第1章 极限与连续
1.1 考点归纳
一、数列极限
1．定义
设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．
（1）无穷小数列：；
（2）无穷大数列：；
（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；
（4）收敛⇔的任何子列都收敛．
2．性质
（1）唯一性
收敛数列{an}只有一个极限．
（2）有界性
若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．
（3）保号性
若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．
（4）保不等式性
收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有an≤bn，则
（5）夹逼性
设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有
则{cn}收敛，且
3．四则运算
{an}，{bn}都收敛，则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（bn≠0及）．
4．单调有界定理
单调且有界的数列一定存在极限．
5．柯西收敛准则
{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有
二、函数
1．函数三要素
定义域 值域 对应法则
2．性质
（1）有界性
若∃正数M，对∀x∈D有
则称f在D上有界．
（2）单调性
①单调递增 对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；
②单调递减 对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．
（3）奇偶性
D关于原点对称
①奇函数 f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；
②偶函数 f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．
（4）周期性
若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．
3．分类
（1）复合函数
形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．
（2）反函数
设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．
注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．
三、函数极限
1．概念
（1）函数f在点x0的极限
f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x－x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作
（2）函数f在x趋于∞时的极限
f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N时有
则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作
（3）左极限
f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有
则称A为f在点x0的左极限，记为
（4）右极限
f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有
就称A为f在点x0的右极限，记为
（5）．
2．性质
（1）唯一性；
（2）有界性；
（3）保号性；
（4）保不等式性；
（5）夹逼性．
注：函数极限性质同数列极限性质类似．
3．归结原则
f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．
4．单调有界定理
f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．
5．柯西准则
f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有
6．两个重要极限
7．无穷小量与无穷大量
（1）无穷小
①时的无穷小，得；
②时的无穷小，得．
（2）无穷小的性质
若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．
（3）无穷大
f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．
8．相关无穷小的定义
（1）高、低阶无穷小
若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作
（2）同阶无穷小
f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足
则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．
（3）等价无穷小
若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作
注：常用的等价无穷小
9．渐近线
设曲线y＝f（x）
（1）斜渐近线y＝kx＋b
（2）垂直渐近线
若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．
（3）水平渐近线
若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．
四、函数的连续性
1．概念
（1）连续的定义
f（x）定义在U（x0）上，若
则f在点x0连续．
2．性质
（1）有界性；
（2）保号性；
（3）四则运算．
3．间断点
（1）定义
函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（2）类型
①第一类间断点
a．可去间断点 在间断点处函数左右极限相等．
b．跳跃间断点 在间断点处函数左右极限不相等．
②第二类间断点
a．无穷间断点 在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．
b．振荡间断点 在间断点处函数值在一个区间变化．
4．定理
（1）最值定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．
（2）有界性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．
（3）介值性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．
（4）根的存在定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．
5．一致连续
（1）定义
f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有
则称f在I上一致连续．
（2）一致连续与连续的关系
如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．
（3）一致连续性定理
f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．
