一、选择题：
1．（3分）（2015•深圳）﹣15的相反数是（ ）
| A． | 15 | B． | ﹣15 | C． | D． |
2．（3分）（2015•深圳）用科学记数法表示316000000为（ ）
| A． | 3.16×107 | B． | 3.16×108 | C． | 31.6×107 | D． | 31.6×106 |
3．（3分）（2015•深圳）下列说法错误的是（ ）
| A． | a•a=a2 | B． | 2a+a=3a | C． | （a3）2=a5 | D． | a3÷a﹣1=a4 |
4．（3分）（2015•深圳）下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
5．（3分）（2015•深圳）下列主视图正确的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
6．（3分）（2015•深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（ ）
| A． | 75，80 | B． | 80，80 | C． | 80，85 | D． | 80，90 |
7．（3分）（2015•深圳）解不等式2x≥x﹣1，并把解集在数轴上表示（ ）
| A． | B． | C． | D． |
8．（3分）（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
9．（3分）（2015•深圳）如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
| A． | 50° | B． | 20° | C． | 60° | D． | 70° |
10．（3分）（2015•深圳）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．
| A． | 140 | B． | 120 | C． | 160 | D． | 100 |
11．（3分）（2015•深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
12．（3分）（2015•深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
二、填空题：
13．（3分）（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= ．
14．（3分）（2015•深圳）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．
15．（3分）（2015•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 个太阳．
16．（3分）（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k= ．
三、解答题：
17．（2015•深圳）计算：|2﹣|+2sin60°+﹣．
18．（2015•深圳）解方程：．
19．（2015•深圳）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 ，参加调差的总人数为 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 人．
20．（2015•深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
21．（2015•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
| 用水量 | 单价 |
| x≤22 | a |
| 剩余部分 | a+1.1 |
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
22．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．
23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
2015年广东省深圳市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题：
1．（3分）（2015•深圳）﹣15的相反数是（ ）
| A． | 15 | B． | ﹣15 | C． | D． |
| 考点： | 相反数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． |
| 解答： | 解：﹣15的相反数是15， 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． |
2．（3分）（2015•深圳）用科学记数法表示316000000为（ ）
| A． | 3.16×107 | B． | 3.16×108 | C． | 31.6×107 | D． | 31.6×106 |
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． |
| 解答： | 解：将316000000用科学记数法表示为：3.16×108． 故选B． |
| 点评： | 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． |
3．（3分）（2015•深圳）下列说法错误的是（ ）
| A． | a•a=a2 | B． | 2a+a=3a | C． | （a3）2=a5 | D． | a3÷a﹣1=a4 |
| 考点： | 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解． |
| 解答： | 解：A、a•a=a2，正确，故本选项错误； B、2a+a=3a，正确，故本选项错误； C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确； D、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，正确，故本选项错误． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． |
4．（3分）（2015•深圳）下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． |
| 解答： | 解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确． 故选：D． |
| 点评： | 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． |
5．（3分）（2015•深圳）下列主视图正确的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． |
| 解答： | 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形． 故选：A． |
| 点评： | 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． |
6．（3分）（2015•深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（ ）
| A． | 75，80 | B． | 80，80 | C． | 80，85 | D． | 80，90 |
| 考点： | 众数；中位数．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可． |
| 解答： | 解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次， ∴这组数据的众数是80； 把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得 75，80，80，85，90， 所以这组数据的中位数是80． 故选：B． |
| 点评： | （1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． |
7．（3分）（2015•深圳）解不等式2x≥x﹣1，并把解集在数轴上表示（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先移项、合并同类项，把x的系数化为1即可． |
| 解答： | 解：2x≥x﹣1， 2x﹣x≥﹣1， x≥﹣1． 故选：B． |
| 点评： | 本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． |
8．（3分）（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ）
①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| 考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 数形结合． |
| 分析： | 根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断． |
| 解答： | 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，所以①错误； ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴﹣＞0， ∴b＞0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，所以③错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． |
9．（3分）（2015•深圳）如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
| A． | 50° | B． | 20° | C． | 60° | D． | 70° |
| 考点： | 圆周角定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解． |
| 解答： | 解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°， ∴∠DBA=∠ACD=70°． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． |
10．（3分）（2015•深圳）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．
| A． | 140 | B． | 120 | C． | 160 | D． | 100 |
| 考点： | 一元一次方程的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | 设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可． |
| 解答： | 解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得 0.8×200=x+40， 解得：x=120． 故选：B． |
| 点评： | 本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． |
11．（3分）（2015•深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 作图—复杂作图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确． |
| 解答： | 解：∵PB+PC=BC， 而PA+PC=BC， ∴PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上， 即点P为AB的垂直平分线与BC的交点． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． |
12．（3分）（2015•深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的． |
| 解答： | 解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DEF=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12﹣x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误； S△GFB=×6×8=24，S△BEF=•S△GFB==，④正确． 故选：C． |
| 点评： | 本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度． |
二、填空题：
13．（3分）（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= 3（a+b）（a﹣b） ．
| 考点： | 提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 原式提取3，再利用平方差公式分解即可． |
| 解答： | 解：原式=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b）， 故答案为：3（a+b）（a﹣b） |
| 点评： | 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． |
14．（3分）（2015•深圳）在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．
| 考点： | 列表法与树状图法．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用树状图法列举出所有可能，看是否能被3整除．找出满足条件的数的个数除以总的个数即可． |
| 解答： | 解：如图所示： 共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为=． 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被3整除即两位数加起来和为3的倍数． |
15．（3分）（2015•深圳）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 21 个太阳．
| 考点： | 规律型：图形的变化类．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由图形可以看出：第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，由此计算得出答案即可． |
| 解答： | 解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳， 第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24=16个太阳， 所以第5个图形共有5+16=21个太阳． 故答案为：21． |
| 点评： | 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． |
16．（3分）（2015•深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k= 16 ．
| 考点： | 反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值，从而求出△AOB的面积． |
| 解答： | 解：∵△BCE的面积为8， ∴， ∴BC•OE=16， ∵点D为斜边AC的中点， ∴BD=DC， ∴∠DBC∠DCB=∠EBO， 又∠EOB=∠ABC， ∴△EOB∽△ABC， ∴， ∴AB•OB•=BC•OE ∴k=AB•BO=BC•OE=16． 故答案为：16． |
| 点评： | 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB•OB•=BC•OE． |
三、解答题：
17．（2015•深圳）计算：|2﹣|+2sin60°+﹣．
| 考点： | 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． |
| 解答： | 解：原式=2﹣+2×+2﹣1=3． |
| 点评： | 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． |
18．（2015•深圳）解方程：．
| 考点： | 解分式方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． |
| 解答： | 解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2）， 整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0， 分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0， 解得：x1=1，x2=， 经检验x1=1与x2=都为分式方程的解． |
| 点评： | 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． |
19．（2015•深圳）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 20% ，参加调差的总人数为 400 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 72° ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 13400 人．
| 考点： | 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据看1本书的人数为40人，所占的百分比为10%，40÷10即可求出总人数，用100%﹣10%﹣25%﹣45%即可得x的值，用总人数乘以x的值，即可得到3本以上的人数，即可补全统计图； （2）用x的值乘以360°，即可得到圆心角； （3）用6.7万乘以三本以上的百分比，即可解答． |
| 解答： | 解：（1）40÷10%=400（人）， x=100%﹣10%﹣25%﹣45%=20%，400×20%=80（人）， 故答案为：20%，400； 如图所示； （2）20%×360°=72°， 故答案为：72°； （3）67000×20%=13400（人）， 故答案为：13400． |
| 点评： | 此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，解决此类问题注意图形有机结合，综合分析获取正确信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． |
20．（2015•深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
| 考点： | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度． |
| 解答： | 解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°， ∴∠DAF=30°， ∴AF=DF=10， 在Rt△FGA中， AG=AF•sin∠AFG=10×=5， ∴AB=1.5+5． 答：旗杆AB的高度为（1.5+5）米． |
| 点评： | 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． |
21．（2015•深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．
| 用水量 | 单价 |
| x≤22 | a |
| 剩余部分 | a+1.1 |
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
| 考点： | 一元一次方程的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）直接利用10a=23进而求出即可； （2）首先判断得出x＞22，进而表示出总水费进而得出即可． |
| 解答： | 解：（1）由题意可得：10a=23， 解得：a=2.3， 答：a的值为2.3； （2）设用户水量为x立方米， ∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71， ∴x＞22， ∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）=71， 解得：x=28， 答：该用户用水28立方米． |
| 点评： | 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为x米3（x＞22）时的水费是解题关键． |
22．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．
| 考点： | 圆的综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间； （2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案； （3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案． |
| 解答： | （1）解：由题意可得：BO=4cm，t==2（s）； （2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC， 又∵∠A=45°， ∴AO=OH=3cm， ∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm； （3）证明：如图3，连接EF， ∵OD=OF， ∴∠ODF=∠OFD， ∵DE为直径， ∴∠ODF+∠DEF=90°， ∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°， ∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG， 又∵∠FCG=∠ECF， ∴△CFG∽△CEF， ∴=， ∴CF2=CG•CE． |
| 点评： | 此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键． |
23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式； （2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标； （3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标． |
| 解答： | 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3， （2）存在， 当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD， 设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m， ∵PM=PE， ∴（4﹣m）=m，m=﹣1， ∴P点坐标为（﹣1，﹣1）； 当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD， 设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n， ∵PM=PE， ∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1， ∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）； 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）； （3）∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC， ∴S△FBC=， 过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3， ∵S△FBC=FQ•OB=FQ=， ∴FQ=9， ∵BC的解析式为y=﹣3x+3， 设F（x0，﹣x02﹣2x0+3）， ∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9， 解得：x0=或（舍去）， ∴点F的坐标是（，）． |
| 点评： | 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中． |
参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；星期八；2300680618；放飞梦想；sdwdmahongye；gsls；1339885408@qq.com；sks；73zzx；守拙；522286788（排名不分先后）
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2015年6月26日下载本文
