一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．[2，3） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）
2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
3．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
5．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
6．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（ ）
A． B． C． D．
7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（ ）
A．48 B．50 C．98 D．68
8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（ ）
A．2 B．2log23 C．4 D．4log23
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。
9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上
B．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%
C．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生
D．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士
10．已知f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）在上为增函数
C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．线段PQ长度的最小值为2
B．满足PQ＝2的情况只有4种
C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直
D．三棱锥P﹣ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关
12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；…．记an＝1+x1+x2+…+xk+2，数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A．k+1＝2n B．an+1＝3an﹣3
C．an＝（n2+3n） D．Sn＝（3n+1+2n﹣3）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量＝（1，m），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m＝ ．
14．已知sinαcosα＝，且α∈（0，），则的值为 ．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 ．
16．已知过抛物线y2＝x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为3，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．
18．已知{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）各项均为正数的数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ____，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①bn＝2﹣1；②2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；③Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．
19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．
（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；
（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．
20．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查．从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：
| 每周阅读时间X | [9，11） | [11，13） | [13，15） | [15，17） | [17，19） | [19，21） | [21，23] |
| 频率 | 0.05 | 0.1 | 0.15 | 0.4 | 0.2 | 0.06 | 0.04 |
（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），用（1）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X≤17.76）＝0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡．每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：
| 购书卡的金额（单位：元） | 20 | 50 |
| 概率 |
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N．当直线l斜率为﹣1时，弦MN的中点坐标为（）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求△F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程．
22．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cosx在（﹣，+∞）上的零点个数．
参
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（ ）
A．（2，3） B．[2，3） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）
解：∵A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝[﹣2，1）．
故选：C．
2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
解：z＝（a﹣3i）（3+2i）＝3a+2ai﹣9i﹣6i2＝3a+6+（2a﹣9）i，
所以复数z的实部与虚部分别为3a+6，2a﹣9，
则3a+6+2a﹣9＝7，得a＝2．
故选：C．
3．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解：∵a＝50.3＞50＝1，
log0.31＜log0.30.5＜log0.30.3，0＜b＜1，
c＝log30.4＜log31＝0，
∴c＜b＜a，
故选：D．
4．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
解：设等差数列共有（2n+1）项，
由题意得S奇＝a1+a3+•••+a2n+1，S偶＝a2+a4+•••+a2n，
故S奇﹣S偶＝a1+（a3﹣a2）+•••+（a2n+1﹣a2n），
＝a1+d+•••+d＝a1+nd＝an+1＝319﹣290＝29．
故中间项an+1为29．
故选：B．
5．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，
可得AB与直线x+2y+c＝0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c＝0上；
由AB与直线x+2y+c＝0垂直，可得＝2，解可得t＝﹣1，
则B（﹣1，﹣1），
故AB中点为（0，1），且其在直线x+2y+c＝0上，
代入直线方程可得，0+2×（1）+c＝0，可得c＝﹣2；
故t+c＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3；
故选：A．
6．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（ ）
A． B． C． D．
解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，
则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：
P＝＝．
故选：B．
7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（ ）
A．48 B．50 C．98 D．68
解：根据题意，分2种情况讨论，
①每辆车坐3人，有C63＝20种乘车方式；
②一辆车坐2人，另一辆坐4人，要求两个小孩不能单独乘坐一辆车，有（C62﹣1）A22＝28种乘车方式；
则有20+28＝48种车方式；
故选：A．
8．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（ ）
A．2 B．2log23 C．4 D．4log23
解：由题意可得，f（x）关于x＝2对称，
而f（x）＝，
且f（0）＝f（4）＝﹣1，f（2）＝1，
在x∈[0，4]，f（x），f（4﹣x）及y＝﹣1的图象如下：
所以将围成的图形在x轴下半部分阴影区域部分相补到x轴上半部分的阴影区域，
可得图示：由x轴，y轴，y＝1，x＝4所围成的矩形的面积，
所以函数y＝f（x）在x∈[0，4]的图象与直线y＝1围成的封闭图形的面积为4．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。
9．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上
B．该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%
C．该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生
D．该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士
解：对于A，由该行业从业者学历分布饼状图得到：
该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故A正确；
对于B，由从事该行业岗位分布条形图得到：
在高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%，故B正确；
对于C，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，
无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故C错误；
对于D，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，
无法得到该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士，故D错误．
故选：AB．
10．已知f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）在上为增函数
C．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心
解：∵＝cos2ωx+sin2ωx＝2cos（2ωx﹣） 的最小正周期为＝π，
∴ω＝1，∴f（x）＝2cos（2x﹣），故A错误．
在上，2x﹣∈[﹣，0]，故 f（x）＝2cos（2x﹣） 单调递增，故B正确；
当x＝时，f（x）＝1，不是最值，故直线不是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，故C错误；
当x＝时，f（x）＝0，故点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心，故D正确，
故选：BD．
11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．线段PQ长度的最小值为2
B．满足PQ＝2的情况只有4种
C．无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直
D．三棱锥P﹣ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关
解：对于A，当P、Q分别为线段B1D1、AC的中点时，PQ是异面直线B1D1、AC的公垂线，
此时线段PQ长度最小为2，故A正确；
对于B，PQ＝2，只能是面对角线，此时PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四种，故B正确；
对于C，当P与B′重合，Q与C重合时，此时直线PQ（即B1C）与平面BC1D1垂直，故PQ⊥BD1，
故C错误；
对于D，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面△QBA的面积随着点Q的移动而变化，
∴三棱锥P﹣ABQ的体积只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D正确．
故选：ABD．
12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；…．记an＝1+x1+x2+…+xk+2，数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A．k+1＝2n B．an+1＝3an﹣3
C．an＝（n2+3n） D．Sn＝（3n+1+2n﹣3）
解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，
，…，an＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，
由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，
故an有2n+1项．故C错误；
所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；
由an＝，可得an+1＝＝3an﹣3，故B正确；
由Sn＝a1+a2+…+an＝（32+33+34+…+3n+1）+
＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量＝（1，m），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m＝ ﹣1 ．
解：∵向量＝（1，m），＝（2，1）．m实数，
∴2+＝（4，2m+1），
∵•（2+）＝7，
∴•（2+）＝8+2m+1＝7，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．已知sinαcosα＝，且α∈（0，），则的值为 ﹣ ．
解：∵sinαcosα＝，
∴（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2×＝，
∵α∈（0，），
∴sinα＞0，cosα＞0，∴sinα+cosα＝，
∴＝＝﹣（sinα+cosα）＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 37 ．
解：当m＝5时，5→16→8→4→2→1共5步雹程变成1，
若m需经过5步雹程首次变成1则1←2←4←8←16←5或1←2←4←8←16←32两种情况，
即m＝5或m＝32，则5+32＝37，
故答案为：5，37．
16．已知过抛物线y2＝x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 ．
解：由（|k1|+4|k2|）（|AF|•|BF|）≥|AF|+|BF|恒成立，
可得|k1|+4|k2|≥＝+，
因为y2＝x，
所以F（，0），
则设直线AB的方程为x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），令y1＞0，y2＜0，
由，得y2﹣my﹣＝0，
则y1+y2＝m，y1y2＝﹣，
因为|AF|＝|y1|，|BF|＝|y2|，
|y1|+|y2|＝|y1﹣y2|＝＝，
所以+＝（+）＝•＝•＝4，
所以|k1|+4|k2|≥4恒成立，
因为直线MN过原点，所以M，N关于原点对称，
设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），P（x3，y3），
因为点P在双曲线上，所以﹣＝1，
所以k1k2＝•＝
＝[b2（﹣1）﹣b2（﹣1）]＝，
所以|k1|+4|k2|≥2＝4×，当且仅当|k1|＝4|k2|时，取等号，
所以4×＝4，即a＝b，
所以c2＝a2+b2＝2a2，
即c＝a，
所以离心率为e＝＝，
故答案为：．
四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为3，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．
解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，
∴S△ABC＝AB•BCsin∠ABC＝3，
∴AB＝3
∵△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝9+16−2×3×4×＝13，
∴AC＝；
（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，
∵Rt△ACD中，AD＝3，
∴AC＝＝，
△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，
由正弦定理可得：＝，即＝，
∴3sin（﹣α）＝2sinα，化简可得tanα＝，
∴tan∠ACD＝．
18．已知{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）各项均为正数的数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且 ____，若数列{cn}满足cn＝anbn，求{cn}的前n项和Tn．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①bn＝2﹣1；②2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；③Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．
解：（1）数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列．
所以，
整理得，所以，
解得q＝3或，
由于{an}是递增的等比数列，
所以q＝3．
故．
（2）选条件①时，bn＝2﹣1；
整理得①，
当n≥2时，②，
所以两式相减得：bn﹣bn﹣1＝2（常数），
所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故bn＝2n﹣1，
所以，
则①，
3②，
①﹣②得：，
整理得：．
选条件②时，2bn＝bn﹣1+bn+1（n≥2），b2＝3；
所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列
故bn＝2n﹣1，
所以，
则①，
3②，
①﹣②得：，
整理得：．
选条件③时，Sn﹣Sn﹣1＝（n≥2）．
整理得：（常数），
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；
所以，
故bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
所以，
则①，
3②，
①﹣②得：，
整理得：．
19．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．
（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；
（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：连结MN，A1B，侧面ABB1A1是平行四边形，且∠A1AB＝60°，
所以△A1BB1是正三角形，
又点N分别是A1B1的中点，所以BN⊥A1B1，
又因为AA1＝AB＝BM＝2，所以BN＝，MN＝1，
所以BN2+MN2＝BM2，则BN⊥MN，
又A1B1∩MN＝N，A1B1，MN⊂平面A1B1C1，
所以BN⊥平面A1B1C1；
（2）解：取AB的中点O，连结A1O，则A1O∥BN，
由（1）可知，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，
所以，，
设平面MAB的一个法向量为，
则，即，
令z＝﹣1，则y＝0，x＝2，故，
又平面ABC的一个法向量为，
所以＝，
故二面角M﹣AB﹣C的余弦值为．
20．每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查．从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：
| 每周阅读时间X | [9，11） | [11，13） | [13，15） | [15，17） | [17，19） | [19，21） | [21，23] |
| 频率 | 0.05 | 0.1 | 0.15 | 0.4 | 0.2 | 0.06 | 0.04 |
（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），用（1）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X≤17.76）＝0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡．每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：
| 购书卡的金额（单位：元） | 20 | 50 |
| 概率 |
解：（1）由题意可知，＝10×0.05+12×0.1+14×0.15+16×0.4+18×0.2+20×0.06+22×0.04＝15.88；
（2）由P（14≤X≤17.76）＝0.5，且正态分布密度曲线关于x＝μ＝15.88对称，
所以P（X＜14）＝P（X＞17.76）＝，
故P（X≥14）＝1﹣P（X＜14）＝1﹣＝，
由题意可知，甲为“阅读之星”的概率为，甲获赠购书卡金额Y的可能取值为20，40，50，70，100，
所以P（Y＝20）＝×＝，
P（Y＝40）＝××＝，
P（Y＝50）＝×＝，
P（Y＝70）＝×××＝＝，
P（Y＝100）＝××＝，
所以Y的分布列为：
| Y | 20 | 40 | 50 | 70 | 100 |
| P |
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N．当直线l斜率为﹣1时，弦MN的中点坐标为（）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求△F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方程．
解：（1）由题知c＝，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则有+＝1①，
+＝1②，
由①﹣②得+＝0③，
因为＝﹣1时，x1+x2＝，y1+y2＝，
代入③有a2＝4b2，
又a2＝b2+c2，c＝，
所以b2＝1，a2＝4，
所以椭圆E的标准方程为+y2＝1．
（2）△F1MN的周长为|MF1|+|MF2|+||NF1|+|NF2|＝4a＝8，
S＝•8•r＝4r，
所以r＝S，
所以△F1MN的内切圆半径r最大，即S最大，
设直线l的方程为x＝my+，
由，得（m2+4）y2+2my﹣1＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝，
则S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝
＝＝，
令t＝（t≥1），
则m2＝t2﹣1，
S＝＝≤＝2，
当且仅当t＝，即t＝（t≥1）时取等号，
此时m＝±，直线l的方程为x±y﹣＝0．
22．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，求函数g（x）＝f（x）﹣cosx在（﹣，+∞）上的零点个数．
解：（1）f（x）＝ex﹣ax，其定义域为R，f′（x）＝ex﹣a，
①当a≤0时，因为 f′（x）＞0．所以 f（x） 在 R 上单调递增；
②当a＞0时，令 f′（x）＞0 得 x＞lna．令 f′（x）＜0 得 x＜lna．
所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，
综上所述，当 a≤0 时，f（x） 在 R 上单调递增，当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增．
（2）当a＝2时，，g′（x）＝ex+sinx﹣2，
①当 时，因为 g′（x）＝（ex﹣1）+（sinx﹣1）＜0，
所以 g（x） 在 单调递减．
所以 g（x）＞g（0）＝0，
斤以 g（x） 在 上无零点；
②当时，因为g′（x） 单调递增，且 ．
所以存在，使 g′（x0）＝0，
当x∈（0，x0） 时，g′（x）＜0，当 时，g′（x）＞0，
所以g（x）在[0，x0）上单调递减，在上单调递增，且g（0）＝0，所以 g（x0）＜0，
又因为，所以，
所以g（x） 在 上存在一个零点，
所以g（x） 在 上有两个零点．
③当时，，
所以g（x） 在 上单调递增，
因为，所以 g（x） 在 上无零点．
综上所述，g（x）在 上的零点个数为 2．下载本文
