实验目的：

掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。

实验函数:

实验内容：

（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；

（2）计算各插值节点的弯矩值；

（3）在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。

实验4.5 三次样条差值函数的收敛性

实验目的：

多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：

按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：

（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；

（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一段数据如下：

拉格朗日插值：

其中是拉格朗日基函数，其表达式为：

牛顿插值：

其中

三样条插值：

所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a式中Mi=.

因此，只要确定了Mi的值，就确定了整个表达式，Mi的计算方法如下：

令

则Mi满足如下n-1个方程：

常用的边界条件有如下几类：

（1）给定区间两端点的斜率m0,mn,即

（2）给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即

（3）假设y=f(x)是以b-a为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S（x）也为周期函数，对S（x）加上周期条件

对于第一类边界条件有

对于第二类边界条件有

其中

那么解就可以为 

对于第三类边界条件，，由此推得

，其中

，那么解就可以为：

程序代码：

1拉格朗日插值函数

Lang.m

function f=lang(X,Y,xi)

%X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%f求得的拉格朗日插值多项式的值

    n=length(X);

    f=0;

    for i=1:n

        l=1;

        for j=1:i-1

            l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));

        end;

        for j=i+1:n

            l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));

        end;%拉格朗日基函数

        f=f+l*Y(i);

    end

   fprintf('%d\\n',f)

return

2 牛顿插值函数

newton.m

function f=newton(X,Y,xi)

%X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%f求得的拉格朗日插值多项式的值

n=length(X);

newt=[X',Y'];

%计算差商表

for j=2:n

    for i=n:-1:1

        if i>=j

        Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));

        else Y(i)=0;

        end

    end

    newt=[newt,Y'];

end

   %计算牛顿插值

   f=newt(1,2);

   for i=2:n

       z=1;

       for k=1:i-1

           z=(xi-X(k))*z;

       end

       f=f+newt(i-1,i)*z;

   end

  fprintf('%d\\n',f)

  return

3三次样条插值第一类边界条件

Threch.m

function S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi) 

% X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%S求得的三次样条插值函数的值

 %dy0左端点处的一阶导数

% dyn右端点处的一阶导数

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:n%求函数的一阶差商 

h(i)=X(i+1)-X(i); 

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end 

for i=2:n%求函数的二阶差商 

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end 

d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1); 

d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%¸赋初值

A=zeros(n+1,n+1); 

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1 

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end 

A(1,2)=1;

A(n+1,n)=1;

for i=1:n+1 

A(i,i)=2;

end 

for i=2:n 

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\\d;

syms x;

for i=1:n 

Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... 

+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);

digits(4); 

Sx(i)=vpa(Sx(i));%三样条插值函数表达式

end 

for i=1:n 

disp('S(x)=');

fprintf('%s   (%d,%d)\\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));

end 

 for i=1:n

     if xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)

           S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3; 

     end

  end

disp('xi  S');

fprintf('%d,%d\\n',xi,S);

return 

4 三次样条插值第二类边界条件

Threch2.m

function [Sx]=Threch2(X,Y,d2y0,d2yn,xi) 

X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%S求得的三次样条插值函数的值

 %d2y0左端点处的二阶导数

% d2yn右端点处的二阶导数

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:n%求一阶差商

h(i)=X(i+1)-X(i); 

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end 

for i=2:n%求二阶差商

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end 

d(1)=2*d2y0; 

d(n+1)=2*d2yn;%赋初值 

A=zeros(n+1,n+1); 

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1 

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end 

A(1,2)=0;

A(n+1,n)=0;

for i=1:n+1 

A(i,i)=2;

end 

for i=2:n 

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\\d;

syms x;

for i=1:n 

Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... 

+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);

digits(4); 

Sx(i)=vpa(Sx(i));

end 

for i=1:n 

disp('S(x)=');

fprintf('%s  (%d,%d)\\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));

end 

for i=1:n

     if xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)

           S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3; 

     end

  end

disp('xi  S');

fprintf('%d,%d\\n',xi,S);

return

5插值节点处的插值结果

main3.m

clear

clc

X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];

Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];

xi=0.13;

%xi=0.36;

disp('xi=0.13');

%disp('xi=0.36');

disp('拉格朗日插值结果');

lang(X,Y,xi);

disp('牛顿插值结果');

newton(X,Y,xi);

disp('三次样条第一类边界条件插值结果');

Threch1(X,Y,0.40,0.36,xi);%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数

disp('三次样条第二类边界条件插值结果');

Threch2(X,Y,0,-0.136,xi);%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数

6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上

main2.m

clear

clc

X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];

Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];

a=linspace(0,0.4,21);

NUM=21;

L=zeros(1,NUM);

N=zeros(1,NUM);

S=zeros(1,NUM);

B=zeros(1,NUM);

for i=1:NUM

    xi=a(i);

    L(i)=lang(X,Y,xi);% 拉格朗日插值

    N(i)=newton(X,Y,xi);% 牛顿插值

    B(i)=normcdf(xi,0,1);%原函数

    S(i)=Threch1(X,Y,0.4,0.36,xi);%三次样条函数第一类边界条件

end

plot(a,B,'--r');

hold on;

plot(a,L,'b');

hold on;

plot(a,N,'r');

hold on;

plot(a,S,'r+');

hold on;

legend('原函数','拉格朗日插值','牛顿插值','三次样条插值',2);

hold off

7增加插值节点观察误差变化

main4.m

clear;

clc;

N=5;

%4.5第一问

Ini=zeros(1,1001);

a=linspace(-1,1,1001);

Ini=1./(1+25*a.^2);

for i=1:3   %节点数量变化次数

    N=2*N;

    t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点

    ft=1./(1+25*t.^2);%插值节点函数值

    val=linspace(-1,1,101);

    for j=1:101

    L(j)=lang(t,ft,val(j));

    S(j)=Threch1(t,ft,0.074,-0.074,val(j));%三样条第一类边界条件插值

    end

plot(a,Ini,'k')%原函数图象

hold on

plot(val,L,'r')%拉格朗日插值函数图像

hold on

plot(val,S,'b')%三次样条插值函数图像

str=sprintf('插值节点为%d时的插值效果',N);

title(str); 

legend('原函数','拉格朗日插值','三次样条插值');%显示图例

hold off  

figure

end

8车门曲线

main5.m

clear

clc

X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.,3.06,3.19,3.29];

dy0=0.8;

dyn=0.2;

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:nh(i)=X(i+1)-X(i); 

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end 

for i=2:nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end 

d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1); 

d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1); A=zeros(n+1,n+1); 

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1 

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end 

A(1,2)=1;

A(n+1,n)=1;

for i=1:n+1 

A(i,i)=2;

end 

for i=2:n 

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\\d;

x=zeros(1,n);

S=zeros(1,n);

for i=1:n 

x(i)=X(i)+0.5; 

S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3; 

end 

plot(X,Y,'k'); hold on;

plot(x,S,'o');

title('三次样条插值效果图');

legend('已知插值节点','三次样条插值');

 hold off  

实验结果：

4.3

1计算插值节点处的函数值

xi=0.13时

Xi=0.36时

2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上

 4.5.1增加插值节点观察误差变化

从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果

4.5.2 车门曲线

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