¤知识要点：

1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.

¤例题精讲：

【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）.

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4

B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4

C.（x －1）2＋（y－1）2＝4

D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

【例2】求下列各圆的方程：

（1）过点，圆心在；

（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点

【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.

【例4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.

§4.1.1 圆的标准方程

※基础达标

1．圆的圆心和半径分别是（）.

A．，1 B．，3 C．， D．，

2．已知直线l的方程为，则圆上的点到直线l的距离的最小值是（）.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

3．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（）.

A． B. C. D.

4．（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）.

A. B. C. D.

5．已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（）.

A. B. 8 C. D. 10

6．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 .

7．（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是

.

※能力提高

8．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程. 9．求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程.

※探究创新

10．（03年京春文）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.

§4.1.2 圆的一般方程¤知识要点：

1. 圆的一般方程：方程（）表示圆心是，半径长为的圆.

2. 轨迹方程是指点动点M的坐标满足的关系式.

¤例题精讲：

【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.

【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （教材P133例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）

【例4】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.

§4.1.2 圆的一般方程

※基础达标

1．方程表示圆的条件是（）.

A. B. C. D.

2．M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）.

A. B. C. D.

3．（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（）.

A . 2 B. C. 1 D.

4．（1999全国文）曲线x2+y2+2x－2y=0关于（）.

A. 直线x=轴对称

B. 直线y=－x轴对称

C. 点（－2，）中心对称

D. 点（－，0）中心对称

5．若实数满足，则的最大值是（）.

A. B. C. D.

6．已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是 .

7．（1997上海卷）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 . .

※能力提高

8．求经过三点、、的圆的方程.9．一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.

※探究创新

10．如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线AT，M

为AT上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P 的轨迹方程.§4.2.1 直线与圆的位置关系

¤知识要点：

1. 直线与圆的位置关系及其判定：方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.

（1）相交；（2）相切；（3）相离.

2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式

¤例题精讲：

【例1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x ＝0相切，则a的值为 .

【例2】求直线被圆所截得的弦长.

【例3】（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y 轴上的截距是 .

【例4】设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆的方程.

§4.2.1 直线与圆的位置关系

※基础达标

1．直线4x－3y－2＝0与圆的位置关系是（）.

A．相交　　　B．相切 C．相离　　　D．以上都不对

2．（08年全国卷Ⅰ. 文10）若直线与圆有公共点，则（）.

A． B． C． D．

3．平行于直线2x－y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）.

A．2x－y+5=0　　　　　　　　　　　　B．2x－y－5=0

C．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0　　　　　 D．2x－y+5=0或2x－y－5=0

4．直线x=2被圆所截弦长等于, 则a的值为（）.A. －1或－3

B.或

C. 1或3

D.

5．（04年全国卷Ⅲ. 文5理4）圆在点处的切线方程为（）.

A.　 B. C. 　D.

6．已知圆C：及直线：，则直线被C截得的弦长为 .

7．（03年上海春）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+（y－a）2=1相切，则a=

※能力提高

8．求直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角.

9．一直线过点，被圆截得的弦长为8, 求

此弦所在直线方程.

※探究创新

10．（1997全国文）已知足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为.

求该圆的方程.

§4.2.2 圆与圆的位置关系

¤知识要点：

两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为，半径分别为，则：

（1）两圆相交；（2）两圆外切；

（3）两圆内切；

¤例题精讲：

【例1】已知圆：①，圆：②

（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.

【例2】求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程.

【例3】（04年全国卷Ⅱ.文理4）已知圆C与圆关于直线对称，则

圆C的方程为

A. B. C. D.

【例4】求圆与圆的公共弦的长. （教材P144习题A组9题）

§4.2.2 圆与圆的位置关系

※基础达标

1．圆与圆外切，则m的值为（）.

A. 2

B. －5

C. 2或－5

D. 不确定

2．（1995全国文）圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是（）.

A.相离

B.外切

C.相交

D.内切

3．（04年湖北卷.文4）两个圆与的公切线有且仅有（）.

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．求与圆同心，且与直线相切的圆的方程.

5．圆和的公共弦所在直线方程为（）.

A. B. C. D.

6．两圆：x2 + y2 + 6 x + 4y = 0及x2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 .

7．（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是 .

※能力提高

8．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为（）.

A. B. C. D.

9．求圆关于直线的对称圆方程.

※探究创新

10．如图，求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等.

§4.2.3 直线与圆的方程的应用¤知识要点：

坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题

¤例题精讲：【例1】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费

是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．

【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.

【例3】实数满足，求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.

§4.2.3 直线与圆的方程的应用※基础达标

1．实数x，y满足方程，则的最小值为（）.

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

2．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)的位置是（）.

A.在圆上

B.在圆外

C.在圆内

D.都有可能

3．如果实数满足，则的最大值为（）.

A. B. C. D.

4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（）.

A. 1.4米

B. 3.0米

C. 3.6米

D. 4.5米

5．（2000全国）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（）.

A. y=x

B. y=－x

C. y=x

D. y=－x

6．（04年全国卷Ⅰ. 文15理14）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .

7．已知直线与曲线有两个公共点，则c的取值范围 .

※能力提高

8．已知实数满足，求的值域.

9．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于

△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC ＝8，BC＝6. （1）求△ABC中AB边上的高h；

（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

※探究创新

10．船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m，拱圈内水面宽22m．船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m，故通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身．试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？§4.3.1 空间直角坐标系

¤知识要点：

1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.

2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.

4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零

¤例题精讲：

【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,　4).

【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程.

§4.3.1 空间直角坐标系

※基础达标

1．点在空间直角坐标系的位置是（）.

A. y轴上

B. 平面上

C. 平面上

D. 平面上

2．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标一定是；②在平面上的点的坐标一定可写成；③在z轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是. 其中正确说法的序号依次是（）.

A. ①②

B. ②③

C. ①④

D. ②③④

3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点●代表钠原子，黑点·代表氯原子. 建立空间直角坐标系O—xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（）.

A． B． C． D．

4．点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（）.

A. 、

B. 、

C. 、

D. 、

5．点分别在面（）.

A. 上

B. 上

C. 上

D. 上

6．点关于原点对称的点的坐标是 .

7．连接平面上两点、的线段的中点M的坐标为，那么，已知空间

中两点、，线段的中点M的坐标为 .

※能力提高8．如图，点，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，

∠BCD=90°，∠ADB=30°，E、F分别是AC、AD的中点. 求D、C、E、F 这四点的坐标.

9．在空间直角坐标系中，给定点，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.

※探究创新

10．在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3,0)且垂直于坐标平面xOy 的直线方程

§4.3.2 空间两点间的距离公式¤知识要点：

1. 空间两点、间的距离公式：.

2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案.

3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).

¤例题精讲：

【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.

【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离.

【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设

PA=P B=PC=a，求点P到平面ABC的距离.

§4.3.2 空间两点间的距离公式※基础达标

1．点到的距离相等，则x的值为（）.

A. B. 1 C. D. 2

2．设点B是点关于xOy面的对称点，则=（）

A. 10

B.

C.

D. 38

3．到点，的距离相等的点的坐标满足（）.

A. B. C. D.

4．已知，在y轴上求一点B，使，则点B的坐标为（）.

A. B. 或

C. D. 或

5．已知三角形ABC的顶点A（2，2，0），B（0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是（）.

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

6．在空间直角坐标系下，点满足，则动点P表示的空间几何体的表面积是 .

7．点到x轴的距离为 .

※能力提高

8．（1）已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；（2）求点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标.9．已知、，在平面内的点M到A点与B点等距离，求点M的轨迹.※探究创新

10．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？第四章圆与方程复习¤例题精讲：

【例1】设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值.

【例2】（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .

【例3】长为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.

【例4】已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：

（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

第四章圆与方程复习

※基础达标

1．（06年江苏卷）圆的切线方程中有一个是（）.

A. x－y＝0

B. x＋y＝0

C. x＝0

D. y＝0

2．（04年天津卷）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）.

A． B． C． D．

3．（06年陕西卷）设直线过点(0,a)，其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）.

A.±

B.±2 B.± D.±4.

4．（06年重庆卷）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）.

A. B.

C. D.5．（06年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（）.

A．36 　 B. 18 　 C. 　　D.

6．（07年湖南.文理11）圆心为且与直线相切的圆的方程 .

7．（06年全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ .

※能力提高

8．一圆的圆心在直线x-y-1=0上, 与直线4x+3y+14=0相切, 在

3x+4y+10=0上截得弦长为6, 求圆的方程.

9．已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

※探究创新

10．某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘

米的圆形（如图所示的阴影部分）．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒（接缝用料忽略不计）．问：（1）包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)

（2）画出你设计的剪裁图．下载本文