第I卷（选择题  共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．复数的值是（    ）

A．4i                   B．－4i                    C．4               D．－4 

2．已知命题：，命题： 。

若命题是真命题，则实数的取值范围为（    ）

   A．      B．    C．         D．

3．已知直线是曲线在处的切线，则的值为（    ）

A．                  B．                  C．            D．

4．设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余． 记作，已知，则b的值可以是 （    ）

A． 1012                 B．2009                       C．3003              D．6001

5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（    ）

A．          B．           

C．         D．

6．函数的图象如下图，则（    ）

A．

B．

C．        

D．

7．

如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （       ）

A．                 　 B．            

C．                　  D．

8．设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为 （    ）

A．           B．            C．                D． 

9．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（    ）

A．               B．              C．                D．不存在

10．设定义域为R的函数满足下列条件：①对任意；②对任意，当时，有则下列不等式不一定成立的是（    ）

    A．        B．

    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案写在答题卡的相应位置上。

11．求曲线所围成图形的面积___________________。

12．给出一个算法：

根据以上算法，可求得的值为            ．

13．某单位购买6张北京奥运会某场比赛门票，其中有2张甲票，其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为           ．

14. 函数的图象在上恰好有两个点的纵坐标为1，则实数的取值范围是         ． 

15．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是          ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本题满分13分）

在△中，已知·=9，sin=cossin，面积S＝6．

（Ⅰ）求△的三边的长；

（Ⅱ）设是△（含边界）内一点，到三边，，的距离分别为x，y和z，求x＋y＋z的取值范围．

17．（本题满分13分）

某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：

（Ⅰ）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；

（Ⅱ）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。

18．（本题满分13分）

如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，

∠A1AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；

（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

19．（本题满分13分） 

已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．

（Ⅰ）求动点所在的曲线方程；

（Ⅱ）若存在点，使，试求的取值范围；

（Ⅲ）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．

20. （本题满分14分）

已知函数,不等式对恒成立,数列满足:, , 数列满足:;

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）设数列的前和为,前的积为,求的值.

21．选考题：从以下3题中选择2题做答，每题7分，若3题全做，则按前2题给分。

(1)（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）

在极坐标系下，已知圆O：和直线，

（Ⅰ）求圆O和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.

(3)（选修4—5  不等式证明选讲）（本题满分7分）

对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

参 考 答 案

一、选择题：

1-10  CABBC   ADAAC

二、填空题：

11．    12．－8     13. 16     14.      15．6

三、解答题：

16.解：设．

（Ⅰ），，，， 

，由，用余弦定理得  …………7分

（Ⅱ）

设，由线性规划得．

∴．…………13分

17.解：（Ⅰ）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，

则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：；    …………2分

获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，

其概率为：； …………5分

设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：

P（A）=；                       …………6分 

（Ⅱ）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,

…………7分       

则：Eξ=；    ………12分

由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。       ………13分

18．解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，

∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3  

∴AO2+A1O2=A12

∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

所以A1O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），

D（－，0，0），A1（0，0，）                         ………2分

（Ⅰ）由于,,

则  ∴BD⊥AA1                  ………4分

（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C  ∴平面AA1C1C的法向量

设⊥平面AA1D,则

得到                       ………6分

所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是                ………8分

（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1

设,则

得                    ………9分

设,则设

得到                  ………10分

又因为平面DA1C1  ,则·

即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP                        ………13分

法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°∴AO=AA1·cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C

过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE 

则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角                  ………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2   ∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=  DE=

∴cos∠DEO=∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是   ………9分

（Ⅲ）存在这样的点P,连接B1C，因为A1B1ABDC

∴四边形A1B1CD为平行四边形。∴A1D//B1C

在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP                       ………11分

因B1BCC1，                                                   ………12分

∴BB1CP    ∴四边形BB1CP为平行四边形

则BP//B1C     ∴BP//A1D   ∴BP//平面DA1C1                      ………13分

19．解：（Ⅰ）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

若，即，动点所在的曲线方程为.

………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要存在点，使，  则以为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点。故，所以

所以的取值范围是.                             …………8分

（Ⅲ）当时，其曲线方程为椭圆

由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，

的方程为

解方程组得，

同理可求得，                            …………10分

面积=        …………11分

令则

令

所以，即                                 …………13分

20.解：（1）方程有两实根或           …………1分

由题意知:当时,，

又∵          ∴                         …………3分

∴是的一个零点，同理，也是的一个零点，        …………4分

∴，即，，

显然，对恒成立。

∴，                                           …………6分

（Ⅱ）∵，，

∴，              …………7分

∴，，， 

∴，                                     …………9分

  …………10分

又∵ …………12分

∴

                                                          …………13分

∴，∴为定值。           …………14分

21.解： (1)（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

（Ⅰ）由已知得

变化T的矩阵是                                  …………3分

（Ⅱ）由，得：，

代入方程，得：

∴圆C：在变化T的作用下变成了椭圆   …………7分

(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）

解：（Ⅰ）圆O：，即

圆O的直角坐标方程为：，即  …………3分

直线，即

则直线的直角坐标方程为：，即         …………5分

（Ⅱ）由得

故直线与圆O公共点的一个极坐标为                  …………7分

(3)（选修4—5  不等式证明选讲）（本题满分7分）

解：由题知，恒成立，

故不大于的最小值             …………3分

∵，当且仅当时取等号

∴的最小值等于2.                           …………6分 

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得 ………7分下载本文