【本讲主要内容】

    空间向量及其运算

    空间向量的概念、空间向量的加减、数乘及数量积运算、空间向量基本定理

【知识掌握】

【知识点精析】

  1. 空间向量及其运算

    （1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

    （2）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

    （3）空间向量的加、减与数乘运算。

    如图，空间向量的加、减与数乘满足如下运算律

    ①加法交换律  

    ②加法结合律  

    ③数乘分配律  

  2. 共线向量与共面向量

    （1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

    （2）共线向量定理；对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使。

    推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量。

    （3）共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

    （4）共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x，y，使。

  3. 空间向量基本定理

    如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。

    我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。

    推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序数x、y、z，使。

  4. 两个向量的数量积

    （1）两个向量的夹角，已知两个非零向量a,b在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量的夹角，记作。

    通常规定， 

    如果，则称互相垂直，并记作。

    （2）向量的长度：设，则有向线段的长度叫做的长度或模，记。

    （3）数量积：已知向量叫做向量的数量积。记作。

    它满足以下性质

    ①（e为单位向量）

    ②

    ③

    空间向量的数量积，满足以下运算律

    ①

    ②

    ③

【解题方法指导】

  1. 选定空间不共面的三个向量作为基底，并用它们表示指定的向量，是用向量知识解决立体几何问题的基本要求。

  2. 利用向量知识解决立体几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量的有关公式列出方程求解。

  3. 借助空间向量将立体几何中的垂直、角、距离、平行等问题进行转化处理。

    如：判断线线平行或诸点共线，转化为证；

    证明线线垂直，转化为证；

    在计算异面直线所成的角时，转化为求向量的夹角，利用公式；

    求立体几何中线段的长度时，转化为求，或利用空间两点距离公式。

  例1. 已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量表示向量OG，设，则x、y、z的值分别为（    ）

    A.            B. 

    C.            D. 

    解：连结

    答案：D

  例2. 已知一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求CD。

    解：CA⊥AB， 

    且

【考点突破】

【考点指要】

    从近年以来的新课程高考试题中可以看出，在新增内容中，空间向量是每年高考中的必考内容（为立体几何提供一种新的解决方法），突破了以往只能用传统方法解决立体几何问题的束缚，使数形结合思想得到进一步的应用。

【典型例题分析】

  例1. 设且=

3，求向量的模。

    思路：利用公式。

    解： 

    点评：本题解答关键在于向量的数量积的应用，在许多空间几何求距离的问题，常用向量的模解决，求解过程相对简单。

  例2. 已知两个非零向量不共线，如果， =

，求证：A、B、C、D共面。

    思路：要证A、B、C、D共面，只要证明三向量共面，于是只要证明存在三个非零实数即可。

    证明：设

    则

    由于不共线

    得

    上面方程解有无穷多解，例即为其中一组解

    即

    故知向量共面

    所以A、B、C、D四点共面

    点评：在这里采用待定系数法，寻找到三个非零实数使。

  例3. 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量

，。

    求证：（1）四点E、F、G、H共面。

        （2）平面AC//平面EG。

    思路：本题考查利用空间向量基本定理，证明四点共线及用向量共线定理证明线线平行。

    证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形

    ∴

    ∴

    ∴E、F、G、H共面

    （2）∵

    ∴EF//AB

    AB平面ABCD

    ∴EF//平面ABCD

    同理，由EG//AC

    ∴EG//平面ABCD

    ∴平面ABCD//平面EFGH

    点评：本题解答关键是向量的加减运算及空间向量基本定理。

【综合测试】

一. 选择题

  1. 平行六面体中，若，则等于（    ）

    A. 1                B.                C.                D. 

  2. 空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则等于（    ）

    A.                    B. 

    C.                    D. 

  3. 当，且不共线时，的关系是（    ）

    A. 平行                B. 相等            C. 垂直            D. 相交但不垂直

  4. 平行六面体中，AB=1，AD=2，，∠BAD=90°，，则的长为（    ）

    A.                B.            C.            D. 

二. 填空题：

  5. 设向量是平面α的法向量，且也是直线l的一个方向向量，则l与α的关系是_________________。

  6. 边长为a的正△ABC中，的值为_________________。

三. 解答题：

  7. 在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60o，求OA与BC夹角的余弦。

综合测试答案

  1. B    提示：        ∴

  2. B    提示：        ∴

  3. C    提示：分别表示菱形ABCD的对角线，故垂直

  4. B    提示： 

  5. 垂直

  6.    提示： 

  7.    

    提示：∵    ∴

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