C ．a ≥lD ．a >1 11．已知在△ABC 中，向量AB
与AC
满足0=⋅BC
2
1=， 则△ABC 为
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形 12．已知f ′（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，
xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为 ．
14．函数2
2
)32(log +
-=x y a 的图像恒过定点P ，P 在幂函数y =f (x )的图像上， 则f (9)=_____________
15．若2
1
)23sin()sin(=
+++x x ππ，则sin 2x = ． 16．关于x 的方程044)4(2
22=+---k x x ，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有6个不同的实根; ⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔 底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得
BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，并在点C 测
得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 18．（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*
12()n n a S n +=∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2， D 为CC 1中点。
（1）求证：AB 1⊥面A 1BD ； （2）求二面角A －A 1D －B 的大小； （3）求点C 到平面A 1BD 的距离； 20.（本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=
的距离为
2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；
(2)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；
(3)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.
21．（本小题满分12分）
设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(1) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；
(2) 当1,12k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，BC AB =,AD 是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径.
（1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅;
（2）过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若2=AF ,
4=CF ,求AC 的长.
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆1C 的极坐标方程为θρsin 4=，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈ππθ,2
（1）求半圆1C 的参数方程；
（2）设动点A 在半圆1C 上，动线段OA 的中点M 的轨迹为2C ，点D 在2C 上，2C 在点D 处的切线与直线23+=
x y 平行，求点D 的直角坐标.
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()|||1|a x x x f ++-=，()32
1
+=
x x g （1）当2-=a 时，求不等式()()x g x f <的解集；
（2）若1->a ，且当[]1,a x -∈时，不等式()()x g x f ≤有解，求实数a 的取值范围.
银川一中2016届高三年级第五次月考数学（理）答案
13. 43or 14. 3 15. 4
- 16. ①②③⑤
17.解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得
sin sin BC CD
BDC CBD =∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠==∠+·．
在ABC Rt △中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=+·．
18.解：（Ⅰ）12n n a S += ，
12n n n S S S +∴-=，13n n
S
S +∴=．
又111S a == ，
∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．
当2n ≥时，2
1223
(2)n n n a S n --== ≥，
2
1132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩
， ，
，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ， 当1n =时，11T =；
当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++ ，…………①
121
33436323n n T n -=++++ ，………………………②
-①②得：1
2
2
1
2242(333
)23
n n n T n ---=-+++++-
213(13)
222313
n n n ---=+--
11(12)3n n -=-+- ．
1113(2)22n n T n n -⎛⎫
∴=+- ⎪⎝⎭
≥．
又111T a == 也满足上式，1*
113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭
N ．
19.解答：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．
ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面1
1BCC B ，
AO ∴⊥平面11BCC B ．
连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为
1BC CC
，的中点， 1B O BD ∴⊥，
1AB BD ∴⊥．
在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于
F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．
1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．
在1AA D △中，由等面积法可求得AF =
，又112AG AB == ，
sin AG AFG AF ∴=
==
∠． 所以二面角1A A D B --的正弦值10． （Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ==
=∴=△1BCD S =△．
在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得
111
33BCD A BD S S d = △△，12
BCD A BD d S ∴==△△． ∴点C 到平面1A BD 的距离为
2
．
解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面AD ∴⊥平面11BCC B ． 取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA
为x y z ，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(100)B ，，(110)D -，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，
， 1(12AB ∴= ，(210)BD =-
，，1(12BA =-．
12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=
，
A B C
D
1A
1C
1B O F
1AB BD ∴ ⊥，11AB BA
⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，n
．(11
AD =-
，1(020)AA = ，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，
100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，n
n 020x y y ⎧
-+=⎪∴⎨=⎪
⎩，
，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．
令1z =
得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴
为平面1A
BD 的法向量． cos ，111
AB AB AB >==
=
n n ∴二面角1A A D B --的余弦值为4
6
．
（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD
法向量，1(2
00)(12BC AB =-=
，，． ∴点C 到平面1A BD
的距离11
BC AB d AB ===
． 20．(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,
2
=
结合0c >, 解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.
(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得1
2y x '=
设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44
x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,
所以切线PA 的方程为()1
112x y y x x -=-,即211122
x x y x y =-+,即11220x x y y --=，同理
可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程002
220
4x x y y x y
--=⎧⎨
=⎩,消去x 整理得()
222
00020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()2
2
1212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+
又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ⎛
⎫+-+=++=++ ⎪⎝
⎭
所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为9
2
.
21．(Ⅰ) 当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,
,f x f x '的变化如下表:
右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,
令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()
()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；
所以()(){}(){}
3
max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---
令()()311k h k k e k =--+,则()()
3k
h k k e k '=-,
令()3k
k e k ϕ=-,则()330k
k e e ϕ'=-<-<
所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭
所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0k ϕ>,
当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,
所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.
因为17028h ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
,()10h =,
所以()0h k ≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k
M k e k =--.
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