学      院:    数学与统计学院

姓     名：      范贤广

学     号：     1200901668    

任课教师：        熊松韫

课题名称（中文）：一类Boussinesq方程的同宿分岔

课题名称（英文）：The Homoclinic Bifurcation for a Class of Boussinesq Equation

分析选题意义：非线性发展方程被广泛用来描述科学领域内各种复杂的非线性现象。目前，探索发现求解非线性发展方程精确解的方法是数学物理学科研究中的主要课题。人们已经发现了许多求解方法，如对称法、齐次平衡法、辅助函数法、Hirota方法等。用上述方法，人们获得了许多非线性发展方程的精确解，如行波解、孤波解、同宿轨解。但是，对非线性发展方程解的结构问题，却研究甚少，尤其在无穷维同宿结构方面，至今仍然没有取得根本性的成果。因此，研究非线性发展方程解的结构问题是一项有价值的工作。本文研究了一类Boussinesq方程解的结构问题——同宿分岔。首先，通过线性稳定性分析，说明解存在分岔点。其次,利用Hirota方法求出了方程的孤立子解和同宿轨解，然后在此基础上讨论了解的同宿分岔现象，通过研究解的同宿分岔，从而把握解的结构。

本课题通过对现阶段关于Boussinesq方程的解得研究，利用中国知网、维普等手段，查阅相关文献，了解课题研究的现状和研究前景，制定相应的研究计划。

确定检索词（中文）：同宿轨；孤立子；Boussinesq方程；

确定检索词（英文）：Homoclinic orbit; solution; Boussinesq equation; 

检索式：（篇名=孤立子）+（篇名=Boussinesq方程 ）+（篇名=孤立子 ）

或者为（全字段=solution for Boussinesq Equation ）

或者（全字段=Homoclinic orbit for Boussinesq Equation ）

检索操作

中文数据库：

1、中国知识资源总库http://dlib.cnki.net/kns50/

年限：1981-2010

查找范围：理工A数学物理力学天地生

检索式：（篇名=孤立子）+（篇名=Boussinesq方程 ）

检索途径： 精确检索全部期刊

检出篇数：4篇

由于检索无结果，放宽条件，将匹配一栏改为模糊，得到如下结果：

文献资料：

2、万方数据知识服务平台 （http://g.wanfangdata.com.cn）    

年限：1982-2010

专业：数理科学和化学

检索式：（篇名=Boussinesq方程）+（篇名=孤立子）

检索途径： 精确检索全部期刊

检出篇数：8篇

3、《中文科技期刊数据库》（维普）  http://www.cqvip.com/

年限：19-2010

检索式：（篇名=Boussinesq方程）+（篇名=孤立子）

检索篇数：6篇

4、超星数字图书馆（ www.duxiudsr.com ）

检索式：（篇名=孤立子）+（篇名=Boussinesq方程）+（篇名=同宿轨）

检出结果：6篇

外文数据库：

1、John Wiley全文期刊（http://www.interscience.wiley.com）

检索式：（全字段=solution for Boussinesq Equation ）

检出篇数：31条

检索式（全字段=The Homoclinic Bifurcation for a Class of Boussinesq Equation）

检索不出结果，把检索式调整为（全字段= Homoclinic Bifurcation Boussinesq Equation），检索无结果，把检索式调整为（全字段=solution for Boussinesq Equation ），检索出31条。

2、Proquest数据库（http://proquest.umi.com/login）

检索式（全字段=solution for a Class of Boussinesq Equation）

检索篇数：126篇

3、Nature电子期刊（http://www.nature.com）

检索式（全字段= Homoclinic Bifurcation for Boussinesq Equation）

检索篇数：1篇

学术谷歌：（www.google.cn）

纸质资源：

[1]钱天虹,刘中飞,韩家骅.具5次非线性项的波方程的解析解[J].安徽大学学报，2004，（6）:37-41.

[2]王伟,吴士明,乌恩宝音.一般非线性Schrödinger方程的显式精确孤波解[J].应用数学学报,2004,(2):87-91.

[3]Zhengde Dai,Zitian Li,Zhengjiang Liu.Eaxact cross kink-wave solutions and resonance for the Jimbo-Wiwa equation[J].Physica A,2007,384:285-290.

[4]庞小峰.孤立子物理学[M].成都:四川科学技术出版社,2008:28.

[5]DEIFI,TOMEI,TYUBONITZ E. Inverse scattering and the Boussinesq equation,Commun[J].pure Appl Math,1982,35:567—628.

[6]BONA J L,SACHS R L.Globa Existence of Smooth Solution and Solitary Waves for a Generalized Boussinesq Equation [J].Commun.Math.Phys.,1988,118(1):15-29.

[7]刘式达,刘式适,叶其孝.非线性演化方程的显式行波解[J].数学的实践与认识,1998,28(4):2—300.

[8] LIU S K,FU Z T,LIU S D,etal.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solution of nonlinear wave equation[J].phys Lett,2001,A2:69—74.

[9] DAI Zhengde,HUANG Jian,JIANG Mu-rong,Homo-clinic orbits and periodic soliton for Boussinesq equation with even constraint [J].chaos,solitons and Fractals,2005,26(4):11—1194.

[10] 李正彪,戴正德.经典Boussinesq 方程的新同宿轨解和孤立子解[J].云南大学学报,2006,28(4):285—288.

本课题国内外研究现状：在19世纪70年代，法国科学家Joseph Boussinesq（1842--1929）为描述小振幅的水面长波运动提出了一些模型方程（后来称为Boussinesq方程）.由于Boussinesq方程可以用来描述两个相反方向传播的Kdv孤波，也可以用来描述一维非线性晶格的振动,因此, Boussinesq方程的研究受到许多学者的关注.1982年，DEIFI等人介绍了逆散射现象与Boussinesq方程的建立.1998年，BONA J L等人研究了广义Boussinesq的光滑解和孤立波解；刘式适等获得了Boussinesq方程的显式行波解.2001年，LIU S K等人研究了Boussinesq方程的周期波解.2005年，戴正德等人研究了Boussinesq方程的同宿轨解和周期孤立子解.2006年，李正彪、戴正德进一步研究了Boussinesq方程的新同宿轨和孤立子解. 

分析：论文与国内外许多学者就对Boussinesq方程进行的研究不同.他们所做的工作主要集中在两个方面：一是寻找求解Boussinesq方程精确解的新方法；二是给出各种类型的精确解，如行波解、孤波解，同宿轨解等.而本文，在前人的基础上，用hirota方法研究解的结构问题。本文是基于Hirota方法得到的精确解进行讨论的，得到的精确解非常有限，因而对解的结构的把握只是冰山一角.采用多种方法对Boussinesq方程进行研究，获得类型多样的精确解，然后从多个角度研究解的结构问题，从而对解的结构有一个整体的认识.下载本文