数学Ⅰ

注  意  事  项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求   

1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。  

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．已知集合，．若，则   ▲   ．

2．已知复数（是虚数单位），则的虚部是   ▲   ．

3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为   ▲   ．

4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为   ▲   ．

5．执行如图所示算法的伪代码，则输出的值为   ▲   ．

6．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为   ▲   ．

7．已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为   ▲   ．

8．在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为   ▲   ．

9．已知实数,满足条件 则的最大值为   ▲   ．

10．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象所有交点的横坐标之和为   ▲   ．

11．已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为   ▲   ．

12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是   ▲   ．

13．如图，在△中，已知，，，

，，则   ▲   ．

14．已知函数．若存在实数，，

使得的解集恰为，则的取值范围是   ▲   ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

在△中，已知，向量，，且．

（1）求的值；

（2）若点在边上，且，，求△的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，在五面体中，已知平面，，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

17．（本小题满分14分）

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）

（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

18．（本小题满分16分）

如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．

（i）求的最大值；

（ii）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

19．（本小题满分16分）

已知数列，满足，，，．

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）当时，求函数在区间上的最小值；

（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由．

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数学Ⅱ（附加题）

注  意  事  项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求   

1.本试卷共2页，均为非选择题(第21题～第23题)。本试卷满分40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵（，为实数）．若矩阵属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵的逆矩阵．

C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为，点为圆上异于极点的动点，求弦中点的轨迹的极坐标方程．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知，，，且．求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱中，已知，，．

（1）求异面直线与夹角的余弦值；

（2）求二面角平面角的余弦值．

23．（本小题满分10分）

在数列中，已知，，(，)．

（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，

并给出证明；

（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．

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数学Ⅰ参与评分标准

二、解答题

15．（1）由题意知，           ………………………………2分

又，，所以，  ………………………4分

即，即，   ……………………………6分

又，所以，所以，即． …………7分

（2）设，由，得，

由（1）知，所以，，

在△中，由余弦定理，得，     ……10分

解得，所以，                       ………………………12分

所以． …………………………14分

16．（1）因为，平面，平面，

所以平面，  ………………………………3分

又平面，平面平面，

所以．          ………………………………6分

（2）在平面内作于点，

    因为平面，平面，所以，

    又，平面，，

所以平面，

所以是三棱锥的高．      ………………9分

在直角三角形中，，，所以，

因为平面，平面，所以，

又由（1）知，，且，所以，所以，……12分

所以三棱锥的体积．  ……14分

17．（1）由题意可知，

  …………………………4分

（2）考虑函数

当时，，函数在上单调减．

所以当时，取得极大值，也是最大值，

又是整数，，，所以当时，有最大值．……10分

当时，，所以函数在上单调减，

所以当时，取得极大值，也是最大值．

由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．

答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．……14分

18．（1）由题意知，，，

所以，，所以椭圆的方程为，   ………………………2分

易得圆心，，所以圆的方程为．…4分

（2）证明：设直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点， ……………6分

联立，消去并整理得，，解得点，

……………9分  

    （i）

         ，当且仅当时，取“=”，

所以的最大值为．                    …………………………12分

（ii）直线的方程为，

与直线的方程联立，解得点，   ……14分

所以、两点的横坐标之和为．

故、两点的横坐标之和为定值，该定值为．    …………………16分

19．（1）因为，所以，

则， ………………………2分

所以，

又，所以，故是首项为，公差为的等差数列，    ……4分

即，所以．        ………………………6分

（2）由（1）知，所以，

①当时，，，，

若，，成等差数列，则（），

因为，所以，，，，

所以（）不成立．                                …………………………9分

②当时，若，，成等差数列，

则，所以，

即，所以，      ………………………12分

欲满足题设条件，只需，此时，      ………………14分

因为，所以，，

即．                                        …………………………15分

综上所述，当时，不存在，满足题设条件；

当时，存在，，满足题设条件．…16分

20．（1），     ……2分

因为，，所以，解，得，

所以的单调增区间为．                        …………………4分

（2）当时，由，得，，

①当>1，即时，在上是减函数，

所以在上的最小值为．               …………………6分

②当，即时，

在上是减函数，在上是增函数，

所以的最小值为．         ……………………8分

③当，即时，在上是增函数，

所以的最小值为．

综上，函数在区间上的最小值

………………………10分    

（3）设，则点N的横坐标为，

直线AB的斜率

=，

曲线C在点N处的切线斜率

，

假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则，

即，                  ………………………………13分

所以，不妨设，，则，

令，，

所以在上是增函数，又，所以，即不成立，

所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．   …………………………16分

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数学Ⅱ参与评分标准

B．选修4-2：矩阵与变换

由题意知，，，

所以 解得                          ……………………5分

所以，所以．                ……………………10分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

由题意知，圆的极坐标方程为，                 ………………4分

设弦中点为，则，

因为点在圆上，所以，即，       ………………9分

又点异于极点，所以，

所以弦中点的轨迹的极坐标方程为．     ………………10分

D．选修4-5：不等式选讲

因为

，………8分

当且仅当，即时，取等，

所以．                    …………………10分

22．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．

则，，，，所以，，

，．

（1）因为，

所以异面直线与夹角的余弦值为．

      …………………………4分

（2）设平面的法向量为，

则 即

取平面的一个法向量为；

所以二面角平面角的余弦值为．    …………………………10分

22．（1）记“演出成功”为事件，

    则事件由三个互斥事件构成：，，，

因为，

，

．

所以．

所以演出成功的概率为．……………………………………………………4分

（2）的可能取值为4，5，6，7，8．

因为，．

所以的概率分布为

                                                     ………………8分

所以．

答：演出节目总数的数学期望为6．    ………………………………………10分

23．（1）由已知得，．

所以时，；当时，．………2分

猜想：()．    …………………………………………3分

下面用数学归纳法证明：

①当时，结论成立．

②假设当时，结论成立，即，

将代入上式，可得．

则当时，

．

故当结论成立，

根据①,②可得，()成立．………………………………5分

（2）将代入，得，

则，，

设，则，

即，        ……………………………………7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得无整数解．

所以当时，满足条件．                 …………………………………10分下载本文