一、填空题
1、已知x x
f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01
sin lim 0=→x
x k x 成立的k 为 .
5、=-∞
→x e x x arctan lim .
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .
7、=+→x
x x 6)
13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a .
12、函数x x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13
、lim ____________x →+∞
=.
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。 二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、x
x
x +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~.
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
（Ａ）23； （Ｂ）3
2
； （C ）1； （D)0。
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n .
（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C)∞； （D ）不存在但非∞。
5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=01cos 0
00sin )(x x x x x x
x
x x f ，则0=x 是)(x f 的 。 (Ａ)连续点;(Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）
（Ａ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =
；
（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。
7、 |
|sin lim 0x x
x →= （ ）
(Ａ） 1； （Ｂ） —1； （C) 0； （D) 不存在。 8、 =-→x
x x 10
)1(lim （ ）
（Ａ） 1; （Ｂ） —1； （Ｃ） e ； （Ｄ) 1-e 。 9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的（ ）
(Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件。 10、 =-+∞
→)1(lim 2x x x x ( )
（Ａ） 1; （Ｂ) 2; （C ）
2
1
； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ） （A ）n n b a <对任意n 成立; (B ）n n c b <对任意n 成立； （C)极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ; (D)极限n n n c b ∞
→lim 不存在。
12、当1→x 时,函数
1
1
21
1---x e x x 的极限( ） （Ａ）等于２； (Ｂ)等于０； （Ｃ）为∞； (Ｄ）不存在但不为∞。 三、计算解答 1、计算下列极限
（1）12sin 2lim -∞→n n n x ； （2）x
x
x x cot csc lim 0-→ ；
（3）)1(lim 1
-→∞x
x e x ; (4)x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→ ；
（5）1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π； (6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；
（7）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值，使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限
(1）n
n n n 1
3121111131211lim ++++++++++∞→ 。 （2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞
lim 存在，并求此极限值。
5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。
6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(,证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。
第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、x 2sin 2 。 2
sin 22)2sin 21(1)2(sin 22x
x x f -=-+=，
222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.
2、0 。 016
249lim )1()34(lim 3222=+-++=-+∞→∞→x x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x
x x x x x x x x ，
x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。
4、0>k .
x 1sin 为有界函数，所以要使01
sin lim 0=→x x k x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。
5、 0 。 0arctan lim =-∞
→x e x x ))2
,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x x 。
6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
， 2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x x x e x f ，
,)0(b f = 2=∴b .
7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。
8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1。 9、21-=-x e y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，
21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .
10、a
e 2 原式=a a a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→. 11、23-=a 由23
1
231~1)1(ax ax -+（利用教材P58(1)1a x ax +-)与221~1cos x x --，以及
1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
2031
20=-=-=--+→→a x ax
x ax x x ， 可得 2
3
-=a 。
12、21
41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得
⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011
131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12
141x x ，⇒)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0
lim
lim
x x =
22lim
0x ==。
14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x a
a
-，所以x=3at a +
即：3211
lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===⇒=a a 。
15、2 )
2(2
)1(lim
)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞
→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。
二、选择题
1、选（Ｄ) 令)()()()(x h x g x f x F =，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l - 上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.
2、选（Ｃ） ]
)1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1lim
1=-⋅+-=→x x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-）
3、选（A ） 2331
21lim 1111lim )(lim 0300=
=-+-+=→→→x x
x x x f x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-） 4、选（Ｂ） 1
lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n n n n n n n
-→∞→∞--=--=-
5、选（Ｃ） 1)0(=-f , 0)0(=+f ， 0)0(=f
6、选（Ｃ） 在（A ）中2ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ，)()(x g x f ≠∴故
不正确
在（B)x x f =)( 的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =的值域为0>x ，故错
在（D ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2-=的定义域为
}2
,{π
π+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错
7、选(Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x
x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选（Ｄ） 1)1(1
010
)]
(1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x
x ，
9、选（Ｃ) 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0
x f x x →存在,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)
(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在，例如x x 1sin
lim 0
→，函数11
sin 1≤≤-x
有界,但在0=x 点极限不存在
10、选（Ｃ）
（
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
11111lim
2=
++
=∞
→x
x
11、选（D) （A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况，
不可能得出“对任意n 成立"的性质。
(Ｃ）也明显不对,因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。
12、选（D) 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=⋅=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限，也不是∞。 三、计算解答
1、计算下列极限:
（1)解：x x
x n n n n n n 22
2lim 2sin 2lim 11=⋅=-∞→-∞→。
（2）解：2
200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。 （3）解：11
lim )1(lim 1
=⋅=-∞→∞→x
x e x x x x 。
（4)解:3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 11
3
332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+⋅+=-- （5）解:)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
1
12141
cos 1
cos 4lim 3
=++⨯
=
++=→
x x x π
。
（6)解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=.
lim(12x →+=
（7）解:])
1(1
321211[
lim +++⨯+⨯∞→n n x )]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x 。 (8)解:3312323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =
+=--=--+→→→x x x x x x x x . ３、解：1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b
x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a
４、（1） 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x 。 （2）先证有界（数学归纳法）
1=n 时，a a a ax x =⋅>=12
设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=+21 数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减，
11<==+n
n
n n n x a
x ax x x
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞
→∴lim 存在，设A x n n =∞
→lim ， 则有 aA A =⇒0=A （舍)或a A =，a x n n =∴∞
→lim
５、解：先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。
６、解:令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。
第二章 导数与微分
一、填空题
1、已知2)3(='f ,则h
f h f h 2)
3()3(lim
0--→= 。
2、)0(f '存在,有0)0(=f ，则x
x f x )
(lim 0→= .
3、π
ππ1
arctan ++=x y x ，则1='x y = 。 4、)(x f 二阶可导，)sin 1(x f y +=,则y '= ；y ''= 。
5、曲线x e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行.
6、)]1ln[arctan(x y -=，则dy = .
7、42sin x y =，则dx dy = ，2dx dy
= 。
8、若tx x x
t t f 2)1
1(lim )(+=∞→,则)(t f '= 。
9、曲线12+=x y 于点_________处的切线斜率为2。 10、设x xe y =，则_______)0(=''y .
11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e y x 确定,则
________=dx
dy
。 12、设⎩⎨⎧=+=t
y t x cos 12则________22=dx y
d 。
二、单项选择
1、设曲线x
y 1
=和2x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则ϕtan =（ ）。
（Ａ）1-； （Ｂ）1； （C ）2-； （Ｄ）3。
3、函数x k e x f tan )(=，且e f =')4
(π
，则=k ( ）.
（Ａ） 1; （Ｂ） 1-; （C) 2
1
； (Ｄ）2。
4、已知)(x f 为可导的偶函数，且22)
1()1(lim 0-=-+→x
f x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程
是 .
(Ａ)+=x y ;(Ｂ）24--=x y ；（C ）3+=x y ;(Ｄ)1+-=x y .
5、设)(x f 可导，则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220= 。
（Ａ) 0; （Ｂ) )(2x f ; （C ） )(2x f '; （Ｄ）)()(2x f x f '⋅。 6、函数)(x f 有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则)()(x f n = 。 (Ａ）1)]([+n x f n ；（Ｂ)1)]([!+n x f n ；（C ）1)]()[1(++n x f n ；（Ｄ）2)]([)!1(x f n +.
7、若2)(x x f =,则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()2(lim 000=（ ）
（Ａ）02x ； （Ｂ）0x ； （C ）04x ; （Ｄ）x 4。
8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'和)(0x f +'，则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '存在的（ ） （Ａ）必要非充分条件; （Ｂ)充分非必要条件;
（C ）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ）
（Ａ）99； （Ｂ)99- ; （C)!99; （Ｄ）!99-。 10、若)(u f 可导，且)(2x f y -=，则有=dy （ )
（Ａ)dx x f x )(2-';(Ｂ）dx x f x )(22-'-；（C ）dx x f )(22-'；（Ｄ）dx x f x )(22-'。 11、设函数)(x f 连续，且0)0('>f ，则存在0>δ，使得（ ）
（A ）)(x f 在),0(δ内单调增加； （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调减少；
（C ）对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;(D ）对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=00
1sin )(2
x b
ax x x
x x f 在0=x 处可导,则（ ） （A ）0,1==b a ； （B ）b a ,0=为任意常数； （C)0,0==b a ； (C)b a ,1=为任意常数. 三、计算解答 1、计算下列各题
(1）x
e y 1sin 2=，求dy ； (2）⎩
⎨⎧==3
ln t y t x ，求122=t dx y d ； （3)y y x =+arctan ，22dx
y
d ; （4）x x y cos sin =，求)50(y ；
（5）x
x
x y )1(+=，求y '；
（6))2005()2)(1()(+++=x x x x x f ，求)0(f '；
（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有连续的一阶导数，求)()(a f a f '''、；
(8）设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数，且2)1(='f ，求)1(cos lim 1-+→x f dx
d
x 。
2、试确定常数b a ,之值，使函数⎩
⎨⎧<-≥+++=010
2)sin 1()(x e x a x b x f ax
处处可导。 3、证明曲线a y x =-22与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少.
5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明)()(x f x f ='。
6、求曲线5323-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程。
第二章 导数与微分习题解答
一、填空题
1、1- 1)3(2
1
)21()3()3(lim 2)3()3(lim
00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h
2、)0(f ' )0(0
)
0()(lim )(lim 00f x f x f x x f x x '=--=→→
3、ππ+x ln 1
ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |1 4、x x f cos )sin 1(⋅+' ，x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''
x x f y cos )sin 1(⋅+'='，x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''
5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10
11
-=--=e e k
1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ，当)1ln(-=e x 时,1-=e y 。
6、])1(1[)1arctan(2x x dx
-+⋅--
)1()
1(11
)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12
x d x x x d x dy --+⋅-=--=
]
)1(1[)1arctan(2x x dx
-+⋅--=
7、432sin 4x x ,422sin 2x x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx
dy
=⋅⋅=
4222sin 22x x xdx
dy
dx dy == 8、t t te e 222+ t tx x te x
t t f 22)1
1(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴
9、)2,1( x y 2=' ，由220=x ⇒10=x ，21120=+=y
12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2
10、 2 x x xe e y +=' ,x x x xe e e y ++=''
2)0(00=+=''∴e e y
11、)
sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y x
解得 )
sin()
sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。
12、3
4cos sin t
t
t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t t 2sin ''-==， 再对x 求导，由复合函数求导法得
3
2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t t
t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x
-=⋅--===。 二、选择题
1、 选(Ｄ） 由⎪⎩
⎪⎨⎧
==
2
1x y x y ⇒交点为)1,1( ,1|)1(11
-='==x x k ， 2|)(122='=x x k 3|1||)tan(|tan 211212=+-=-=∴k k k
k ϕϕϕ
3、 选(Ｃ） x x k e x f k x
k
21tan
sec tan )(⋅⋅='-
由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒2
1=k
4、 选(A ） 由x
f x f x f x f x x 2)
1()1(lim
2)1()1(lim 00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim 0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f ∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 +=x y
5、 选（Ｄ） )()(2])([)
()(lim
2220x f x f x f x
x f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6、 选（Ｂ) )(2)()(2})]({[)(32x f x f x f x f x f ='⋅='=''
)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='='''
设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()1(x f x f n x f n n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++=
)(!)(1)(x f n x f n n +=∴
7、 选（Ｃ） )(22)
()2(2lim )()2(lim 0000000x f x
x f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆
又x x x f 2)()(2='=' ，004)(2x x f ='∴
8、 选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且
相等. 9、 选(Ｄ）
)
99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x
!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f
另解：由定义，)99()2)(1(lim 0
)
0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x
!99!99)1(99-=⋅-=
10、 选(Ｂ） )(2)()(])([2222x f x x f x f -'-='-⋅-'='- dx x f x dy )(22-'-=∴
11、由导数定义知
0)
0()(lim )0('0>-=→x
f x f f x ，
再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时
0)
0()(>-x
f x f ,
从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时，)0(0)0()(><-f x f ，因此C 成立，应选C 。 12、由函数)(x f 在0=x 处可导，知函数在0=x 处连续
b b ax x f x
x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01
sin lim )(lim 00200，所以0=b 。 又a x
ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+
+→-
→→+0)0()(lim )0(,01sin
lim 0)0()(lim )0(0200， 所以0=a 。应选C 。 三、计算解答 1、计算下列各题
（1）dx x x x e x d e
dy x
x )1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e x
x x 1sin 222sin 1-= （2）
32313t t
t dx
dy ==,3
222919t t t dx y d ==，9|122=∴=t dx y d
（3）两边对x 求导:y y y
'='⋅++
2
111⇒12
+='-y y )11
(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y
y y y y y y
(4）x x x y 2sin 21
cos sin ==
)2
2sin(2cos π
+
=='∴x x y )2
22sin(2)22cos(2π
π
⋅+=+
=''x x y 设)2
2sin(21)(π
⋅
+=-n x y n n
则)2
)1(2sin(2)22cos(2)1(π
π++=⋅+=+n x n x y n n n
x x y 2sin 2)2
502sin(24949)50(-=⋅+=∴π
（5）两边取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=
两边求导： x x
x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1
]11)1ln([ln )1(x
x
x x x x y x +-++-+='∴
（6）利用定义：
!2005)2005()3)(2)(1(lim )
0()(lim )0(00=++++=-='→→x x x x x
f x f f x x
（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴
又a x a x a x x a x a f x f a f a x a x --'-+=-'-'=''→→)
()()()(lim
)()(lim )(ϕϕϕ )]()()([lim x a
x a x a x ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'= ［注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知，故只能用定义求.］
（8）]121)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++
→→x x x f x f dx d x x 1
21
sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=+
+→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f
2、易知当0≠x 时，)(x f 均可导，要使)(x f 在0=x 处可导
则 )0()0(-+'='f f ， 且)(x f 在0=x 处连续。即)0()(lim )(lim 0
0f x f x f x x ==+-→→
而
020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫=++=+-
→→b a x f a b x f x x 又 b x a b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+2
2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00
a x ax
x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(
由⎩
⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=11
02b a b a b a
3、证明：设交点坐标为),(00y x ，则a y x =-2020
b y x =00 对a y x =-22两边求导：y
x
y y y x ='⇒='⋅-022
∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0
10|y x y k x x ='== 又由2x
b y x b y b y x -='⇒=
⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20
20|x b
y k x x -
='== 又 1)(0
0200021-=-=-⋅=
y x b x b y x k k ∴两切线相互垂直。 4、设t 分钟后气球上升了x 米，则 500
tan x =
α 两边对t 求导:25
7
5001405001sec 2=
=⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时, 4
π
α=
∴当500=x m 时，
507
21257=
⋅=dt d α（弧度/分） 5、证明：h
x f h f x f h x f h x f x f h h )
0()()(lim
)()(lim )(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )
0()()
(lim )0()()()(lim 00-=⋅-⋅=→→ )()0()(x f f x f ='⋅=
6、解:由于x x y 632+='，于是所求切线斜率为
3|63121-=+=-=x x x k ,
从而所求切线方程为)1(33+-=+x y ， 即 063=++y x
又法线斜率为 3
1
112=-=k k
所以所求法线方程为)1(3
1
3+=+x y ，即 083=+-x y
第三章 中值定理与导数应用
一、填空题
1、=→x x x ln lim 0
__________.
2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.
3、函数()43384x x x f -+=的极大值是____________。
4、曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的。
5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.
6、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________.
7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.
8、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。
9、________)1
sin 1(cot lim 0=-→x
x x x .
10、_________)tan 1
1(lim 20=-→x x x x .
11、曲线2
x e y -=的上凸区间是___________.
12、函数1--=x e y x 的单调增区间是___________。 二、单项选择
1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2
)(lim
x x
x f x （ ） (Ａ）不存在 ； (Ｂ）0 ； （Ｃ）—1 ; (Ｄ）-2。
2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2
1
(内曲线)(x f （ ）
（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ) （Ａ)取得极大值; （Ｂ）取得极小值；
(Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ)可能取得极值，也可能有拐点。
4、设)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导，则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是( )
(Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件;
（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ)Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。 5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ) (Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； (Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <；
(Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)()
()()(a f a g x f x g >。 6、方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内( ）
(Ａ）无实根； (Ｂ)有唯一实根； （Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。
7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)
(lim
0=-→x
x f x ,则在点0=x 处)(x f ( ） (Ａ）不可导; （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C)取得极大值； （Ｄ)取得极小值。
８、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1|
|)
("lim
0=→x x f x ，则（ ） （Ａ))0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值；
（Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
9、设b a ,为方程0)(=x f 的二根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)('x f 在),(b a 内（ ） （A)只有一实根; （B ）至少有一实根； （C ）没有实根； （D ）至少有2个实根. 10、在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）
（A)21
)(x
x f =; （B ）||)(x x f =;
（C ）21)(x x f -=; (D ）12)(2--=x x x f 。
11、函数)(x f 在区间),(b a 内可导，则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增加的（ ） （A)必要但非充分条件； (B ）充分但非必要条件； (C)充分必要条件； （C ）无关条件。
12、设)(x f y =是满足微分方程0'"sin =-+x e y y 的解，且0)('0=x f ，则)(x f 在（ ） （A ）0x 的某个邻域单调增加； （B ）0x 的某个邻域单调减少; (Ｃ）0x 处取得极小值； (Ｄ）0x 处取得极大值。 三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1
arccos lim 1
+-+
-→x x
x π ； （2）x
x
x ln cot ln lim 0
+
→； （3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→； (4) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ；
(5）3
0arctan lim x x
x x -→ ； （6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→。
2、证明以下不等式
（1)、设e a b >>,证明a b b a >。 （2）、当2
0π
<
3、已知x x y sin 3=，利用泰勒公式求)0()6(y 。 4、试确定常数a 与n 的一组数，使得当0→x 时，n ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。 5、设)(x f 在[]b a ,上可导，试证存在)(b a <<ξξ,使 [])()(3) ()(1233 ξξξξf f b f a f a b a b '+=-。 6、作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V 最小,并求出该体积最小值。 7、若)(x f 在]1,0[上有三阶导数，且0)1()0(==f f ，设)()(3x f x x F =，试证:在)1,0( 内至少存在一个ξ，使0)('"=ξF . 第三章 中值定理与导数应用习题解答 一、填空题 1、0 0)(lim 1 1 lim 1ln lim ln lim 02 000=-=-==→→→→x x x x x x x x x x x 2、),(+∞-∞ 0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增 3、20 )2(121224)(232--=-='x x x x x f 令2,00)(21==⇒='x x x f 当2 4、)1,1(- 31243+-='x x y ，)1)(1(1212122-+=-=''x x x y 当1- x m x x 242)! 2(1 )1(!41!211-+++- (见教材P13页，泰勒公式） 6、)3 2 ,32(2-e )31(3333x e xe e y x x x -=-='--- ， )3 2 (9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x 令320=⇒=''x y ，当32 而当3 2=x 时，232-=e y ∴拐点为)32 ,32(2-e 7、0)(0='x f ， 0)(lim )()(lim )("0 00000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0) (0<-'⇒x x x f 当0x x <时，)(,0)(0x f x f >'单调增加；当0x x >时，)(,0)(x f x f <'单调减少 8、1 0232>+='x y ，y ∴在),(+∞-∞上单调增加 又-∞=-∞ →y x lim +∞=+∞ →y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点. 9、 6 1 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 10、3 1 原式=31 tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 220220302 0==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 11、)22,22(- 2 2])2(2[ 20"±=⇒=x y ，当)22,22(-∈x 时，0" 2 ,22(- . 12、),0(+∞ 函数1--=x e y x 的定义区间为),(+∞-∞,在定义区间内连续、可导，且1'-=x e y ，因为在) ,0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增加。 二、选择题 1、选（Ｃ） 12 ) (lim 21)(lim )(lim 0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2、选（Ｂ） 当)1,21(∈x 时，0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,2 1 (∈x )(x f ∴在)1,2 1 (上单调减且为凹的。 3、选（Ｄ） 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ，0=x 是3)(x x f =的拐点；设4)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，而0=x 是4)(x x f =的极值点。 4、选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要条件是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数），又因为)(x f 在],[b a 内连续，所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡。 5、选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f )()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调减少，),(b a x ∈ ) ()()()(b f a f x g x f <∴。 6、选（Ｄ） 令13)(3+-=x x x f ，则)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ； 当1- -∞=-∞ →)(lim x f x ，+∞=+∞ →)(lim x f x )(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根，在),1(+∞上有一实根。 ７、选（Ｄ） 利用极限的保号性可以判定)(x f 的正负号： 0cos 1)(02cos 1)(lim 0>-⇒>=-→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）; 由0cos 1>-x ，有)0(0)(f x f =>，即)(x f 在0=x 取极小值. 8、选（Ｂ） 由极限的保号性： 0| |)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x (在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f (在0=x 的某空心邻域），)('x f 单调增,又由0)0('=f ，)('x f 在0=x 由负变正，由极值第一充分条件，0=x 是)(x f 的极小点 。 9、选(B ）由罗尔定理保证至少存在一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf 。 10、选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不连续，B 选项)(x f 在0=x 处不可导，D 选项)1()1(-≠f f 。 11、选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增，但0)0('=f ,故非必要条件。 12、选（Ｃ），由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y e x y ，所以)(x f 在0x 处取得极小值。 三、计算解答 1、计算极限 （1）解: 1 arccos lim 1 +-+ -→x x x π 1 2111 arccos 21lim 2 1+-⋅ =+-→x x x x π 2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2）解: 1sin cos sin lim 1) csc (cot 1 lim ln cot ln lim 2 0200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→x x x x x x x x x x x x 。 （3)解： 6 1 3cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02 sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4）解：2 1])1(21[lim 211 1lim ) 1ln(lim )]1ln(11[lim 002 020-=--=-- =-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x （5)解： 31)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x 。 (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec ) tan(1)(sec ) tan(1 lim )tan(ln )tan(ln lim 2 202200 22 0cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b +→⋅⋅==⋅⋅ 2、(1）证明:b a a b b a a b ln ln >⇔> 令 x a a x x f ln ln )(-=，则)(x f 在],[b a 上连续 0ln )(>-='x a a x f ],[ b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增加，)()(a f b f >∴ 得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b ， 即a b b a > （2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2 ,0(π ∈x 时 03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x x x x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2 π 上单调增,又00 lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x + + →→=+-= 0(0,),()lim ()02 x x f x f x π + →∴∀∈>=， 即x x x 3sin 2tan >+ 3、解: 麦克劳林公式)(! )0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 2121 53m m m x o m x x x x x +--+-+- =-- ++-==∴!5!3sin 8 3 x x x x x y 对比 6 x 的系数有： 120! 3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4、解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36 02 3 210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ，2 113-=⇒=-a an 5、即证: 332()() [3()()]b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 令)()(3x f x x F =，则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日定理的条件 ),(b a ∈∃∴ξ，使 )() ()(ξF a b a F b F '=-- 即 3323()() 3()()b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 即 )]()(3[) ()(1 233ξξξξf f b f a f a b a b '+=- 6、解: 设圆锥的高为h ，底面圆半径为R ，则有比例关系 22 2r hr R R h r =⇒= - r h r h h R V 23131222-⋅==∴ππ )2(r h > 2 222 22)2()42(31)2()2(231r h h r h hr r h r h r h hr dh dV ---=---=ππ 令⇒=0dh dV 唯一驻点r h 4= 所以，当r h 4=时，体积最小，此时3 223 8241631r r r r r V ππ=-⋅⋅ = 7、解： 由题设可知)('"),("),('),(x F x F x F x F 在]1,0[上存在，又)1()0(F F =，由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF ，又0|)](')(3[)0('032=+==x x f x x f x F ,可知)('x F 在],0[1ξ上满足罗尔定理,于是),0(12ξξ∈∃，使0)("2=ξF ，又0|)](")('6)(6[)0("032=++==x x f x x f x x xf F ，对)(''x F 在],0[2ξ上再次利用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ，使得0)('"=ξF 。 第四章 不定积分 一、填空题 1、⎰dx x x =___________。 2、⎰x x dx 2=_____________。 3、⎰+-dx x x )23(2=_____________。 4、⎰ -dx x x x sin cos 2cos =___________. 5、⎰+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ⎰sin =___________。 7、⎰xdx x sin =___________. 8、⎰xdx arctan =__________。 9、=+⎰ dx x x 2sin 12sin ____________。 10、⎰=''dx x f x )(____________。 11、⎰ =++dx x x 1 )3(1________________。 12、⎰=++__________5 22x x dx . 二、单项选择 1、对于不定积分()dx x f ⎰，下列等式中( ）是正确的。 （A)()()x f dx x f d =⎰； （B ） ()()x f dx x f ='⎰; （C ） ()()x f x df =⎰; （D) ()()x f dx x f dx d =⎰ 。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[] dx x f d ⎰等于（ ） (A ）()x f ； （B ）()dx x f ； (C ）()C x f + ; （D ）()dx x f '。 3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（ ) （A ）()()0=-x G x F ； (B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数）； (D)()()C x G x F =＋(常数)。 4、若⎰+='c x dx x f 33)(，则=)(x f ( ） （A ）c x +3556；（B ）c x +355 9；（C ）c x +3；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++)ln 4121(2；（B ）c x x ++)ln 2 141(2； （C ）c x x +-)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4 121(2。 6、设c x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2（ ) (A)c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2； （C ）c x +--22)1(21；（D)c x +-22)1(2 1。 ７、=+-⎰dx e e x x 1 1（ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2; (D)c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B)x sin 1-； （C ）x cos 1+； (D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数,且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12+-x ; （C ）12+-x ; (D ）12--x 。 10、=⋅-⋅⎰dx x x x 23223（ ） (A ）C x x +⋅-)23(23ln 23； （B ）C x x x +⋅--1)2 3(23; (C)C x +⋅--)23(2ln 3ln 23； （D ）C x x +⋅--)2 3(2ln 3ln 23。 11、dx e x x ⎰3=（ ） （A ） C e x x +33ln 1；(B ）C e x x ++33ln 11；（Ｃ）x x e 33ln 1 ； ( D ）x x e 33 ln 11+. 12、⎰dx x x 1sec 122=（ ) （Ａ)C x +1tan ； (Ｂ)C x +-1tan ； （Ｃ)C x +1cot ; (Ｄ）C x +-1cot 。 三、计算解答 1、计算下列各题 (1） dx x a x ⎰-22； (2） dx x x x ⎰+++13412； (3) dx x x x ⎰-21arccos ； (4) dx e xe x x ⎰-1 ； （5） ⎰xdx x 2sin ； （6) ()dx e e x x ⎰+1ln 。 2、设()x x x f 22tan 2cos sin +='，当10< 4、 确定A 、B 使下式成立 ()⎰⎰+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin cos 212 5、设()x f 的导数()x f '的图像为过原点和点()0,2的抛物线，开口向下,且()x f 的极小值为2,极大值为6，求 ()x f . 第四章 不定积分习题解答 一、填空题 1、C x +255 2 C x dx x dx x x +==⎰⎰252352。 2、C x +--2332 C x dx x x x dx +-==--⎰⎰2325232. 3、C x x x ++-22 33123 C x x x dx x x ++-=+-⎰22331)23(232. 4、C x x +-cos sin ⎰⎰--=-dx x x x x dx x x x sin cos sin cos sin cos 2cos 22 C x x dx x x +-=+=⎰cos sin )sin (cos 。 5、C x +tan 21 C x xdx x dx x dx +==-+=+⎰⎰⎰tan 2 1sec 211cos 212cos 122。 6、C t +-cos 2 C t t d t dt t t +-==⎰⎰cos 2sin 2sin 。 7、C x x x ++-sin cos ⎰⎰⎰+-=-=xdx x x x xd xdx x cos cos cos sin C x x x ++-=sin cos 。 8、C x x x +-arctan arctan ⎰⎰-=x d x x xdx arctan arctan arctan C x x x +-=arctan arctan 。 9、C x ++)sin 1ln(2 ⎰⎰+=+dx x x x dx x x 22sin 1cos sin 2sin 12sin C x x x d ++=+=⎰)sin 1ln(sin 1sin 222。 10、C x f x f x +-')()( ⎰⎰⎰'-'='=''dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()( ⎰-'=)()(x df x f x C x f x f x +-'=)()( 11、C x ++)2 1arctan(2 令t x =+1，则12-=t x 原式⎰⎰+=-⋅+=dt t t d t t 2 2)1()2(1222 C t t d +=+=⎰)2arctan(2)2(1)2 1(122C x ++=)21arctan(2 12、C x ++2 1arctan 21 C x x dx x x dx ++=++=++⎰⎰21arctan 214)1(5222。 二、选择题 1、选（Ｄ）。由()()dx x f dx x f d =⎰，()()C x f dx x f +='⎰，()()C x f x df +=⎰知（A ）、（B ）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ. 2、选（Ｂ）。由微分的定义知dx x f dx x f d )(])([=。 3、选（Ｃ)。函数)(x f 的任意两个原函数之间相差一个常数. 4、选（B ） 两边对⎰+='C x dx x f 33)(微分得 32 2 33)(,3)(t t f x x f ='=' C x dx x dx x f x f +=='=∴⎰⎰35 325 93)()( 5、选（B ） 原式⎰⎰⎰-===xdx x x x x x xd x xdF ln ln )ln ()(2 C x x dx x x x x ++=+-=⎰)4 1ln 21(2ln 2222 6、选（C) ⎰⎰+--=---=-C x x d x f dx x xf )1(2 1)1()1(21)1(2222 ７、选（D ） ⎰⎰⎰+-=+-+=+-dx e dx e e dx e e x x x x x 1 2112111 ⎰⎰+-=+-=x x x x x x de e e x dx e e e x ) 1(12)1(2 C e x x de e e x x x x x +++-=+--=⎰|1|ln 22)1 11(2 C e x x +++-=|1|ln 2 8、选（B)由题意知x x f sin )('=，1cos )(C x x f +-=∴, 2)(x f ∴的原函数为C x C x dx x f ++-=⎰1sin )(, 取1,021==C C ,故选B. 9、选（C ）由2)()(x x xf x F +=两边求导得 x x xf x f x F 2)(')()('++=，又)()('x f x F =，所以2)('-=x f ， 所以⎰+-=-=C x dx x f 22)(，又因为1)0(=f ，所以12)(,1+-==x x f C 。 10、选（Ｄ）C x dx dx x x x x x +⋅⋅-=⋅-=⋅-⋅⎰⎰)23(2 3ln 123])23(23[23223 C x x +⋅-⋅-=)2 3(2ln 3ln 123。 11、选（B)x x x x x x e e e dx e dx e 33 ln 11)3(3ln 1)3(3+===⎰⎰。 12、选（Ｂ）⎰⎰⎰+-=-=--=C x x d x dx x x dx x x 1tan 11sec 1sec )1(1sec 122222. 三、计算解答 1、计算下列各题 （1)解:⎰⎰+--=---=--C x a x a d x a dx x a x 222221 222 2)()(21； （2) 解:⎰⎰⎰⎰+++-++++=++-+=+++2222223 )2()2(134)134(21134242211341x x d x x x x d dx x x x dx x x x C x x x ++-++=3 2arctan 31)134ln(212； (3) 解：⎰⎰--=-)1(arccos 1arccos 22 x xd dx x x x ⎰--⋅-+--=dx x x x x )11(1arccos 1222 C x x x +---=arccos 12; (4） 解：dx e xe x x ⎰-1 令t e x =-1，则)1ln(2+=t x 得 ⎰+⋅+⋅+dt t t t t t 1 2)1()1ln(222 ⎰⎰+-+=+=dt t t t t dt t 1 22)1ln(2)1ln(222 2 2 C t t t t +--+=)arctan (4)1ln(22 C e e x e x x x +-+--⋅-=1arctan 41412； (5) 解：⎰⎰⎰⎰-=-⋅=xdx x xdx dx x x xdx x 2cos 2 12122cos 1sin 2 C x x x x x xd x +--=-=⎰2cos 8 12sin 41412sin 414122； （6) 解：⎰⎰⎰⋅+++-=+-=+---dx e e e e e e d e dx e e x x x x x x x x x 1)1ln()()1ln()1ln( dx e e e e e x x x x x ⎰+-+++-=-11)1ln( C e x e e x x x ++-++-=-)1ln()1ln(。 2、解：x x x x x x f 222 22sin 1sin sin 21tan 2cos )(sin -+-=+=' 1 12121)(---=-+-='∴x x x x x x f 1sin 02< ⎰⎰=dx x dx x F x f 2sin )()(2⎰⎰-=⇒dx x x dF x F 2 4cos 1)()( C x x x F +-=4sin 8 12)(212 由1)0(=F 知1=C 又0)(≥x F 得14sin 41)(+-= x x x F )4cos 1()14sin 4 1(21)()(21x x x x F x f -⋅+-='=∴- 4、解：由⎰⎰+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2整理得 ⎰++=+--C x x A dx x x B B cos 21sin )cos 21(cos 212 由不定积分的定义:有2) cos 21(cos 21)cos 21sin (x x B B x x A +--='+ 即2222) cos 21(cos 21)cos 21(2cos )cos 21(sin 2)cos 21(cos x x B B x A x A x x A x x A +--=++=+++ 对此导数:⎩⎨⎧-=-=B A B A 122⇒32=A ,31-=B (也可直接两边求导求解） 5、解：设c bx ax x f ++='2)( )0( ax ax x f 2)(2-='∴ 令⇒='0)(x f 驻点01=x ，22=x 又a ax x f 22)(-='' 02)0(>-=''a f ,0=∴x 为极小值点,2)0(=∴f 02)2(<=''a f ，2=∴x 为极大值点，6)2(=∴f 而⎰⎰+-=-='=c ax x a dx ax ax dx x f x f 2323 )2()()( 由⎪⎩ ⎪⎨⎧==+-⋅2483c b c a a ⎩⎨⎧=-=⇒23c a 23)(23++-=∴x x x f 第五章 定积分 一、填空题 1、⎰+454 2)sin 1(ππdx x =__________. 2、dx x ⎰+4 11=___________。 3、_________sin 40 3=⎰dx x π 。 4、⎰=-102________1arcsin dx x x . 5、________1 102=+⎰dx x x . 6、()________1202 =-⎰dx x 。 7、设()x f 在()+∞∞-,上连续，则()⎰=2 sin 3x x dt t f dx d 。 8、设()x f 在[]4,0上连续，且()3212-=⎰ -x dt t f x ，则()=2f 。 9、=+⎰31ln 1e x x dx 。 10、()=+⎰+∞121 x x dx . 11、()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⋅⎰-dx x x x x x ππcos 113sin 2224 。 12、⎰=dx x f )('___________，⎰='b a dx x f )2(_____________。 13、=-⎰dx x π 0sin 1__________。 二、单项选择 1、=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛++++++∞→n n n n n 12111lim （ ) (A) 0 ； （B ） e ; （C ） ln2 ; （D) 1 。 2、若()()⎰-=x dt x t dx d x f 0sin ，则()x f 等于（ ）。 （A ） x sin - ； (B ） x cos 1+- ; （C ） x sin ; （D ） 0 。 3、定积分()dx e x x x ⎰-+2 2的值是（ ）。 (A) 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2; （D) 26e . 4、设()u f ''连续,已知()()dt t f t dx x f x n ⎰⎰''=''2 10 2，则n=（ ） （A ） 1/4 ; （B ） 1 ; （C) 2 ； （D) 4 。 5、若连续函数()x f 满足关系式()2ln 220 +⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎰x dt t f x f ，则()x f 等于（ )。 （A ）2ln x e ; (B ） 2ln 2x e ； (C ） 2ln +x e ； (D) 2ln 2+x e . 6、设⎰-+=2224cos 1sin 2ππxdx x x M ，⎰-+=22 2)cos (sin ππdx x x N ， ⎰--=22 254)cos sin (π πdx x x x P 则有（ ） （A)M P N <<; （B)N p M <<；（C ）P M N <<；(D)N M P <<. 7、设⎰=-=2 01022 sin )(,)cos()(x x x g dt t x x f 则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的 （A ）等价无穷小；(B ）同阶但非等价无穷小;（C)高阶无穷小；(D ）低阶无穷小。 8、设)(x f 是连续函数,且⎰-=x e x dt t f x F 2)()(，则)(x F '等于（ ) (A))(2)(2x xf e f e x x ----； （B))()(2x f e f e x x +---; （C ）)(2)(2x xf e f e x x ---； (D ）)()(2x f e f e x x +--. 9、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)0(>x f ，则方程⎰⎰ =+x a x b dt t f dt t f 0) (1 )( 在开区间),(b a 内的根有( ） （A ）0个; （B ）1个; （C ）2个； (D)无穷多个. 10、设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dx d 0 22)(( ） (A ）)(2x xf ； （B ）)(2x xf -； （C ）)(22x xf ； （D ）)(22x xf -。 11、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1 0)(2)(dt t f x x f ，则)(x f =（ ) （A ）1-x ； （B ）1+x ； （Ｃ）1+-x ; (D ）1--x 。 12、x dt t x x ⎰ →0 20 cos lim =( ） (Ａ）１； （Ｂ）０; （Ｃ）1-; （Ｄ）∞. 三、计算解答 1、计算下列各题 （1）⎰-20234dx x x ； （2）dx x x ⎰-4 1 ; (3）dx x x x ⎰ --212 12 1arcsin ； (4)() ⎰- +22 2 2cos π πdx x x ； (5）30 20 sin lim x tdt x x ⎰→； （6）2 0)1ln(lim x dt t x x ⎰+→. 2、 已知()x f 在12=x 的邻域内可导，且()()997lim ,0lim 12 12 ='=→→x f x f x x ，求 ()()3 12121212lim x dt du u tf x t x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→。 3、设()⎰+=x dt t t x f 11ln 其中0>x ，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 1. 4、证明方程dx x e x x ⎰--=π 2cos 1ln 在区间()+∞,0内有且仅有两个不同实根。 5、已知()x f 在[]a ,0上连续，且()00=f ，证明 ()2 2 Ma dx x f a ≤⎰ ，其中 ()x f M b x a '=≤≤max 。 6、已知()x f 在[]1,0上连续，定义()()()()()[]1,0,,0 0∈-==⎰⎰x dt t f t x x h dt t f x g x x ，证明()()⎰=x du u g x h 0 ，并求 ()x h ''. 第五单元 定积分习题解答 一、填空题 1、π23 ⎰⎰⎰⎰-=-+=+454 454454 4542 2cos 2123)22cos 11()sin 1(π πππππππxdx dx dx x dx x πππ π23 |2sin 4123454 =-=x 。 2、)25(3223 23 - )25(32|)1(1 2 11)1()1(123 234 123412141-=++= ++=+⎰⎰x x d x dx x 。 3、 321225+ 32 1225|cos |cos 31cos )cos 1(sin 4040340240 3+=-=--=⎰⎰πππ πx x x d x dx x 。 4、 8 2 π 8)2(21|)(arcsin 21)(arcsin arcsin 1arcsin 221 021 01 2ππ= ===-⎰⎰ x x xd dx x x 。 5、2ln 21 2ln 21 |1|ln 21112111 021022102=+=+=+⎰⎰x dx x dx x x . 6、32 ()() 32311212 023202202 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-⎰⎰x x x dx x x dx x 7、4 1 两边求导：1)2(22=-x xf ，令 2=x 得41)2(=f 8、2 2ln 12)ln 1()ln 1(ln 13 3 311 121 =+=++=+⎰ ⎰-e e e x x d x x x dx 9、2ln 21 +∞ ∞+∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=+⎰⎰1 2 1212)1ln(21ln )11()1(x x dx x x x x x dx 2ln 2 1 2ln 210)1ln (ln lim 2=+-+-=+∞→x x x 10、0 0sin 2cos 2]cos 1)13(sin 2[0022 4===++++⋅⎰⎰-ππ ππx xdx dx x x x x x 11、C x f +)( , )]2()2([2 1 a f b f - ⎰= dx x f )('C x f +)( ⎰⎰-==='b a b a b a a f b f u f du u f x u dx x f 2222)]2()2([2 1|)(2121)(2)2(令 12、)12(4- 原式⎰⎰-=-=ππ002|2 cos 2sin |)2cos 2(sin dx x x dx x x ⎰⎰-+-=πππ220)2 cos 2(sin )2sin 2(cos dx x x dx x x ]|)2 sin 2(cos |)2cos 2[(sin 220 π ππx x x x +-+= )12(4-= 二、选择题 1、选(Ｃ）)1 11(lim n n n n ++++∞→ 2ln )1ln(1)11 211111(1lim 1010=+=+=++++++=⎰∞→x x dx n n n n n n 2、选（A ）[]x x t dx d dt x t dx d x f x x sin )cos()sin()(0 0-=--=-=⎰ 3、选（Ｃ）22|2|220)|(|22 020 2 02 2 2 | |+=-=+=+⎰⎰⎰--e e xe dx xe dx dx e x x x x x x 4、选（Ｄ）⎰''1 )2(dx x f x n 令t x =2 得⎰⎰ ''=⋅''2 2 0)(421)(2dt t f t n dt t f t n 4=∴n 5、选（Ｂ）两边求导 )(2)(x f x f =' 6、选(D) 因为0cos 20,020 2 >+==⎰ πxdx N M ，⎰ <-=2 20cos 20πxdx P 7、选（B) 100 220 02)cos(lim 0)() (lim x dt t x x g x f x x x ⎰ -→→10 15210cos 22lim 88840== -=→x x x x x 8、选（A ） )(2)()')(()')(()('222x xf e f e x x f e e f x F x x x x --=-=----. 9、选（B ） 因为⎰⎰+=x b x a dt t f dt t f x F )(1 )()(,则有 0) (1 )(<=⎰a b dt t f a F ，0)()(>=⎰b a dt t f b F 又0) (1 )()(>+ ='x f x f x F 。可知)(x F 是严格增的，由介值定理知存在唯一的一个ξ，使0)(=ξF 。 10、选（A)首先通过积分换元，把被积函数中的参变量x “解脱”出来： ⎰⎰⎰⎰=-=====---=-=-2222002 2022022)(21)(21)()(21)(x x u t x x x du u f du u f t x d t x f dt t x tf 由此， 原式=)()(212 02x xf du u f dx d x =⎰. 11、选（A ）设⎰=1 )(a dt t f ，则有恒等式dt t f x x f ⎰+=1 )(2)(。为求常数a ，两边取由０到１的积分得 a xdx a 21 0+=⎰，解得2 1 1 0-=-=⎰xdx a 。由此，1)(-=x x f 。 12、选（A) 11 cos lim cos lim 2 00 20==→→⎰x x dt t x x x 三、计算解答 1、计算下列各题 (1） 解：⎰-2 234dx x x 令t x sin 2= 得 ⎰⎰ -=⋅⋅20 2220 3 cos cos )1(cos 32cos 2cos 2sin 8π πt td x tdt t t 15)cos 31cos 51(322035=-=π t x （2） 解:5 625 2 ||||41 2 5 41 2 31 1 4 1 = =+=⎰ ⎰⎰--x dx x dx x x dx x x (3） 解：212 1212 1212 12212 122 arcsin 11arcsin 1arcsin - ---⎰ ⎰+--=--=-x x x x xd dx x x x π6 31- = (4） 解：⎰⎰⎰- - +=++=+22 20 424 2 2 22 2 2 )cos (2)cos cos 2()cos (π ππ π πdx x x dx x x x x dx x x ⎰⎰+++=++=2 232 02203)2cos 2cos 21(2112)22cos 1(232π πππdx x x dx x x 8 312|4sin 81|41|2sin 21|21123 202020203 ππππ πππ+=++++=x x x x (5） 解：31 3sin lim sin lim 220302 ==→→⎰x x x tdt x x x 。 （6) 解：21 )1(21lim 2)1ln(lim )1ln(lim 002 =+=+=+→→→⎰x x x x dt t x x x x . 2、解：2 12 12 2 12 12 3 12 12 12 )12(3)(lim ) 12(3)(lim ) 12(])([lim x du u f x x du u f x x dt du u tf x x x x x t x -=--=-⎰⎰⎰⎰→→→ 6 ) ()()(lim ) 12(6) ()(lim 12 12 12 x f x x f x f x x xf du u f x x x '++=--+=→→⎰ 19946 99712=⨯= 3、解：⎰+=x dt t t x f 11 1ln )1( u t 1= ⎰-⋅+ x du u u u 12)1(111ln ⎰⎰⎰+=+=+=x x x dt t t t du u u u du u u u 1112) 1(ln )1(ln ln ⎰⎰⎰+++=+++=+∴x x x dt t t t t t dt t t t dt t t x f x f 111]) 1(ln 1ln [)1(ln 1ln )1()( x t dt t t x x 2121ln 2 1|ln 21ln ===⎰ 4、解：22|cos 2sin 2sin 22cos 100 2 =-===-⎰⎰ ⎰ ππ π πx xdx dx x dx x 令 22ln )(+- =e x x x f 则 ex x e e x x f -= -='11)( 令 ⇒='0)(x f 驻点 e x = 在),0(e 内，0)(>'x f ，)(x f 单调增加.在),(+∞e 内0)(<'x f ，)(x f 单调减少 又-∞=-=++→→)(ln lim )(lim 00e x x x f x x -∞=-=+∞→+∞→)(ln lim )(lim e x x x f x x 而022)(>=e f )(x f ∴在),0(e 内有且仅有一个零点,在),(+∞e 内有且仅有一个零点 即 方程⎰--=π 02cos 1ln dx x e x x 在),0(+∞内有且仅有两个不同实根 5、解：证：|])()0([||)(|0 dx x f f dx x f a a ⎰⎰'+=ξ其中),0(x ∈ξ 2 |)(2|||)(2||)(|22020 Ma f a f x xdx f a a ≤'='='=⎰ ξξξ 6、解：⎰⎰-=x x dt t tf dt t f x x h 0 )()()( )()()()()(0 x g x xf x xf dt t f x h x =-+='∴⎰ ⎰⎰='∴x x dx x g dx x h 0 )()( 即 ⎰=x x du u g x h 0 )(|)( ⎰=-⇒x du u g h x h 0 )()0()( 而 0)0(=h ⎰=∴x du u g x h 0 )()( )()()(x f x g x h ='='' 第六章 定积分的应用 一、填空题 1、由曲线e y e y x ==,及y 轴所围成平面区域的面积是______________ . 2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________。 3、由曲线 1,1,1,12=-==-=x x y x x y 所围成平面区域的面积是_______ . 4、由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成平面区域的面积是_________ . 5、连续曲线),(x f y =直线a x =,b x =及x 轴所围图形绕x 轴旋转一周而成的立体的体积=v __________，绕y 轴旋转一周而成的立体的体积=v ____________。 6、抛物线ax y 42=及直线)0(00>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积______。 7、渐伸线)sin (cos t t t a x +=，)cos (sin t t t a y -=上相应于t 从0变到π的一段弧长为______。 8、曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积_______=A 。 9、界于π==x x ,0之间由曲线x y x y cos ,sin ==所围图形的面积=S _______。 10、对数螺线θa e r =自0=θ到ϕθ=的弧长_________=l 。 11、心形线)cos 1(4θρ+=和直线2 ,0π θθ= =围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________. 二、选择题 1、曲线)0(ln ,ln ,ln b a b y a y x y <<===及y 轴所围图形的面积=A （ ）。 （A ）⎰ b a xdx ln ln ln ； （B)⎰b a e e x dx e ; (C)⎰b a y dy e ln ln ; （D ）⎰b a e e xdx ln 。 2、曲线θcos 2a r =所围面积=A ( )。 （A ）⎰202)cos 2(21π θθd a ； （B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(2 1; （C ）⎰πθθ202 )cos 2(2 1d a ； （D ）⎰202)cos 2(212π θθd a 。 3、曲线θae r =及πθπθ=-=,所围面积=A （ ）. (A ）⎰πθθ0 2221d e a ； （B ）⎰πθ θ20222d e a ； （C)⎰-ππθθd e a 22； （D ）⎰-ππθθd e a 222。 4、曲线)1ln(2x y -=上2 1 0≤≤x 一段弧长=s （ ）。 （A ）dx x ⎰ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+210 2 2111； （B)dx x x ⎰-+21 02211； （C)dx x x ⎰--+210 2121； （D ）dx x ⎰-+21 022)]1[ln(1. 5、双纽线22222)(y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为( ） (A ）⎰40 2cos 2π θθd ; （B ）⎰40 2cos 4π θθd ； （C)⎰402cos 2πθθd ； (D ）⎰40 2)2(cos 21 π θθd 。 6、22,y x x y ==绕y 轴所产生的旋转体的体积为（ ） （Ａ）π53； （Ｂ)103π； （Ｃ）π2; （Ｄ)π4 3 。 ７、曲线2 332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度（ ） （Ａ）)(323232a b -; （Ｂ）)(3 2 3434a b -； （Ｃ）])1()1[(322323a b +-+； （Ｄ）])1()1[(9 2 23 23a b +-+. 8、曲线x y sin =的一个周期的弧长等于椭圆2222=+y x 的周长的（ ） （Ａ）1倍; （Ｂ）2倍； （Ｃ)3倍； （Ｄ）4倍。 三、计算解答 1、求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。 2、求双纽线θ2sin 22a r =所围图形的面积。 3、求由平面图形)4 0(0,sin cos π ≤ ≤=-=x y x x y 绕x 轴旋转的旋转体体积。 4、求摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱及0=y 绕x 轴旋转的旋转体的体积. 5、求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长,其中0>a 是常数. 6、求由曲线,2,1 =+=x x x y 及2=y 所围图形的面积。 7、计算底面是半径R 为的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积. 第六单元 定积分的应用习题解答 一、填空题 1、1 x e y =与e y =及y 轴交点为)1,0(),,1(e ，取x 微积分变量则 1||)(1 0101 0=-=-=⎰x x e ex dx e e S 2、 3 32 23x y -=与x y 2=交点为)2,1(),6,3(--，取x 微积分变量则 3 32 ]313[]2)3[(13 23132=--=--=--⎰x x x dx x x S 。 3、2 )1(12121)11(21 1 211112112x d x x d x x dx dx x x S --+=--=--=⎰⎰⎰⎰---- 2|)1(3 2 2121123 2=-⋅+=-x 。 4、21 -+-e e 2][)(1 10 1 -+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x . 5、由旋转体体积公式知:dx x f b a ⎰2)]([π,dx x xf b a ⎰)(2π. 6、2 02x a π 200 2240 x a axdx dx y V x x πππ===⎰⎰. 7、22 πa ,sin ,cos t at dt dy t at dt dx == 2 222 )sin ()cos (ππ π a atdt dt t at t at S = =+=⎰⎰ 。 8、 12 37 )2)(1(-+-=x x x y ，零点为,2,0,1321==-=x x x 则 12 37 )2()2(20230123= ++-+++--=⎰⎰-dx x x x dx x x x A 。 9、24 ⎰-=π20 |cos sin |dx x x A 24)sin (cos )cos (sin )sin (cos 24 54 54 40 =-+-+-=⎰⎰⎰π ππ ππ dx x x dx x x dx x x 10、 )1(12-+ϕ a e a a 由极坐标弧长公式得所求的弧长 θθθθϕ θθϕ d a e e d r r S a a ⎰ ⎰ +=+=0 220 22)()()(')( )1(11202 -+=+=⎰ϕ θ ϕ θa a e a a d e a 11、π160 由)cos 1(4θρ+=得θθθθsin )cos 1(4,cos )cos 1(4+=+=y x ，0=θ时8=ρ，由元素法 θθθθθθππππ d dx y V )cos sin 2(sin 4sin )cos 1(1622 2 2 +⋅+⋅-==⎰⎰ ⎰=++=20 22160)cos 21(sin )cos 1(π πθθθθπd 。 二、选择题 1、选(C ）.以x 为积分变量⎰-+-=b a dx x b a b a S )ln (ln )ln (ln ， 以y 为积分变量dy e S y b a ⎰ =ln ln 。 2、选（D)。由极坐标曲边扇形面积公式θθϕβ αd A ⎰ =2)]([2 1 ，知 ⎰⎰==-20222 2)cos 2(21 2)cos 2(21π ππθθθθd a d a A 。 3、选（D)。⎰-===ππθθθθd e a A e a ae dA 2222221,2 1 )(21. 4、选（B ）。dx x x dx x x dx x S ⎰⎰⎰-+=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+=-+=21 022210 2 2210 2211121)]'1[ln(1. 5、选（A)。由方程可以看到双纽线关于x 轴、y 轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单：θρ2cos 2=。 其在第一象限部分θ的变化范围是：]4 ,0[π θ∈。再由对称性得 ⎰⎰=⋅==4040 2 12cos 22144ππθθθρd d S S 。 6、选（B).绕轴旋转所得旋转体的体积 ππππ103 )5121()(1 521 0221 0=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V 。 7、选(C ）。,'21 x y =从而弧长元素dx x dx x ds +=+=1)(122 1，所求弧长为 ])1()1[(32 ])1(32[123 2323a b x dx x s b a b a +-+=+=+=⎰。 8、选（A ）。设1L 为曲线x y sin =的一个周期的弧长，2L 为椭圆2222=+y x 的周长，显然 ⎰ ⎰ +=+=π π 20 220 21cos 1'1dx x dx y L ，将椭圆化成参数方程 )20(sin 2cos πθθθ ≤≤⎩ ⎨ ⎧==y x 则⎰ ⎰ +=+-=π πθθ20 220 2 22cos 1)sin 2()sin (dx x dx L 从而有1L =2L 。 三、计算解答 1、解：切线方程分别为34-=x y 和62+-=x y ,其交点坐标是)3,2 3 (， 49 )34()62()34(30232 323 0=-+--+-+-=∴⎰⎰⎰dx x x dx x dx x S 。 2、解：由对称性⎰⎰===20222 2 2sin 2 12π π θθθa d a d r S 。 3、解：2 4 )cos sin 21()sin (cos 40 2 40 2 π ππππ π ⎰⎰- =-=-=dx x x dx x x V 。 4、解：dt t a t t a d t a V 320 3 2220 )cos 1()]sin ([)cos 1(-=--=⎰ ⎰ π πππ 323220 35)cos cos 3cos 31(a dt t t t a πππ =-+-=⎰ 。 5、解：由极坐标系下的弧微分公式得 θθ θθθθθθd a d a d r r ds |2 cos |2sin )cos 1()(')(2222=++⋅=+=， 由于)cos 1()(θθ+==a r r 以π2为周期，因而θ的范围是]2,0[πθ∈。又由于)()(θθr r =-，心形线关于极轴对称.由对称性， a d a ds s 82 cos 4)(200===⎰⎰π π θθ θ。 6、解:由于x x y 1 + =在1=x 处取极小值 所以可得2,1,1 ==+=x x x x y 所围图形面积为 2 12ln |)2ln 21()21(2 1221-=-+=-+=⎰x x x dx x x A 。 7、解:取固定直径为x 轴，x 为积分变量且],[R R x -∈，过点x 且垂直于x 轴的立体截面面积为)(3)(22x R x A -= 于是3 222 23 34)(32)(3)(R dx x R dx x R dx x A V R R R R R = -=-==⎰⎰ ⎰--。 第七八章 多元函数微积分 （以课件例题为主） 第九章 微分方程 一、填空题 1、方程124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程. 2、以函数x x e C e C y 221+=为通解的微分方程是 . 3、设曲线上任意一点),(y x 的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所满足的微分方程为 。 4、连续函数)(x f 满足关系式2ln )2 ()(20+=⎰dt t f x f x ，则)(x f = 。 5、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y 。 6、以221==r r 为特征根的二阶常系数线性齐次微分方程是 . 7、判断对错：（填“正确"或“错误”） (1）所有微分方程都存在通解。 （2）微分方程的通解包含了所有的解。 （3）设21c x e c y +=为某二阶微分方程的解,其中21,c c 为任意常数，则此解是该方程的通解。 （4)若函数21,y y 是一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'两个不相同的特解,则221)(y y y c y +-=就是该方程的通解. 8、若0),(),(=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程,则函数Q P ,应满足 。 9、已知2,,1x y x y y ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 . 10、微分方程2 12x y x y +' =''满足初始条件3,100='===x x y y 的特解=y 。 11、求方程0)(2='-''y y y 的通解时可令p y ='，则=''y 。 12、微分方程y y ''='''的通解为 . 二、选择题 1、下列方程中（ ）是常微分方程 (A)2 22a y x =+；(B ）0)(arctan =+x e dx d y ；(C)02222=∂∂+∂∂y u x u ;(D ）22y x y +=''。 2、下列方程中（ )二阶微分方程 (A)0)(223=++'+''x xy y x y ； （B)3223)(x y x y =+'； （C)033=+'+''+'''y y y y ； （D ）x y y sin 2=-'。 3、微分方程0222=+y dx y d ω的通解是（ ），其中21,,c c c 均为常数 (A)x y ωcos =； （B ）x c y ωsin =； （C)x c x c y ωωsin cos 21+=； (D)x c x c y ωωsin cos +=。 4、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于y x 2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B ）抛物线； (C ）圆； （D)椭圆。 5、下列微分方程: （1）))((y x y x dx dy +-=，(2)x y dx dy +=cos ，（3)0)2(22=-+-dy y xy y dx y 中,线性微分方程是（ ） (A ）(1）; （B)（2）； （C)（3）； (D ）（1）、（2）、（3)均不是. 6、曲线)(x y y =经过点)1,0(-，且满足微分方程x y y 42=+',则当1=x 时，=y （ ） (A)0； （B)1; (C)2； (D ）4. 7、已知微分方程x x y x p y sin )(=+'有一特解x x y cos -=，则此方程通解为（ ） （A ）x cx y cos =； (B)x x c y cos -=； （C ）x x cx y cos -=； (D)cx x y cos -=。 8、设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的解,若0)(0>x f ，且0)(0='x f ,则)(x f 在0x 点（ ） （A ）取得极大值； （B)取得极小值； (C ）某邻域内单调增； （D)某邻域内单调减。 9、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，1c 、2c 为任意常数，则2211y c y c y +=（ ） (A)是该方程的通解；(B ）是该方程的特解；（C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。 10、曲线)(x y y =经过原点，且在原点处切线与直线062=++y x 平行，而)(x y y =满足方程052=+'-''y y y ，则曲线方程是（ ） (A ）12cos +-=x e y x ；（B)x e y x 2sin -=；（C ） 12cos -=x e y x ；(D ） x e y x 2sin =。 11、微分方程x y y ='-''2的特解*y 的形式为（ ） (A ）ax ； （B ）b ax +； （C)2ax ; （D)bx ax +2. 12、微分方程x y y 2cos 4=+''的特解*y 的形式为（ ） (A ）x a 2cos ； （B ）x ax 2cos ； （C ）)2sin 2cos (x b x a x +； （D ） x b x a 2sin 2cos +。 三、计算解答 1、验证由方程c y xy x =+-22所确定的函数)(x f y =是微分方程y x y y x -='-2)2(的通解。 2、求解下列微分方程: （1）0)()(22=-++dy y x y dx x xy ; (2）)ln (ln x y y dx dy x -=； (3）x xe y y x =+'； （4）0)ln (ln =-+dx x y xdy x ，1==e x y ； （5）621 y x y x y =+ '； （6）0)()(2=---dy y x dx y x ； （7）2 11 x y +=''； （8）x y y +'=''； （9)y y y y '='+''2)(; （10)x xe y y y =+'+''2。 3、设⎰+=x du u f x x f 0)()(，)(x f 为可微函数，求)(x f 。 4、已知1)(=πf ,曲线积分dy x f dx x y x f x B A )()]([sin +-⎰与路径无关,求函数)(x f 。 5、设)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，且3 22 1y y y y --不恒等于常数,证明 3221211)()1(y c y c c y c y --++=为方程的通解（其中21,c c 为任意常数）。 6、一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k ）的力作用在它上面,此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比(比例系数为2k ),试求此质点的速度和时间的关系。 第九章 微分方习题解答 一、填空题 1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程. 2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对x x e C e C y 221+=分别求一阶和二阶导数得：x x e C e C y 2212+='，x x e C e C y 2214+=''，三个式子连立消去21,C C 得，023=+'-''y y y 即为所求。 另解，直观看出x x e C e C y 221+=是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为2,121==r r ，其对应的特征方程为0232=+-r r ，从而对应的微分方程是023=+'-''y y y . 3、设曲线为)(x y y =，则由题意有：1-='x y y 即为所求。 4、对2ln )2 ()(20 +=⎰dt t f x f x 两边求导得)(2)(x f x f ='，解此微分方程得c x x f +=2)(ln ,即x ce x f 2)(=，又由2ln )2 ()(20+=⎰ dt t f x f x 可知,2ln )0(=f ，代入x ce x f 2)(=求得2ln =c ，从而=)(x f x e 22ln ⋅。 5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为022=-+r r ，解得特征根2,121-==r r ,从而通解为=y x x e c e c 221-+。 6、以221==r r 为根的一元二次方程是0442=+-r r ，从而对应的二阶常系数线性齐次微分方程是044=+'-''y y y 。 7、(1）错误，例如微分方程0)(22=+'y y ,该方程只有解0=y ，显然这不是通解。 （2)错误，例如微分方程02=+'y y ，易求得该方程的通解为c x y +=1 ，又知0=y 也是方程的解，显然0 =y 不包含在c x y +=1 中。 （3）错误，因为21c x e c y +=中的21,c c 不是相互的，事实上，x x c c x ce e e c e c y ===+2211,可见该解中只含有一个任意常数。 （4)正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于21,y y 不相等，所以21y y -线性无关且是对应齐次方程的解，从而)(21y y c -是对应齐次方程的通解，因此221)(y y y c y +-=就是该方程的通解。 8、y y x P x y x Q ∂∂=∂∂) ,(),(。 9、根据线性微分方程解的结构理论，1-=x y 和12-=x y 是对应齐次线性微分方程的解,又这两个解是线性无关的，所以)1()1(221-+-=x c x c y 是对应齐次线性微分方程的通解，从而1)1()1(221+-+-=x c x c y 是该非齐次线性微分方程的通解 10、方程212x y x y +' =''中不显含未知函数y ，因此作变量代换令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得2 12x xp p +='，变量分离法解此方程得)1(21x c p +=，即)1(2 1x c y +='，代入初始条件30='=x y 得31=c ，于是)1(32x y +=',两边积分得233c x x y ++='，代入初始条件10==x y 得12=c ，所以所求特解为=y 133++x x 。 11、方程0)(2='-''y y y 不显含自变量x ，因此作变量代换时应令)(y p y =',则 ==='=''dx dy dy dp y p dx d y dx d y )]([)(dy dp p 。 12、方程y y ''='''是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为023=-r r ,解得特征根1,0321===r r r ，从而通解为321c x c e c y x ++=. 二、选择题 1、选(D);由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A ）中的方程不是微分方程,（B ）中的方程不含有未知函数y 的导数，（C ）中的未知数u 是多元函数。 2、选（A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，（B)、(D)中方程是一阶微分方程,而(C)中的方程是三阶微分方程。 3、选(C ）;由通解的定义,含有任意常数,且任意常数(相）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A)、（B ）、（D ）均不符合. 4、选(D ）；按题意有y x dx dy 2-=，即xdx ydy 2-=，积分得c x y =+222 1 ，可见,该曲线是椭圆. 5、选(C ）；方程（1）、（2)可直观看出不是线性微分方程，对于(3），整理得 y x y dy dx 1 12-=-，视x 为未知函数，y 为自变量，则该方程是线性微分方程。 6、选(B)；方程x y y 42=+'为一阶线性微分方程，其通解 x dx dx e c x c dx xe e y 22212)4(--⎰+-=+⎰⎰= 由0=x 时1-=y 知0=c ，所以曲线为12-=x y ，由此，当1=x 时1=y 。 7、选(C ）；将x x y cos -=代入方程x x y x p y sin )(=+'，求出x x p 1 )(- =，于是方程通解为x x cx c x x c dx xe x e y dx x dx x cos )cos ()sin (1 1 -=+-=+⎰⎰=⎰-。 8、选(A)；由)(x f y =为042=+'-''y y y 的解，得0)(4)(2)(000=+'-''x f x f x f ，即0)(4)(00<-=''x f x f ,由极值判定定理知,)(x f 在0x 点处取得极大值。 9、选（C)；由线性方程解的结构定理，2211y c y c y +=一定是方程的解，当1y 与2y 线性无关时2211y c y c y +=才是方程的通解。 10、选(B ）;解方程052=+'-''y y y 得其通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x +=，由00==x y 得01=c ，由20-='=x y 得12-=c ，所以所求曲线为x e y x 2sin -=。 11、选(D);由特征方程022=-r r 解得特征根2,021==r r ，而x xe x ⋅=0，可见0=λ是特征根单根，所以特解应设为bx ax e b ax x y x +=+=⋅20)(。 12、选(C)；由特征方程042=+r 解得特征根i r i r 2,221-==, 而)2sin 02(cos 2cos 0x x e x x ⋅+=⋅,可见i i 2=+ωλ是特征根，所以特解应设为 )2sin 2cos ()2sin 2cos (0x b x a x x b x a xe y x +=+=⋅. 三、计算解答 1、解：将c y xy x =+-22两边对x 求导得，022='+'--y y y x y x , 整理得， y x y y x -='-2)2(， 可见，由方程所确定的函数)(x f y =满足微分方程y x y y x -='-2)2(， 又 c y xy x =+-22中含有一个任意常数， 所以由方程c y xy x =+-22所确定的函数)(x f y =是所给微分方程的通解。 2、（1）解：变量分离得，1 122-=+x xdx y ydy ， 两边积分得,c x y ln 2 1 )1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y 。 (2）解：整理得, x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令u x y =，即xu y =,则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du =-)1(ln ，积分得,c x u ln ln )1ln(ln +=-, 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1+=cx xe y 。 （3）解：整理得,x e y x y =+ '1 ，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-。 （4）解：整理得，x y x x dx dy 1 ln 1=+，这是一阶线性方程,利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰ ⎰=⎰⎰-， 代入初始条件1==e x y 得2 1=c ,从而所求特解为)ln 1 (ln 21x x y +=。 （5）解:整理得,2561 x y x y y =+'--，这是伯努利方程， 令u y =-5，则u y y '='--65,代入方程得，255 x u x u -=-'，这是线性方程，其通解为， 5325355 252 5)25()5()5(cx x c x x c dx x x c dx e x e u dx x dx x +=+=+-=+⎰-⎰=---⎰⎰， 所以原方程的通解为 5352 5 cx x y +=-。 （6）解：令)(),(,),(2y x y x Q y x y x P --=-=，则 1-=∂∂=∂∂y P x Q ,可见该方程是全微分方程，于是有 2 3)()()(),(2 30 2 ),() 0,0(0 2 y xy x dy y x dx x dy y x dx y x y x u y y x x +-=--+=---=⎰ ⎰ ⎰ 所以原方程通解为 c y xy x =+ -2 32 3。 （7)解:将方程两边逐次积分得，12 arctan 11 c x dx x y +=+='⎰， 2121)1ln(21 arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰， 即原方程通解为212)1ln(2 1 arctan c x c x x x y +++-=. （8）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '='',代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为 x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰ ⎰=----⎰⎰， 从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 212 2 1c e c x x y x ++-- =。 (9）解：方程中不显含自变量x ，所以可令)(y p y ='，则dy dp p y ='',代入方程得, p p dy dp yp =+2，整理得y dy p dp -=-1，积分得y c y p 1+=，即y c y y 1+='，变量分离并积分得211)ln(c x c y c y +=+-,此即为原方程的通解。 (10）解：由特征方程0122=++r r 解得特征根121-==r r ,所以对应齐次方程的通解为x e c x c Y -+=)(21。 又因为x xe 中1=λ不是特征根，所以可设原方程的特解为x e b ax y )(+=*，代入原方程并整理得， x b a ax =++444，从而41,41-==b a ，即x e x y )1(4 1 -=*. 所以原方程的通解为+ +=-x e c x c y )(21x e x )1(4 1 -。 3、解：将⎰+=x du u f x x f 0 )()(两边对x 求导并整理得,1)()(=-'x f x f ,这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰ ⎰=---⎰⎰， 又由⎰+=x du u f x x f 0 )()(可知0)0(=f ,从而1=c ， 所以所求1)(-=x e x f 。 4、解：因曲线积分dy x f dx x y x f x B A )()]([sin +-⎰与路径无关，所以有 x x f x x f 1)]([sin )(-='，整理得x x x f x x f sin )(1)(= +'为一阶线性方程，所以 )cos (1)sin (1)sin ()(11c x x c dx x x c dx e x x e x f dx x dx x +-=+=+⎰ ⎰=⎰⎰-, 又因1)(=πf ,得1-=πc ， 所以所求)1cos (1 )(-+-=πx x x f . 5、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解, 又因 3 22 1y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关， 从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=, 所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=， 即3221211)()1(y c y c c y c y --++=. 6、解：设质点速度和时间的关系为)(t v v =，则由题意有0)0(,21=-='v v k t k v m ， 整理得t m k v m k v 12=+'，这是一阶线性方程，从而 t m k t m k t m k dt m k dt m k ce k mk t k k c dt e m t k e c dt e m t k e v 2222222 12111)()(---+-=+=+⎰ ⎰=⎰⎰, 由0)0(=v 得22 1k mk c =, 所有所求t m k e k mk k mk t k k t v 222 122121)(-+-=。 第十章 无穷级数 （以课件例题为主)下载本文
