一、选择题（共60小题；共300分）

1. 下列四组函数，表示同一函数的是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

2. 已知函数，则的值为  

    A.     B.     C.     D. 

3. 下列哪组中的两个函数是同一函数．

    A. 与    B. 与

    C. 与    D. 与

4. 下列函数中，与函数相同的函数是

    A.     B.     C.     D. 

5. 下列函数中，表示同一个函数的是

    A. 与    B. 与

    C. 与    D. 与

6. 若对于任意实数， 都有

    A.     B. 

    C.     D. 

7. 设，则与表示同一个函数的是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

8. 在给定映射下， 的象是

    A.     B.     C.     D. 

9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是

    A. 和    B. 和

    C. 和    D. 和

10. 下列四组函数中， 与表示同一函数的是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

11. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为

    （1）， 

    （2）， 

    （3）， 

    （4）， 

    （5），

    A. （1）、（2）    B. （2）、（3）    C. （4）    D. （3）、（5）

12. 下列各组函数中表示同一函数的是

    A.   与  

    B.   与  

    C. 与

    D.   与  

13. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是

    A. 

    B. 

    C. 

    D. 

14. 下面说法错误的是

    A. 函数的单调区间可以是函数的定义域

    B. 函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

    C. 具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

    D. 关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

15. 下列哪组中的两个函数是同一函数

    A. 与    B. 与

    C. 与    D. 与

16. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量， 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是

    A.     B. 

    C.     D. 

17. 下列各组函数中， 和表示同一函数的是

    A. ，    B. ，

    C. ，    D. ，

18. 与函数相同的函数是

    A.     B.     C.     D. 

19. 下列各组函数中表示同一函数的是

    A. 与

    B. 

    C. 

    D. 

20. 已知函数，则  

    A.     B.     C.     D. 

21. 下列函数与有相同图象的一个函数是

    A.     B. 

    C. （且）    D. （且）

22. 已知函数对任意都有，且，则  

    A.     B.     C.     D. 

23. 下列各组函数中，两个函数相同的是

    A. 和    B. 和

    C. 和    D. 和

24. 设函数，则  

    A.     B.     C.     D. 

25. 下列函数中，与函数为相同函数的是

    A.     B.     C.     D. 

26. 下列各组函数中， 与表示同一函数的一组是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

27. 下列函数中与函数是同一个函数的是

    A.     B.     C.     D. 

28. 下列四组函数中，表示同一函数的是

    A. 与    B. 与

    C. 与    D. 与

29. 若，则

    A.     B.     C.     D. 

30. 一水池有个进水口， 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）

    给出以下个论断： 点到点只进水不出水； 点到点不进水只出水； 点到点不进水不出水．则正确论断的个数是

    A.     B.     C.     D. 

31. 用表示， 两数中的最小值．若函数的图象关于直线对称，则的值为

    A.     B.     C.     D. 

32. 下列结论中，正确的有

    ① 不存在实数，使得方程有两个不等实根；

    ② 已知中，，， 分别为角，， 的对边，且，则角的最大值为；

    ③ 函数与是同一函数；

     ④在椭圆，左右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点（不同于，），则直线与直线斜率之积为定值．

    A. ①④    B. ①③    C. ①②    D. ②④

33. 如图，是三个底面圆半径为，高分别为，， 的圆锥、圆柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为， 为水面的高，则函数的图象大致为

    A.     B. 

    C.     D. 

34. 已知函数，，有下列结论；

     ①，等式恒成立；

     ②，方程有两个不等实根；

     ③，若，则一定有；

     ④ 存在无数个实数，使得函数在上有个零点．

    其中正确结论的个数为

    A.     B.     C.     D. 

35. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是

    A.     B. 

    C.     D. 

36. 下列各对函数中，图象完全相同的是

    A. 与    B. 与

    C. 与    D. 与

37. 函数的定义域为

    A.     B. 

    C.     D. 

38. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数：

    ①；②；③；④．

    其中是一阶格点函数的有

    A. ①②    B. ①④    C. ①②④    D. ①②③④

39. 设函数，  则的值域是

    A.     B. 

    C.     D. 

40. 已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则  

    A.     B.     C.     D. 

41. 如果两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为“同族函数”，那么函数， 的“同族函数”，有

    A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

42. 设函数，若，则  

    A.     B.     C.     D. 

43. 在下列四组函数中， 与表示同一函数的是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

44. 函数    若，则的所有可能值为

    A.     B.     C.     D. 

45. 一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"同族函数"．那么函数解析式为，值域为的"同族函数"共有

    A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

46. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"同族函数"，那么函数解析式为，值域为的"同族函数"共有

    A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

47. 已知函数    的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为

    A.     B.     C.     D. 

48. 已知函数在区间上的值域是，则的取值范围是

    A.     B.     C.     D. 

49. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为"孪生函数"，例如解析式为，值域为的"孪生函数"有三个：

    ①；②；③．

    那么函数解析式为，值域为的"孪生函数"共有

    A.   个    B.   个    C.   个    D.   个

50. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"同族函数"，那么函数解析式为，值域为的"同族函数"共有

    A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

51. 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是

    ①首次服用该药物单位约分钟后，药物发挥治疗作用；

    ②每次服用该药物单位，两次服药间隔小于小时，一定会产生药物中毒；

    ③每间隔小时服用该药物单位，可使药物持续发挥治疗作用；

    ④首次服用该药物单位小时后，再次服用该药物单位，不会发生药物中毒．

    A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

52. 下列各组函数中，表示同一函数的是

    A. 和    B. 和

    C. 和    D. 和

53. 如图所示，在直角坐标系的第一象限内， 是边长为的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为，则函数的图象大致是

    A.     B. 

    C.     D. 

54. 函数的定义域为

    A.     B. 

    C.     D. 

55. 函数的定义域为，若对于任意，当时，都有则称函数在上为非减函数．

    设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：

    ①；②；③．

    则等于

    A.     B.     C.     D. 

56. 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是

    A.     B.     C.     D. 

57. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：

    ①；

    ②对任意，当时，恒有；

    那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是

    A. ，

    B. ，

    C. ，

    D. ，

58. 设函数是定义在正整数有序数对集合上的函数，并满足：

    ①，

    ②

    ③．则的值是

    A.     B.     C.     D. 

59. 定义区间的长度为，单调递增，函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为

    A.     B.     C.     D. 

60. 设函数（， 为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是

    A.     B. 

    C.     D. 

二、填空题（共30小题；共150分）

61. 已知，则等于                ．

62. 若函数满足下列性质：（1）定义域为，值域为；（2）图象关于对称；（3）函数在上是减函数．请写出函数的一个解析式                （只要写出一个即可）．

63. 设若    ，则    的取值范围为                ．

. 设函数，若，则实数                 ．

65. 已知则                 ．

66. 的定义域                ，值域                ．

67. 设常数    ，函数    ，若    ，则                     ．

68. 函数的定义域是                ．

69. 已知函数，，则的值为                ．

70. 已知映射，其中，对应法则，对于实数，在集合中存在不同的两个原象，则的取值范围是                ．

71. 若，则与的递推关系式是                ．

72. 记函数定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是                ．

73. 对任意的正整数、，定义同时满足下列条件：

    ①；

    ②若，则；

    ③，

    则的值是                ； 的表达式为                （用含的代数式表示）．

74. 已知集合，且下列三个关系：，， 有且只有一个正确，则函数的值域是                ．

75. 若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"同族函数"，那么函数解析式为，值域为的"同族函数"共有                          个．

76. 函数的定义域为                ．

77. 若，且，，则                 ．

78. 函数的定义域是                ．

79. 定义在上的函数， 时， 时， 成立，则命题

    ①；

    ②，

    ③，

    ④时， 中，

    正确结论的编号为                ．

80. 函数的定义域是                ．

81. 已知二次函数满足，且，，若在区间上的值域是，则                 ，                 ．

82. 已知是奇函数，且．若，则                 ．

83. 定义在上的函数满足  ，，则等于                ．

84. 已知表示超过的最小整数，例如，，下列命题是真命题有                ．（把所有真命题的序号都填上）

    ①，值域是；

    ②为等差数列，则也是等差数列；

    ③为等比数列， 一定不是等比数列；

    ④时，方程有个根．

85. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“同域函数”，区间为函数的一个“同域区间”．给出下列四个函数：

    ①；②；③；④．

    存在“同域区间”的“同域函数”的序号是                  （请写出所有正确的序号）.

86. 设，函数的定义域为，且，当时，有，则                 ，                 ．

87. 已知是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射下的象为实数，记作．对于任意的正整数，映射由下表给出：

则                 ，使不等式成立的的集合是                ．

88. 如图，正方形的边长为， 为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向转至，在旋转的过程中，记为， 所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：

    ①；

    ②函数在区间上为减函数；

    ③任意，都有．

    其中所有正确结论的序号是                ．

. 已知函数由下表给出

其中等于在中所出现的次数．则                 ；                 ．

90. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点， 的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为， 的算术平均数．

    （1）当                   时， 为的几何平均数；

    （2）当                   时， 为的调和平均数．

    （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

三、解答题（共10小题；共130分）

91. 某工厂去年某产品的年销售量为万只，每只产品的销售价为元，每只产品固定成本为元.今年，工厂第一次投入万元，并计划以后每年比上一年多投入万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加万只，第次投入后，每只产品的固定成本为，若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元．

（1）求的值，并求出的表达式．

（2）若今年是第年，则第几年的年利润最高?最高利润为多少万元?

92. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为海里时．当船速为海里时时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元．假定运行过程中轮船以匀速（海里/时）航行．

（1）求的值；

（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费航行运作费用）的最小值．

93. 已知函数与的图象相交于不同两点，， 分别是的图象在两点的切线， 分别是与轴的交点．

（1）求的取值范围；

（2）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；

（3）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

94. 已知函数，其中，．

（1）当时，解不等式；

（2）设，当时，，求， 的值；

（3）若函数恰有一个零点，求的取值范围．

95. 对于定义域为的函数，如果同时满足：

    ① 对任意的，总有；

    ②；

    ③ 若，，，都有成立，则称函数为理想函数．

（1）若函数为理想函数，证明：；

（2）试判断函数，， 是否是理想函数．

96. 已知函数，．

    （参考数据，，取，，）

（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若有两个不同的零点，，试比较与的大小．

97. 已知集合是集合的子集，且中恰有个元素，同时这个元素的和是的倍数．记符合上述条件的集合的个数为．

（1）求，；

（2）求（用含的式子表示）．

98. 若函数在定义域内存在区间，使其在上的值域为，则称这样的函数为“优美函数”．

（1）函数是否为“优美函数”?若是，求出，；若不是，请说明理由．

（2）若函数为“优美函数”，求实数的取值范围．

（3）若函数为“优美函数”，求实数的取值范围．

99. 对于数对序列，记，

    ，其中为不超过的最大整数．（注： 表示当取时， 中的最大数）

    已知数对序列，回答下列问题：

（1）写出的值

（2）求的值，以及此时的的值；

（3）求得的值时，得到，，，试写出的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）

100. 已知函数（，且）．

（1）求函数的定义域，并证明： 在定义域上是奇函数；

（2）对于， 恒成立，求的取值范围．

答案

第一部分

1.  D    

2.  A    

3.  B    

4.  C    

5.  D    

【解析】A中两函数定义域不同， 的定义域为， 的定义域为，所以不是同一函数；

B中两函数定义域不同， 的定义域为， 的定义域为，所以不是同一函数；

C中函数，所以不是同一函数；

D中函数三要素都相同，函数的本质关键看三要素，与用哪个字母表示毫无关系，所以是同一函数．

6.  D    【解析】因为，，，所以．

7.  B    

8.  D    

9.  D    【解析】A 中的函数定义域不同；B 中的不能取；C 中两函数的对应关系不同，故选D．

10.  D    

【解析】A、，，两个函数的对应关系不一样，故不是同一函数，故A错误；

B、，，，，定义域不一样，故B错误；

C、，，，， 与定义域不一样，故C错误；

D、，与定义域，解析式一样，故与表示同一函数，故D正确．

11.  C    【解析】（1）定义域不同；

（2）定义域不同；

（3）对应法则不同；

（4）定义域相同，且对应法则相同；

（5）定义域不同．

12.  D    

13.  A    

14.  B    

15.  B    

【解析】A 、与的定义域不同，故不是同一函数．

 B 、与的对应关系相同，定义域为，故是同一函数．

 C 、与的定义域不同，故不是同一函数．

 D 、与的定义域不同，故不是同一函数．

16.  B    

17.  B    

18.  C    

19.  D    

20.  C    

21.  D    

22.  A    

23.  A    

24.  D    【解析】，．

25.  C    

26.  C    【解析】A中， 的定义域为全体实数， 的定义域为；

B中，；

D中， 的定义域为全体实数， 的定义域为；

C中，  ．

27.  C    

28.  D    【解析】函数与的对应法则不同，故它们不是同一函数；

函数与的定义域不同，故它们不是同一函数；

函数与的定义域不同，故它们不是同一函数；

函数与有相同的定义域、对应法则，故它们是同一函数．

29.  C    

30.  B    

31.  D    

32.  A    【解析】对于①，函数在定义域内单调，不存在实数，使得方程有两个不等实根，正确；

对于 ②，因为，所以，，则角的最大值为，故错；

对于③，函数与的定义域不同，不是同一函数，故错；

对于④，设，，，则

 故正确．

33.  B    

34.  C    【解析】对于 ①，，则①正确；

函数可变形为，对于②，当时，方程只有一解，②错；

注意到函数在区间内单调递减，结合图象易知，③④正确．

35.  D    

36.  C    【解析】对于 A 、因为的定义域为， 的定义域为，两个函数的对应法则不相同，所以不是同一个函数．

对于 B 、因为的定义域， 的定义域为，所以两个函数不是一个函数．

对于C 、因为的定义域为且， 的定义域为．对应法则相同，所以两个函数是同一个函数．

对于 D 、的定义域是， 的定义域是，定义域不相同，所以不是同一个函数．

37.  A    【解析】要使有意义，则

所以

所以或，

所以定义域为．

38.  C    【解析】通过的格点为； 通过的格点为； 通过的格点为．

39.  D    【解析】的解析式为     

     配方得     

当时，

当时，

40.  D    

【解析】当时，由，得，

所以当时， 是周期为的周期函数，

从而．

又因为当时，，

所以．

41.  D    

42.  D    

43.  B    【解析】提示：A，C，D选项中定义域不同；

44.  C    【解析】由题可知，．

当时，，解得；

当时，，解得．

45.  B    

【解析】提示：考虑定义域的构成，定义域中至少有或中的一个，也要至少有或中的一个．定义域可能的情况共有种．

46.  C    【解析】提示：值域为的函数，其定义域为、、、、、、， 、．

47.  C    【解析】提示：，．

48.  A    【解析】  ，

   ．

又由得或．

由的图象知，．

因此．

49.  C    

50.  C    

【解析】当或时，；当或时，．所以定义域可以为，，，，，，，，．共有个不同的定义域，也就会有个不同的函数．

51.  A    

52.  D    

53.  D    

54.  C    

55.  A    

【解析】可得，由于是非减函数，可得．

56.  C    【解析】对于任意，总存在，

使得成立，

即函数的值域是函数值域的子集，，

令，则函数单调递增，

所以，

于是有；

 单调递增，

所以；

即

解得．

57.  D    【解析】举例说明有符合条件的函数即可．

对于A，取，满足题意．

对于B，取      满足题意．

对于C，取，满足题意．

58.  A    【解析】由，得．

．

由．

．所以，，．

而．

所以，可得．

59.  D    【解析】由题意得，函数的定义域是，

因为是其定义域的子集，

所以．

因为在上是增函数，

所以由条件得则， 是方程的同号相异的实数根，

即， 是方程同号相异的实数根．

所以，，

则，解得或．

所以 

所以的最大值为，此时，解得，

即在区间的最大长度为时， 的值是．

60.  A    

【解析】曲线上存在点使得，则．

考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取，C，D两个选项中参数都可取，A，B，C，D四个选项参数都可取，由此可先验证参数为与时是否符合题意，即可得出正确选项．

当时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，

故只研究时是否成立．

由于是一个增函数，可得出，而，故不合题意，由此知B，D两个选项不正确．

当时， 此函数是一个增函数，，而没有意义，故不合题意，由此C，D两个选项不正确．

综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确．

第二部分

61.  

【解析】因为时，，所以．

因为时，，所以．

又因为时，，所以．

所以．

62.  （不唯一）

63.  

.  

【解析】代入计算可得．

65.  

66.  ，

67.  

【解析】  ．

68.  

【解析】由题意得

解得．

69.  

70.  

【解析】提示：如图所示：

当时，满足题意．

71.  

【解析】因为

所以．

72.  

73.  ，

【解析】；

．

74.  

75.  

【解析】设函数的定义域为，其值域为， 的所有情形的个数即是同族函数的个数． 的所有情形为：，，，，，，，，，共个．

76.  

【解析】要使原函数有意义，则

解得，且．

所以函数的定义域为．

77.  

【解析】提示：由， 可求得，，所以，．

78.  

【解析】由，得，即，解得．

所以函数的定义域是．

79.  ①②③

【解析】①，则，因为，所以；②，所以；③，所以；④，不确定与的大小关系，所以无法判断．

80.  

【解析】若使函数的解析式有意义，自变量须满足：，解得：，故函数的定义域为：．

81.  ，

【解析】因为，所以函数的对称轴为．

因为，，可得函数的图象．

又因为当时，所以，从而在上为增函数，

故有．

作直线与函数交于两点，如图：

故，．

82.  

【解析】因为是奇函数，所以，解得．

 因为，所以．

83.  

【解析】由已知的函数方程，得

由，得

所以

84.  ①④

【解析】对于②，如果数列为，则为，不是等差数列；对于③，如果数列是的常数列（且不是中的常数），则是等比数列．④中方程改写成，有根．

85.  ①②③

【解析】①时，，所以①存在同域区间；

②时，，所以②存在同域区间；

③时，，所以③存在同域区间；

④，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．

86.  ，

【解析】令，， 

令，， 

令，， 

令，， 

∴．

∴或或．

∵，

∴，．

87.  ，

【解析】由题可得；因为恒成立，所以，则化为，，所以或．

88.  ①③

【解析】对于①，当时，，所以①正确．

对于②，当时， 越大，阴影部分面积越大，所以此时是增函数，所以②错误．

对于③，当时，自变量为和对应的射线分别记为、，阴影部分面积分别记为、，则，此时．所以③正确．

.  ，

【解析】由的定义知只可能取．而不可能有，否则有，于是有，矛盾．所以只可能取．

从而有．

再计算的值．首先只可能为或．

当时，假如，则中有且只有一个等于，假设，则，即这个数中有四个，此时就意味着这五个数中还有一个，这显然矛盾；于是知，故．

90.  （1），（2）

【解析】设，且三点共线．

（1）由题意，得，则，化简得，故可选择；

（2）由题意，得，则，化简得，故可选择．

第三部分

91. （1） 由，当时， ，得.从而，第次投入后的年利润

 .

      （2） 由（1）知，当且仅当，

即时，取等号.所以第年工厂的利润最高，最高为万元．

92. （1） 由题意得燃料费，把， 代入，得．

      （2），

当且仅当时，等号成立，解得，

所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为元．

93. （1） 由方程组  

  消得

依题意，该方程有两个不相等的正实根，

故  

  解得．

      （2） 令，由，求得切线的方程为

由，并令，得．

又是方程①的两实根，且，故

  是关于的减函数，所以的取值范围是．

 是关于的增函数，定义域为，所以值域为．

      （3） 当时，由（2）可知

类似可得

所以

由①可知

从而

当时，有相同的结果，

所以

94. （1） 当时，，即，整理得，解得

所以原不等式的解集为．

      （2） 由，，得，所以当时，函数单调递减．

所以的最大值是，最小值是．

由题意，得  

  解得  

      （3） 函数恰有一个零点，分为两种情况：

（i）方程有两个相等的实数根，从而．

因为，所以，这种情况无解．

（ii）方程有两个不相等的实数根，且恰有一个根，从而，即

当时，不等式组无解．

当时，不等式组表示的区域为平面上四条直线，，， 所围成的四边形的内部（如图）．

其四个顶点分别是，，，， 在这四点的值依次是，，，．

所以的取值范围是．

95. （1） 取，则，

所以，

所以．

又对任意的，总有，

所以．

于是．

      （2） 对于，， 不满足新定义中的条件 ②，

所以， 不是理想函数．

对于，，显然，且．

任意的，，

，

即．

所以是理想函数．

对于，，显然满足条件①②．

对任意的，，

有，

即．

所以，不满足条件 ③．

所以不是理想函数．

综上， 是理想函数， 与不是理想函数．

96. （1） 由题意得， 恒成立，

即，

令，又在递增，

所以，

所以故实数的取值范围为．

      （2） 由题意知，，

两式相加得，

两式相减得，

即，

所以，

即，　　　　　　　　　　　

不妨令，记，令，则，

所以在上单调递增，则，

所以，则，

所以，

又，

所以，即，

令，则时，，

所以在上单调递增，

又，

又

所以，

，

又因为在上单调递增，

则，即．

97. （1），；

      （2） 设，

，

，

它们所含元素的个数分别记为，，．

①当时，则．

 时，；

 时，．

从而，，．

②当时，则，．

 时，；

 时，；

 时，；

从而，，．

③当时，，，．

 时，；

 时，；

 时，；

从而，，．

所以   

98. （1），．

      （2）．

      （3） 由题意得

两式相减得，

可得

将式代入方程组得

所以， 是方程的两根．

令，

所以在上有两个不同的实根．

所以．

99. （1），

当时，

      （2）

当时，，当时， 

当时，，

即当时， 

，

即当， 时.

      （3）

100. （1） 由，解得或，

所以函数的定义域为．

当时，

，

所以在定义域上是奇函数．

      （2） 由时， 恒成立，

①当时，

所以对恒成立．

所以在恒成立．

设，，

则，，

所以当时，．

所以在区间上是增函数，．

所以．

②当时，由时，

 恒成立，

所以对恒成立．

所以在恒成立．

设，，

由①可知在区间上是增函数，，

所以．

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