第一部分：数与代数

一、数的认识

（一）整数

【1】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。自然数的单位是1。自然数和0都是整数。连续自然数相差1。

【2】像…，-3，-2，-1，0，1，2，3…这样的数统称整数。整数的个数是无限的。

【3】一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数法叫做十进制计数法。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。一个整数含有数位的个数叫做位数。最小的一位数是1。

【4】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。（例如）10250200050读作：一百零二亿五千零二十万零五十。

【5】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。（例如）七十亿零三百万四千写作：7003004000。

【6】准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。（例如）把 1254300000 改写成以“万”做单位的数是 125430 万；改写成以“亿”做单位的数 12.543 亿。

【7】近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。（例如）1302490015 省略“亿”后面的尾数约是 13 亿。

【8】四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。（例如）省略 345900 “万”后面的尾数约是 35 万；省略 4725097420 “亿”后面的尾数约是 47 亿。

【9】整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么我们就说6能被3整除（或6能被2整除），或3能整除6（或2能整除6）。

【10】如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和约数是相互依存的。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么6就是3和2的倍数，2和3就是6的因数（或a的约数）。

【11】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。一个数最小的倍数等于它最大的约数。（例如）9的最小的因数是1，最大的因数是9，最小的倍数是9。

【12】个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。（例如）2758的个位是8，所以2758能被2整除。个位上是0或者5的数，都能被5整除。（例如）975的个位是5，所以975能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（例如）2748的各位和2＋7＋4＋8=21，因为21能被3整除，所以2748就能被3整除。

【13】一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。（例如）2745的各位和2＋7＋4＋5=18，因为18能被9整除，所以2745就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。（例如）10316的末两位是16，因为16能被4整除，所以10316就能被4整除；1350的末两位是50，因为50能被25整除，所以1350就能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。（例如）10816的末三位是816，因为816能被8整除，所以10816就能被8整除；7250的末三位是250，因为250能被125整除，所以7250就能被125整除。

【14】能被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。最小的偶数是0。连续偶数相差2。不能被2整除的数叫做奇数。最小的奇数是1。连续奇数相差2 。

【15】一个数，如果只有1和它本身两个因数，叫做质数（或素数）。（例如）因为37只有1和37这两个因数，所以37是质数。最小的质数是2。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、、97。既是质数又是偶数的数只有2。 一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。（例如）因为91除了有因数1和91外，还有因数7、13，所以91是合数。最小的合数是4。1既不是质数也不是合数。

【16】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（例如）把48分解质因数：48=2×2×2×2×3。把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

【17】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

【18】公因数只有1的两个数是互质数。一定是互质数的情况有：①1和任何自然数；②相邻的两个自然数；③两个不同的质数。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

【19】自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数；自然数按约数的个数分为质数、合数和1。 

【20】如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1，最小公倍数是它们的乘积；（例如）3和5因为是互质数，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5=15。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，较小数就是这两个数的最大公因数。（例如）24和6因为24是6的倍数，所以24和6的最大公因数是6，最小公倍数是24。

【21】求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。

【22】求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

（二）小数

【1】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

【2】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数是整数部分，从右向左依次分别是个位、十位、百位、千位……；小数点右边的数是小数部分，从左向右依次分别是十分位、百分位、千分位……

【3】小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

【4】小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

【5】在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高位是十分位；整数部分的最低位是个位。

【6】数位顺序表：

（1）小数的小数部分的位数是有限的，就叫做有限小数（纯小数和带小数）。

①、整数部分是零的小数，叫做纯小数。

②、整数部分不是零的小数，叫做带小数。

（2）小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数（无限循环小数和无限不循环小数）。

①、一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做（无限）循环小数（纯循环小数和混循环小数）。

Ⅰ：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

Ⅱ：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

②、一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

【8】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

【9】小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

10、小数点的移动引起小数的大小变化：小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……

（三）分数

【1】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

【2】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

【3】分数的读法：读分数时，先读分母，再读“分之”，然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

【4】分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。

【5】两个整数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b＝ (b≠0) 

【6】分数的分类（真分数和假分数）

（1）分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

①、分子是分母倍数的假分数，可以化成整数。

②、分子不是分母倍数的假分数，可以化成带分数（假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数）。

【7】把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

【8】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

【9】分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。

【10】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数（也叫做百分率或百分比）。百分数通常用"%"来表示。

【11】百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

【12】百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

【13】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数大小不变。

【14】商店降价出售商品，叫做打折扣出售，统称“打折”。几折表示十分之几或者百分之几十。打几折表示按原价的百分之几十出售。如：八五折就是原价的85%。

【15】农业收入，经常用“成数”来表示，几成就表示十分之几或者百分之几十。

（四）正数和负数

【1】像-16，-，-0.4,…这样的数叫做负数。负数有负整数、负小数、负分数……

【2】像16，，0.4，…这样的数叫做正数。正数前面可以加上“＋”号，也可以省去“＋”号。正数有正整数、正小数、正分数……

【3】０既不是正数，也不是负数。

（五）数的互化

【1】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

【2】分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，除不尽的，一般按“四舍五入”法，保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

【3】小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

【4】百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

【5】分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

【6】百分数化成分数：把百分数写成分数形式。能约分的要约成最简分数。

（六）数的大小比较

【1】比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

【2】比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

【3】比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再按同分母（或同分子）分数比较大小的方法比较大小。

【5】整数、小数、分数、百分数的混合比较：一般先统一化成小数，再比较大小。

5、负数都比０小，而正数都比０大。负数都比正数小。

二、数的运算

（一）四则运算的意义

【1】加法（一级运算）：把两个数合并成一个数的运算。

关系式：加数＋加数＝和        一个加数＝和－另一个加数

【2】减法（一级运算）：己知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

关系式:被减数－减数＝差     减数＝被减数－差       被减数＝差＋减数

【3】乘法（二级运算）：求几个相同加数的和的简便运算。 

关系式:因数×因数＝积       一个因数＝积÷另一个因数

【4】除法（二级运算）：已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

关系式:被除数÷除数＝商除数=被除数÷商被除数=商×除数

【5】加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算。

（二）运算定律

【1】加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 字母表示：a＋b=b＋a【2】加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。字母表示：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)【3】乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。字母表示：a×b=b×a【4】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。字母表示：(a×b)×c=a×(b×c)【5】乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。字母表示：(a＋b)×c=a×c＋b×c【6】减法的性质：从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个减数的和。字母表示：a－b－c=a－（b＋c）

【7】除法的性质：

（1）一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个除数的积。

用字母表示为：a÷b÷c=a÷（b×c）

（2）被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。

用字母表示为：a÷b=（a×c）÷（b×c）或a÷b=（a÷c）÷（b÷c）

【8】加法的性质：一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）相同的数，和不变。字母表示：a＋b＝（a＋c）＋（b－c）

【9】乘法的性质：一个因数乘以（或除以）不为0的数，另一个因数除以（或乘以）相同的数，积不变。字母表示：a×b＝（a×c）×（b÷c）（c≠0）

【10】有趣的括号：括号前面是减号（或除号），去掉括号，括号里面的数所带符号变为逆运算符号；括号前面是加号（或乘号），去掉括号，括号里面的数所带符号不变。

字母表示为：a－(b－c)=a－b＋c或a÷(b÷c)=a÷b×c

a＋(b－c)=a＋b－c或a×(b÷c)=a×b÷c

（三）计算法则

【1】整数加、减法：把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减，哪一位满十就向前一位进一。 

【2】小数加、减法：把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）， 再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。）

【3】整数乘法：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。） 

【4】小数乘法：按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）。 

【5】整数除法：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小。 

【6】小数除法：

（1）除数是整数的小数除法法则：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。 

（2）除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除。

【7】分数加、减法：同分母的分数相加、减，只把分子相加（或相减），分母不变。异分母的分数相加、减，先通分，然后按同分母分数加、减方法计算。计算结果能约分的要约分。异分母分数不能直接相加减，是因为它们的分数单位不同。

【8】分数乘法：

（1）分数乘整数（表示求几个几分之几是多少？）：分子与整数能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。

（2）一个数乘分数（表示求一个数的几分之几是多少？）：

①、整数乘分数：整数与分子能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。

②、分数乘分数：能约分的先约分，然后用分数分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

③、小数乘分数：把小数化成分数（或者把分数化成小数，也可以让小数与分母同时除以不为0的数进行化简），然后再乘。

【9】分数除法：甲数乘以乙数（乙数≠0）等于甲数乘以乙数的倒数。

【10】乘积是1的两个数互为倒数。分数的倒数：把原分数的分子、分母调换位置；整数的倒数：用整数做分母，分子是1的分数；小数的倒数：先把小数化成分数，然后按求分数倒数的方法找。百分数的倒数：先把百分数改写成分数形式，然后按求分数倒数的方法找。

（四）混合运算

【1】在四则运算中，加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。

【2】在一个没有括号的算式里，如果含有同一级运算，要从左往右依次计算（有时为了计算简便，可以改变运算顺序，但必须遵循“数字带着运算符号移”的原则，例如：172＋39－72=172－72＋39=100＋39=139）；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

【3】在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

（五）特殊数字的计算

【1】“0”的计算：0＋A=A，A－0=A，0×A=0，0÷A=0

【2】“1”的计算：1×A=A，A÷1=A

【3】同数（A≠0）的计算：A×A=，A÷A=1，A＋A=2A，A－A=0

（六）计算中的大小变化

【1】加法（或乘法）中：一个加数（或因数）不变，另一个加数（或因数）越大，和（或积）越大；另一个加数（或因数）越小，和（或积）越小。

【2】减法（或除法）中：减数（或除数）不变，被减数（或被除数）越大，差（或商）越大；被减数（或被除数）越小，差（或商）越小。被减数（或被除数）不变，减数（或除数）越大，差（或商）越小；减数（或除数）越小，差（或商）越大。

【3】乘法中：一个因数＞1，积＞另一个因数；一个因数＜1，积＜另一个因数

【4】除法中：除数＞1，商＜被除数；除数＜1，商＞被除数

三、式与方程

【1】含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。

【2】用字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。

（1）数与字母相乘，可以省略乘号，数字写在字母的前面，

（例如）a×3可以简写成：a·3或3a；

（2）字母与字母相乘，可以省略乘号，也可以写成乘号的简写法，

（例如）不同字母相乘：a×b可以简写成：a·b或ab；

相同字母相乘：a×a可以简写成：a·a或a（读作：“a的平方”或“a的二次方”）；

（3）注意：数与数相乘不能省略乘号。 

【3】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 

【4】求方程的解的过程，叫做解方程。解方程不一定是解比例，但解比例是解方程。 

【5】当n表示任何一个自然数时：2n表示偶数；2n＋1表示奇数。 

【6】等式的性质：等式两边同时乘以（或除以、或加上、或减去）一个相同的数（0除外），等式仍然成立。

【7】比较2a和a

（1）2a表示两个a相加（也就是2乘a），即表示：a＋a

（2）a表示两个ａ相乘，即表示：ａ×ａ

（3）比较大小

①、当ａ＜２，2a＞a；如ａ＝１时，2a＝2×１＝２，a=1×1=1，2＞1。

②、当ａ=２，2a= a；如ａ＝2时，2a＝2×2＝4，a=2×2=4，4=4。

③当ａ＞２，2a＜a；如ａ＝3时，2a＝２×3＝6，a=3×3=9，6＜9。

【8】解方程及检验方程（举例）

（1）2x＋4=16                         （2）12－3x=9

  2x＋4－4=16－4                               3x=12－9（依据“减数=被减数－差”）

        2x=12                                  3x=3

2x÷2=12÷2                                x=3÷3                             

X=6                                    x=1

（3） 4x－x=9                        （4）18÷2x=3

  （4－1）x=9                                 2x=18÷3（依据“除数=被除数÷商”）

         3x=9                                 2x=6

X=9÷3                               x=6÷2

X=3                                  x=3

检验：把x=3代入原方程，                检验： 把x=3代入原方程，

      左边=4x－x =4×3－3=12－3=9，             左边=18÷2x =18÷（2×3）=18÷6=3，

      右边=9，                                 右边=3

      左边=右边，                              左边=右边，

      所以x=3是方程4x－x=9的解。             所以x=3是方程18÷2x=3的解。

四、常见的量

（一）名数及改写

【1】把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数。

【2】只带有一个单位名称的叫做单名数。

【3】带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。

【4】名数的改写方法：高级单位的名数改写成低级单位的名数，乘进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数，除以进率。（例如）

（1）12千米=（12000）米。想：要把高级单位改写成低级单位，即：12×1000=12000米。

（2）40分=（）时。想：要把低级单位改写成高级单位，即：40÷60=时。

（3）50吨70千克=（50070）千克。想：先把50吨改写成50×1000=50000千克，再用70千＋50000千克=50070千克，即：50×1000＋70=50070千克。

（4）50吨70千克=（50.07）吨。想：先把70千克改写成70÷1000=0.07吨，再用0.07吨＋50吨=50.07吨，即：50＋70÷1000=50.07吨

（5）6270=（6）(270)。想：要把低级单位改写成高级单位，即：6270÷1000=6余270。

（6）8.03=（8）（30）。想：取8.03的整数部分的8表示为的量，剩余的0.03，按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成，即：0.03×1000=30。

（7）5时=（5）时（40）分。想：取5时的整数部分的5表示为“时”量，剩余的时，按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成“分”，即：×60=40分。

（二）常用单位名称及进率

【1】长度单位（1）单位名称及对应字母：千米（公里）---km、米---m、分米---dm、厘米---cm、毫米---mm。（除过千米和米）其它相邻长度单位进率都是10。

（2）单位大小（实物参照）：1米（小方桌边长）；1分米（粉笔盒棱长）；1厘米（手指宽度）；1毫米（缝衣针孔宽度）。

（3）常用进率：

1公里＝1千米    1千米＝1000米    1米＝10分米   1分米＝10厘米   

 1厘米＝10毫米 1米＝100厘米1千米＝100000厘米【2】面积单位

（1）单位名称及对应字母：平方千米---、公顷、（公亩）、平方米---、平方分米---、平方厘米---、平方毫米---。相邻面积单位进率都是100。

（2）单位大小（实物参照）：边长1000米的正方形面积是1平方千米；边长100米的正方形面积是1公顷；边长10米的正方形面积是1（公亩）；边长1米的正方形面积是1平方米（小方桌面）；边长1分米的正方形面积是1平方分米（粉笔盒一个面）；边长1厘米的正方形面积是1平方厘米（手指甲盖）；边长1毫米的正方形面积是1平方毫米（缝衣针孔）。

（3）常用进率：

1平方千米=100公顷        1公顷=100（公亩）         1（公亩）=100平方米

1平方米＝100平方分米   1平方分米＝100平方厘米   1平方厘米＝100平方毫米

1公顷=10000平方米        1平方米＝10000平方厘米      1平方千米=1000000平方米

【3】体积（或容积）单位

（1）单位名称及对应字母：立方米---、立方分米（升）---、立方厘米（毫升）---、立方毫米---。相邻体积（或容积）单位进率都是1000。

（2）单位大小（实物参照）：棱长1米的正方体体积是1立方米（小方桌所占空间）；棱长1分米的正方体体积是1立方分米（粉笔盒所占空间）；棱长1厘米的正方体体积是1立方厘米（手指尖所占空间）；棱长1毫米的正方体体积是1立方毫米（缝衣针孔所占空间）。

（3）常用进率：

1立方米＝1000立方分米    1立方分米＝1000立方厘米    1立方厘米＝1000立方毫米

1升＝1000毫升1升＝1立方分米1毫升＝1立方厘米

【4】重量单位

（1）单位名称及对应字母：吨---t、千克（公斤）---kg、克---g。相邻重量单位进率都是1000。（2）常用进率：1吨=1000 千克1千克=1000克 1千克=1公斤 

【5】人民币单位

（1）单位名称：元、角、分。相邻人民币单位进率都是10。（2）常用进率：1元=10角 1角=10分 1元=100分 

【6】时间单位

（1）单位名称：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒，

（2）常用进率：

①、1世纪=100年1年=12月1年（平年）=365天1年（闰年）=366天

②、 一个月的天数：

大月有31天（包括：1、3、5、7、8、10、12月）

小月有30天（包括：4、6、9、11月）

平年2月有28天   闰年2月有29天

③、1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

④、一年有4个季度，每个季度3个月

第一季度：1、2、3月；

第二季度：4、5、6月；

第三季度：7、8、9月；

第一季度：10、11、12月。

⑤、一年大约有52个星期；一星期有7天。

⑥、一个月有三旬（上旬：1～10日；中旬：11～20日；下旬：21～月底）。

⑦、判断某年是闰年或平年：

▲公历年份是4的倍数的一般是闰年；否则都是平年。

（例如）1980÷4=495，1980是4的倍数，所以1980年是闰年；1982÷4=495余2，1982不是4的倍数，所以1982年是平年；

▲公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年；否则都是平年。

（例如）1900÷400=4余300，1900不是400的倍数，所以1900年是平年；2000÷400=5，2000是400的倍数，所以2000年是闰年；

五、比和比例

（一）比

【1】两个数相除又叫做两个数的比。比有前项（比号前的数）和后项（比号后的数）。

【2】比的基本性质：比的前项和后项都乘上或除以相同的数（0除外），比值不变。

【3】求比值：比的前项除以后项，所得的商（结果可能是：整数、小数、分数）。

【4】化简比：根据比的基本性质，使比的前项和后项成两个互质的整数（结果还是一个比）。

【5】比、分数和除法的联系与区别：

【1】两个比相等的式子叫做比例。比例中的四个数叫做比例的项，两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内项。

【2】比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两个外项的积。

【3】根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，可以求出另外一个未知项。求比例中未知项的过程，叫做解比例。

【4】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。正比例关系式表示为：。【5】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。反比例关系式表示为：x·y = k( k一定)。

六、数学思考

（一）点连线段：有n个点，可以连成“(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋1”条线段，或用公式“n×(n－1)÷2”计算线段条数。

（二）射线组角：从一点引出n条射线，能组成“(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋1”个角，或用公式“n×(n－1)÷2”计算角的个数。

（三）等差数列

【1】等差数列的意义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差相等，这个数列就叫做等差数列；这个相等的差叫做等差数列的公差；这一列数的个数叫做项数。

【2】等差数列的公式

（1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（2）和＝（首项＋末项）×项数÷2 

（3）末项=首项＋（项数－1）×公差

（四）加法、乘法原理

【1】加法原理：做一件事，完成它可以有n种办法，在第一类办法中有A种不同的方法，在第二类办法中有B种不同的方法，……，在第n类办法中有C种不同的方法，那么完成这件事共有“A＋B＋…＋C”种不同方法。

【2】乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有A种不同的方法，做第二步有B种不同的方法，……，做第n步有C种不同的方法，那么完成这件事共有“A×B×…×C”种不同的方法。

（五）打电话通知人

（每分钟通知一个人），那么１分钟通知到１人；２分钟通知到：1×2＋1=3人；３分钟通知到：3×2＋1=7人；４分钟通知到：7×2＋1=15人；5分钟通知到：15×2＋1=31人……n分钟通知到：（n－1）分钟通知到的人数×2＋1 =n分钟通知到的人数。

（六）数字与编码

【1】数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。

【2】邮政编码由六位阿拉伯数字组成，如448268，它的前两位数表示省、自治区、直辖市，如44表示湖北省；第三位数表示邮区代号，如448代表湖北省荆门邮区；第四位数表示县（市）的编号，如4482代表湖北省荆门市沙洋县邮局；最后两位代表邮件投寄局（所），所以448268表示的就是：湖北省荆门市沙洋县五里邮电支局的投递局。

【3】身份证号码是由18位数字组成：前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码（第17位数字也表示性别区分，奇数为男，偶数为女），第18位为效验码。

（七）“烙煎饼”类问题

（八）“找次品”类问题

（九）“合理安排”问题 

（十）“抽屉问题”

第二部分：空间与图形

一、基本概念

（一）平面图形

【1】线

（1）直线上两点间的一段叫做线段；线段有两个端点；线段是直线的一部分。把线段的一端无限延长，就得到一条射线；射线只有一个端点。线段的两端无限延长，就得到一条直线，直线没有端点。

（2）两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。过直线外一点向已知直线的连线中，垂线最短。

（3）同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线之间垂直线段的长度都相等。

【2】角

（1）由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”来表示。角的大小与两边叉开的大小有关，与角的两边画出的长短没有关系。在放大镜下看角，角的大小不变。

（2）角的度量：角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角叫做1度的角，记作1°。用量角器量角的时候，把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，0°该度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 

（3）角的分类：大于0°，而小于90°的角叫做锐角。等于90°的角叫做直角。大于90°而小于180°的角叫做钝角。角的两边成一条直线，等于180°的角叫做平角。一条射线绕它的端点旋转一周所成为一个360°的角叫做周角。

（4）1周角=2平角=4直角，1平角=2直角。

【3】三角形

（1）由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形具有稳定性。

（2）三角形内角和是180度。n边形内角和是：（n－2）×180°。

（3）三角形按边分：不等边三角形（三条边都不相等的三角形）、等腰三角形（两条边相等的三角形）、等边三角形（正三角形）（三条边都相等的三角形）。

（4）三角形按角分：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）。

（5）两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形里，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角；底边上的两个角叫做底角。

（6）三角形任意两边的和大于第三边。

（7）为了表示方便，三角形三个顶点的字母如果是A、B、C，则三角形可以表示成△ABC。

【4】四边形

（1）由四条线段围成的图形叫做四边形。从平行四边形的一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。四边形容易变形。

（2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。平行的一组对边叫做梯形的上、下底；不平行的一组对边叫做梯形的腰；在梯形里，从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

（3）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（4）两组对边分别平行，且四条边都相等的四边形叫做菱形。

（5）两组对边分别平行，且四个内角都是直角的四边形叫做长方形。

（6）两组对边分别平行，四个内都是直角，且四条边都相等的四边形叫做正方形。 

（7）最少用四个相等的正方形可以拼成一个较大的正方形。

（8）四边形与各种特殊四边形之间的关系：

【5】圆

（1）圆是一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心（o）；圆心决定圆的位置。从圆心到圆上任意一点的线段，叫圆的半径（r）；半径决定圆的大小。经过圆心并且两端都在圆上的线段，叫圆的直径（d）。圆的直径和半径都有无数条。同一个圆里的直径都相等，半径都相等。

（2）圆周长中任意两点的距离叫做“弧”。

（3）圆的周长总是它的直径的3倍多一些，而且是一个固定的数。圆的周长和直径的比值叫圆周率，圆周率是一个无限不循环小数，用字母“π”表示，π＝3.141592653…… 一般只取它的近似值，即π≈3.14 。约1500年前，中国伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率精确到七位小数的人。

（4）画圆可以用圆规来画：先把有针尖的一只脚固定在一点上作为圆心；再把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离作为半径；然后让装有铅笔的一只脚旋转一周，就画成一个圆。

（5）如果两个圆的半径比是2：3，则直径比是2：3，周长比是2：3，面积比是4：9。

（6）一条弧和经过这两条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆里，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关。

【6】周长和面积

（1）围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。

（2）物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

（3）等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的梯形面积相等。

（4）周长相等的几个平面图形比较，圆的面积最大，其次是正方形、长方形……。

（二）立体图形

【1】长方体和正方体

（1）长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

（2）两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点；相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。

（3）正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体。至少用八个相同的正方体可以拼成一个较大的正方体。

（4）长方体和正方体都有12条棱、6个面、8个顶点；正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体是正方体）；长方体相对的棱长度相等，相对的面的面积相等；正方体12条棱都相等，6个面都相等；长方体中最多有两个面是正方形，最多有4个面大小相等。

【2】圆柱

（1）圆柱上、下两个面叫做底面；它们是完全相同的两个圆。圆柱有无数条高。圆柱有一个曲面，叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。

（2）圆柱的三个特点：①上下一样粗细；②侧面是曲面；③两个底面是相同的圆。

【3】圆锥

（1）圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。

（2）从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一个底面，一个顶点，一条高。

（3）圆锥的侧面展开是个扇形。 

【4】表面积和体积

（1）立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。

（2）物体所占空间的大小叫做物体的体积。

【5】联系

（1）两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。两个完全一样的梯形也可以拼成一个平行四边形。

（2）把一个圆可以剪、拼成一个近似的长方形，拼成长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=C÷2×r=（2πr÷2）×r=（πr）×r=π。（3）把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长，宽等于圆柱的高。因为长方形的面积=长×宽，所以圆柱的侧面积=C×h=πd×h =2πr×h。

（4）把圆柱可以切、拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。圆柱的体积等于拼成长方体的体积。因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高。

（5）等底等高的圆锥的体积是圆柱的三分之一；等底等高的圆柱的体积是圆锥的三倍。

（6）体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的三分之一，圆锥的高是圆柱的3倍。

（7）如何测量不规则物体的体积：

①、选定一个圆柱形容器，里面装适量能淹没被测量物体的水，并测量出圆柱形容器的底面半径和所盛水的高度，根据V=πh，求出容器中水的体积。

②、将不规则物体淹没入水中，测量出这时水面的高度，同理算出这时的容器中水的体积。

③、沉入不规则物体后水的体积与未沉入物体前水的体积之差就是这个不规则物体的体积。

二、计算公式

（一）平面图形

【1】长方形 

长方形的周长=（长+宽）×2---------------------------------C=(a+b)×2 

长方形的面积=长×宽------------------------------------------S=a×b 

【2】正方形 

正方形的周长=边长×4-----------------------------------------C=4a 

正方形的面积＝边长×边长-----------------------------------S=a×a =【3】平行四边形 

平行四边形的面积＝底×高-----------------------------------S= a×h =ah

【4】三角形 

三角形的面积＝底×高÷2--------------------------------------S= a×h÷2 =【5】梯形 

梯形的面积＝(上底+下底)×高÷2----------------------S=(a+b)h÷2=(a+b)h【6】圆 

直径=半径×2-----------------------------------------------------d=2r 

半径=直径÷2-----------------------------------------------------r= d÷2 

圆的周长=圆周率×直径---------------------------------------C=πd 

圆的周长=2× 圆周率×半径----------------------------------C =2πr

圆的直径=周长÷圆周率--------------------------------------d=c÷π

圆的半径=周长÷2÷圆周率----------------------------------r=c÷2÷π

圆的面积＝半径×半径×π--------------------S＝π=π=π（c÷2÷π）半圆的周长=整圆的周长÷2＋直径=C÷2＋d=πr＋2r=（π＋2）r

【7】环形

环形面积=外圆面积－内圆面积=π－π=π（－）

【8】扇形

扇形的面积=所在圆面积×=π×

（二）立体图形

【1】长方体

长方体的棱长和=(长＋宽＋高)×4--------------------------------------------C=4(a＋b＋h)

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2----------------------S=2(ab＋ah＋bh)

长方体的体积＝长×宽×高------------------------------------------------------V=abh 

【2】正方体

正方体的棱长和=棱长×12------------------------------------------------------C=12a

正方体的表面积=棱长×棱长×6-----------------------------------------------S=a×a×6=6

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长----------------------------------------------V=a×a×a= 

长方体（或正方体）的体积=底面积×高------------------------------------V=sh

【3】圆柱 

圆柱的侧面积=底面的周长×高-------------------------------------------------S=ch=πdh＝2πrh 

圆柱的表面积=侧面积+底面积×2----------------------------------------S== ch＋2π

圆柱的体积=底面积×高----------------------------------------------------------V=Sh=πh【4】圆锥 

圆锥的体积＝底面积×高×----------------------------------------------------V=Sh 

三、图形、变换与位置

（一）轴对称图形

【1】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 

【2】我们学过的平面图形中的轴对称图形（对称轴的条数）：圆（无数条）、等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、长方形（2条）、正方形（4条）、等腰梯形（1条）、扇形（1条）。平行四边形不是轴对称图形。

（二）图形与变换

【1】利用图形的变换可以设计精美的图案。

【2】图形的变换方法：轴对称、平移、旋转……

（三）图形与位置

【1】坐标与位置：（列，行）

【2】方向与位置：（右）东、（下）南、（左）西、（上）北、东南、东北、西南、西北。

第三部分：统计与可能性

一、统计

（一）调查统计（步骤）

【1】确定调查的主题及需要调查的数据；

【2】设计调查表或统计表；

【3】确定调查方法；

【4】进行调查，予以记录；

【5】整理和描述数据；

【6】根据统计图表分析数据，作出判断和决策。

（二）统计表

【1】单式统计表：按一项内容要求统计一组数据。

【2】复式统计表：按多项内容要求统计多组数据。

（三）统计图

【1】常用的统计图有：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。

（1）条形统计图能清楚地看出各种数量的多少。

（2）折线统计图不仅能看出各种数量的多少，而且能看出数量的增减变化情况。

（3）扇形统计图能很快地看出各部份数量与总数之间的关系。

【2】统计图比统计表更加直观形象、生动具体，使人一目了然。

二、可能性

（一）平均数

【1】特点：能较好地反映一组数据的总体情况，用它可以看出组与组之间的差别。

【2】如果有n个数：A,B,C……N, 则这组数据的平均数=（A＋B＋C＋……＋N）÷n。

（二）中位数

【1】特点：不受偏大或偏小数据的影响，可以代表一组数据的一般水平。

【2】将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置上的一个数（或最中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数。

（例如）7个同学的跳远成绩如下（单位：米）：3.06、2.90、2.74、3.52、2.83、2.、2.78

（1）求这7个同学的平均成绩是：（3.06＋2.90＋2.74＋3.52＋2.83＋2.＋2.78）÷7=2.96

（2）求这7个同学成绩的中位数：

先按从小到大排列：2.74、2.78、2.83、2.、2.90、2.94、3.06、3.52

处于中间的有两个数：2.和2.90

所以这7个同学成绩的中位数是：（2.＋2.90）÷2=2.5

（三）众数

【1】特点：反映一组数据的集中趋势。

【2】在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数。

（四）判断可能性

【1】表示事件发生的可能性，常用“一定”、“不可能”、“可能”、“经常”、“偶尔”等词语。

【2】表示事件发生的可能性大小，可以通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率。试验的全部可能结果比如说为n个，则毎个试验结果发生的可能性是相等的，都是。

【3】在游戏中，若毎个事件发生的可能性都是，就说明某个游戏规则是公平的。

（例如）3个人轮流玩掷骰子游戏，正方体的各面分别写着1、2、3、4、5、6。掷出毎个数的可能性都是，所以这个游戏是公平的。

第四部分：综合应用

一、有趣的平衡

【1】左边的刻度数×棋子数=右边的刻度数×棋子数

【2】左边刻度数与所放的棋子数成反比例关系；右边刻度数与所放的棋子数成反比例关系。

二、设计运动场

（两边是半圆，中间是长方形或正方形的组合形状）

【1】运动场一圈长度（周长）=长方形（或正方形）的两条边长度＋圆（两个半圆）的周长

                         =2a＋πd

【2】运动场的面积=长方形（或正方形）的面积＋圆（两个半圆）的面积

               =ab＋π

【3】运动场跑道（相邻跑道宽度为c）外圈与相邻内圈相差的长度：

2a＋π（d＋2c）－（2a＋πd）=2πc。

【4】组合图形的面积=各部分图形面积之和

【5】阴影部分的面积=整体图形的总面积－其中空白部分的面积

三、纳税

【1】纳税是根据国家税法有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

【2】我国的每个公民都有依法纳税的义务。

【3】税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业。税收主要分为消费税、、营业税和个人所得税等几类。

（1）缴纳的税款叫做应纳税额。

（2）应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率叫做税率。

四、利率

【1】人们常常把暂时不用的钱存入银行储蓄起来。储蓄不仅可以支援国家建设，也使得个人钱财更安全和有计划，还可以增加一些收入。

【2】在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等。

（1）存入银行的钱叫做本金。

（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。

（3）利息与本金的比值叫做利率。

五、邮票中的数学问题

【1】在寄信时，一般根据信函的质量和目的地来确定应付的邮资。

【2】为方便机器检信，一件信函最多可贴4张邮票。

六、简单应用题

（一）一般应用题

【1】总数与部分数的关系

部分＋部分=总数          总数－部分=部分

【2】大数、小数与相差数的关系

大数－小数=差            小数＋差=大数            大数－差=小数

【3】一倍数、几倍数和倍数的关系

一倍数×倍数＝几倍数几倍数÷一倍数=倍数几倍数÷倍数=一倍数

【4】总数、份数与每份数的关系

每份数×份数=总数总数÷份数=每份数总数÷每份数=份数

（二）典型应用题

【1】行程问题

速度×时间=路程路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度

【2】花钱问题

单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

【3】工作问题

（1）工作效率×工作时间＝工作总量 （2）工作总量÷工作效率＝工作时间

（3）工作总量÷工作时间＝工作效率

七、复合应用题 

（一）一般应用题（解题步骤）：

【1】审题，理解题意（基础）

【2】分析数量关系（关键） 

【3】列式计算（重点）

【4】验算（正确的保证） 

【5】写出答案（确保过程完整） 

（二）典型应用题

【1】和差问题

(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 

【2】和倍问题 

和÷(倍数＋1)＝一倍数一倍数×几倍＝几倍数

【3】差倍问题 

差÷(倍数－1)＝一倍数一倍数×几倍＝几倍数【4】相遇问题 （1）相遇路程＝速度和×相遇时间 

（2）相遇时间＝相遇路程÷速度和

（3）速度和＝相遇路程÷相遇时间 

【5】追及问题 

（1）追及距离＝速度差×追及时间

（2）追及时间＝追及距离÷速度差 

（3）速度差＝追及距离÷追及时间【6】利润与折扣问题（1）利润＝售出价－成本

（2）折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 

（3）利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）

（4）税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 

【7】分数（或百分数）应用题

（1）单位“1”的量×（或百分之几）＝（或百分之几）的对应量 

（2）已知量÷单位“1”的量=已知量的对应分率

（3）已知量÷已知量的对应分率=单位“1”的量

【8】植树问题 

（1）在非封闭线路上植树 

①、两端都植树：

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) 

②、一端植树,另一端不植树：

株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 

③、两端都不植树：

株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 

（2）在封闭线路上植树

株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 

【9】截木料问题

（1）截的次数＝段数－1＝全长÷每段长－1 （2）全长＝每段长×(截的次数＋1) 

（3）每段长＝全长÷(截的次数＋1)

【10】盈亏问题

（1）(盈量＋亏量)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

（2）(大盈量－小盈量)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

（3）(大亏量－小亏量)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 

【11】流水问题 （1）顺流速度＝静水速度＋水流速度 （2）逆流速度＝静水速度－水流速度 

（3）静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 （4）水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 

【12】浓度问题

（1）溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量（2）溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 

（3）溶液的重量×浓度＝溶质的重量（4）溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

【13】方阵问题

（1）最外层个数=每边个数×2＋（每边个数－2）×2=（每边个数－1）×4

（2）方阵中的总个数=每边个数×每边个数

八、方程解法与算术解法（比较）

【1】方程解是顺向思维，把未知量当成己知量，根据题意的等量关系，列方程解答。

【2】算术解是逆向思维，根据题中已知量间的数量关系，直接列式解答。 下载本文