，circular pile.
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