双基训练
*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…(2n-1)(n ∈N*)时，从“k 到k+1”左边需增乘的代数式是( )。【2】
(A)2k+1 (B)
2k+1k+1 (C)2(2k+1) (D)2k+3
k+1 *2.用数学归纳法证明：1+12+13+…+n 1
2-1
(A)1 (B)1+1/2 (C)1+1/2+1/3 (D)1+1/2+1/3+1/4 *3.某个与自然数n 有关的命题，若n=k 时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )。【2】 (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=4时该命题不成立 (D)当n=4时该命题成立 *4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+ 12n-1-12n =1n+1+1n+2+ (12) ，第一步应验试左式 是 ，右式是 。【2】 *5.若要用数学归纳法证明2n>n 2 (n ∈N*)则仅当n 取值范围是 时不等式才成立。【2】 **6.用数学归纳法证明：1+a+a 2 +…+a n+1 =n+21-a 1-a (a ≠1)(n ∈N*).【3】 **7.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+ n(n+1)2=n(n+1)(n+2) 6 (n ∈N*).【3】 **8.用数学归纳法证明：1(n 2 -1)+2(n 2 -22 )+…+n(n 2 -n 2 )=2n (n-1)(n+1) 4 (n ∈N*).【4】 **9.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)= n 4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*).【4】 **10.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=2 1n(4n +6n-1)(n N*)3 ∈.【4】 **11.用数学归纳法证明： 1111n ++++=(n N*)2446682n(2n+2)4(n+1) ⋅⋅⋅∈⨯⨯⨯。【4】 **12.用数学归纳法证明： 23n n 122n n+2 ++++=2-(n N*)22222 ⋅⋅⋅∈.【4】 **13.用数学归纳法证明： 22212n n(n+1) +++=(n N*)1335(2n-1)(2n+1)2(2n+1) ⋅⋅⋅∈∙∙【4】 **15.用数学归纳法证明：13 +23 +…+n 3 +3(15 +25 +…+n 5 )=33 n (n+1)2 (n ∈N*)。【5】 **16.用数学归纳法证明： 222222222 3572n+11 ++++=1-122334n (n+1)(n+1)⋅⋅⋅ (n ∈N*).【4】 **17.用数学归纳法证明： 12 -22 +32 -42 +…+(-1)n-1n 2 =(-1)n-1 ·n(n+1) 2 (n ∈N*).【4】 **18.用数学归纳法证明： 1-2+4-8+…+(-1)n-12n-1 =(-1)n-1 · 2n 1 +33 (n ∈N*).【4】 **19.用数学归纳法证明：(1·22 -2·32 )+(3·42 -4·52 )+… +[(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2 ]=-n(n+1)(4n+3) (n ∈N*)【4】 ***20.求证：1+2+…+2n=n(2n+1) (n ∈N*)【4】 ***21.求证：1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+1=n 2 (n ∈N*)【4】 ***22.用数学归纳法证明：1·n+2(n-1)+…+n ·1=n(n+1)(n+2) 6 (n ∈N*)【5】 ***23.当n 为正偶数时，求证： (2)(2)21(1)(3)(1)(3)1 n n n n n n n n n n n --⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-----⋅⋅⋅ .【5】 ***24.当n>1，n ∈N*时，求证： 1119 12310 n n n ++⋅⋅⋅+>++【5】 纵向应用 **1.设n 是正奇数，用数学归纳法证明x n +y n 能被x+y 整除时，第二步归纳法假设应写成( )。 【2】 (A)假设n=k(k ≥1)时正确，再推证n=k+2时正确 (B)假设n=2k+1(k ∈N*)时正确，再推证n=2k+3时正确 (C)假设n=2k-1(k ∈N*)时正确，再推证n=2k+1时正确 (D)假设n=k(k ∈N*)时正确，再推证n=k+1时正确 **2.用数学归纳法说明：1+ 111 (1)2321 n n n ++⋅⋅⋅+<>-， 在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是( )。【2】 (A)2k 个 (B)2k -1个 (C)2k-1个 (D)2k +1个 **3.设凸n 边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+ 。【2】 **4.已知f(x)= ，记f 1(x)=f(x)，n ≥2时，f n (x)=f[f n-1(x)]，则 f 2(x)= ,f 3(x)= ,f 4(x)= ，由此得f n (x)= .【3】 **5.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…第n 个式子为 。【2】 ***6.求证：13n N*) n +⋅⋅⋅+>≥∈且.【5】 ***7.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，证明： 111(1)(1+)(1+)(n N*)352n-12 +⋅⋅⋅+>∈【4】 ***8.求证： 135(2n-1)> 2462n 2n+1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (n ∈N*)【4】 ***9.求证：2n >n 3 ，(n ≥10且n ∈N*)【4】 ***10.求证：当n ∈N ，用n ≥2时，n n >1·3·5·…·(2n-1).【4】 ***11.用数学归纳法证明：n n+1()>n!2(n ∈N 且n ≥2)【8】 ***12.用数学归纳法证明：111 1++++<3(n 1,n N)1!2!n! ⋅⋅⋅≥∈【8】 ***13.求证：3,n N) ≥∈【8】 ***14.用数学归纳法证明：n n 1111 1+ 1++++n(n N*)22322 ≤⋅⋅⋅≤∈【8】 ***15.用数学归纳法证明：n n n a + b a+b ()22 ≥(a+b>0,n ∈N*)【8】 ***16.证明：n 1(1+ ) ***17.若n a ⋅⋅⋅2 n n(n+1)(n+1)( n ∈N*)【8】 ***18.设i a >0,i=1,2,,n,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，且2 n n n a +1a ***21.求证： (2)(3n+1)7n-1是9的倍数(n∈N*)【4】 (3)1+2+22+…+25n-1能被31整除【4】 (4)62n+3n+2+3n是11的倍数(n∈N*)【5】 ***22.求证： (1)x n-na n-1+(n-1)a n能被(x-a)2整除【8】 (2)m n+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(n∈N*)【5】 ***23.用数学归纳法证明：三个连续自然数的立方和能被9整除。【5】 ***24.用数学归纳法证明：若x+x-1=2cosθ，则x n+x-n=2cosnθ(n∈N*)【6】 ***25.用数学归纳法证明：f(n)=n3+3/2n2+1/2n-1为整数(n∈N*)【5】 ***26.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不共点，求证：n条直线 (1)被分割成n2段； (2)把平面分成1/2(n2+n+2)部分。【10】 ***27.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为1/2n(n-3)【5】 ***28.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分。【6】 ***29.在2与8之间插入n个正数a1，a2,…a n，使这n+2个正数依次成等差数列，又在2与8之间插入n个正数b1,b2,…b n，使这n+2个正数依次成等比数列；设A n=a1+… +a n,B n=b1·…·b n。 (1)求An及Bn的通项公式。 (2)求使f(n)=3A n+B n-10对任意自然数n都能被m整除的最大自然数m之值。【12】 横向拓展 ***1.已知函数f1(x)=x-1 x+1 ,f n+1(x)=f1[f n(x)](n∈N*),则f30(x)是( )。【3】 (A)x (B)x-1 x (C) 1 1-x (D) 1 - x ***2.已知1+2·3·32+4·33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为( )。【2】 (A)a=1/2,b=c=1/4 (B)a=b=c=1/4 (C)a=0,b=c=1/4 (D)不存在这样的a、b、c ***3.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为。【2】 ***4.用an表示n个篮球队单循环赛的场数，则a n+1=a n+ .【2】 ***5.在数列{}n a中，a1=-1,a2=1,a3=-2,若对一切n∈N*有a n·a n+1·a n+2·a n+3=a n+a n+1+a n+2+a n+3且a n+1·a n+2·a n+3≠1,则S4321= 【3】 ***6.如图11-1所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2，3,3，6,4，10，…记该数列前n项之和为S(n)，则S(16)= .【5】 ****7.观察下列式子： 32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,362+372+382+392+402=412+422 +432+442 ，…，则第n 个式子是 。【5】 ****8.设数列{}n a 满足a 1=0，a 2=1，对于n>2(n ∈N*)有a n =2a n-1-2a n-2，试用数学归纳法证明： a n =2n-12·sin n-14 л ****9.对于以下数的排列： 2,3，4 3,4，5,6，7， 4,5，6,7,8，9,10 …… (1)求前三项每行各项之和； (2)归纳出第n 行各项的和与n 的关系式； (3)用数学归纳法证明(2)中所得的关系式。【10】 ****10.在数列{}n a 中，a n >0,且S n =1/2(a n + n 1 a ) (1)求a 1、a 2、a 3； (2)猜测出a n 的关系式并用数学归纳法证明。【10】 ****11.在数列{}n a 中，若a 1=cotx,a n =a n-1cosx-sin(n-1)x ，试求通项a n 的表达式且证明。【8】 ****12.是否存在自然数m ，使f(n)=(2n+7)·3n +9对于任意自然数n ∈N*都能被m 整除？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。【8】 ****13.设f(n)= 111+++ n+3n+42n+2⋅⋅⋅是否存在一个最大的自然数m ，使不等式f(n)>m 72 对n ∈N*恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m 之值，并证明该不等式。 【10】 ****14.已知数列{}n b 是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。 (1)求数列{}n b 的通项bn (2)设数列{}n a 的通项a n =log a (1+ n 1 b )(其中a>0且a ≠1),记S n 是数列{}n a 的前n 项和，试比较S n 与a n+11 log b 3 的大小，并证明你的结论。(1998年全国高考试题)p.200【10】 ****15.设a,b ∈N ，两直线l1：y=b= b x a 与l2：y=b x a 的交点为P 1(x 1,y 1)且对n ≥2的自然数，两点(0，b)，(x n-1,0)的连续与直线y=b x a 交于点P n (x n ,y n )。 (1)求P 1、P 2的坐标； (2)猜想P n 并用数学归纳法证明。【10】 ****16.如图11-2，设抛物线 y=上的点与x 轴上的点构成正三角形 OP 1Q 1，Q 1P 2Q 2、Q 2P 3Q 3、…，其中Q n 在x 轴上，P n 在抛物线上，设 Q n-1P n Q n 的边长为a n . 求证：a 1+a 2+…+a n = n(n+1) 3 【10】 ****17.设a>2，给定数列{}n x ,其中x 1=a ，x n+1=2 n n x 2(x -1) (n=1,2,…),求证：x n >2且 n+1 n x x <1(n<1,2,3,…)【1.5】 ****18.设a i >0,i=1,2,…,n,且a 1·a 2·…·a n =1,求证：(1+a 1)(1+a 2)·…·(1+a n )≥2n .【10】 ****19.设数列{}n a 满足关系a 1=1，a n +a n-1=2n (n ≥2),数列{}n b 满足关系：b n +a n =(-1)n 1/3。证 明：{}n b 是等比数列。【10】 *****20.已知数列{}n a ，其中a n >0，满足a n (n=1,2,3,…) (1)求证：a n <1； (2)求证：当n ≥2时，a n ≤ 2 1 (n+2).【8】
