数学试题（理科）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）
1．设= （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列等于1的积分是（ ）
A． B． C． D．
3.用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 函数在点处的导数是 （ ）
(A) (B) (C) ( D)
6. 已知随机变量服从正态分布,则( )
(A) (B) (C) (D)
7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）
的停放方法共有
（A） 种 （B）种 （C）种 （D）种
8. 若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （ D）
9. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象可能是（ ）
10. 设是定义在R上的奇函数，,当时，有恒成立，则不等式
的解集是（ ）
（A）（，）∪（，） （B） （，）∪（，）
（C）（，）∪（，） （D） （，）∪（，）
11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．32种
12. 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 若，其中、，虚数单位，则_________。
14. 函数的单调增区间为_________________。
15. 定积分的值等于_________________。
16. 若内一点满足，则。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体内一点满足， 则 .
三、解答题：（本题共6个小题，共74分）
17. （本题共12分）
一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
18．（本题共12分）
已知展开式中的系数为11，求：（1）的系数的最小值；（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。
19．（本题共12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是；②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中）的表达式，并给出证明.
20. （本题共12分）
已知函数。（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：。
21.（本题共12分）
据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量（升）与行驶速度（千米∕时）之间有如下函数关系：。已知甲、乙两地相距100千米。（）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
22. （本题共14分）
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（3）当时，证明．
参(理)
一、选择题：CCAAD ACBAD CB
二、填空题：
13. 14. 15． % ) 16.
三解答题
17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，
，
,
所以X的概率分布为
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，
，
,
.
所以X的概率分布为
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |
18．解：（1），所以………………2分
………………4分
当时有最小值；………………5分
（2）由（1），所以
从而，………………8分
，………………10分
所以，即奇数次幂项的系数之和为………………12分
19.解：由题设条件知f(1)= ,=,
;
;
. ………………………………3分
(2)猜想：（其中）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）当时，，
所以此时猜想成立。 ………………………………6分
（2）假设时，成立
那么时，
……………9分
所以时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。
…………………………12分
20解：（1）求函数的导数：。曲线在点处的切线方程为：，即。……………4分
（2）如果有一条切线过点，则存在t，使。
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根。记，则。当变化时，的变化情况如下表：
| 0 | |||||
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
当时，解方程得，，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根。
综上，如果过可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，则即。
…………………………12分
21.（）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），
需蚝油（升）。
所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升…4分.
（）当汽车的行驶速度为千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升，依题意，得
其中，.………………………………………………………… 7分
.
令 ，得 .
因为当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以当时，取得最小值.
所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，
最少为升。……………………………………………………………… 12分
22.解：（1）因为，所以．……………………………1分
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．…………………………………………………………………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分
令，
则，……………………………………………………………………4分
令，
则，
所以函数在上单调递增．……………………………………………5分
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，………………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．…………………7分
所以．
故整数的最大值是3．…………………………………………………………………8分
（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………9分
所以当时，．……………………………………………………10分
即．
整理，得
．………………………………………11分
因为， 所以．……………………………12分
即．
即．…………………………………………………………13分
所以
．………………………………………………………………………14分
证明2：构造函数
，………………………………………9分
则．………………………………………………10分
因为，所以．
所以函数在上单调递增．………………………………11分
因为， 所以．
所以
．…12分
即．
即．
即．……………………………………………………………13分
所以．………………………………………………………………14分下载本文
