数学模拟试卷(四)

时间：120分钟　　　　满分：150分　

1．下列各数中，最小的实数是(　A　)

A．－2     B．－1 

C．0     D．

2．下列运算正确的是(　C　)

A．(2x)2＝2x2     B．x2·x3＝x6

C．2x＋3x＝5x     D．(x2)3＝x5

3．如图所示的几何体，从上面看得到的平面图形是(　B　)

　　　　　　　　　 A  　　　　B　　　　 C　　　　　D

4．截至2018年5月底，我国的外汇储备为31 100亿元，将31 100亿用科学记数法表示为(　B　)

A．0.311×1012     B．3.11×1012

C．3.11×1013     D．3.11×1011

5．如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2＝70°，则∠1的度数为(　D　)

A．100°     B．125° 

C．130°     D．140°

6．已知方程组的解为则2a－3b的值为(　B　)

A．4     B．6 

C．－6     D．－4

7．在化简分式＋的过程中，开始出现错误的步骤是(　B　)

A．－    B．

C．     D．－

8．安徽省阜阳永丰农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(　D　)

A．50(1＋x)2＝182     B．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182

C．50(1＋2x)＝182     D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182

9．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G.下列结论中错误的是(　C　)

A．CF2＝EF·BF     B．AG＝2DC

C．AE＝EF     D．AF·EC＝EF·EB

10．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点(与B，C不重合)，连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F，设BE＝x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的大致图象是(　B　)

　　　　　　A  　　　　　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．要使式子有意义，则x的取值范围为__x≥－2且x≠0__.

12．某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽，下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数：

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，则扇形CAD的周长是__2＋__(结果保留π)．

14．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝__8或3__.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．解方程3x2－5x＋1＝0.

解：∵a＝3，b＝－5，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×1＝13＞0，∴x＝，∴原方程的解为x1＝，x2＝.

16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1,3,6,10…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用(n≥1)表示．

请根据以上材料，证明以下结论：

(1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

(2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

解：(1)证明：∵×8＋1＝4n2＋4n＋1＝(2n＋1)2，∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

(2)∵第n个三角形数为，第n＋1个三角形数为，∴这两个三角形数的和为＋＝＝(n＋1)2，即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．如图，渔政310船在南海海面上沿正东方向以20海里/小时的速度匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场，若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)

解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由已知可得，∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴BD＝＝CD，AD＝CD，∵AB＝20×0.5＝10(海里)，∴10＋BD＝CD，即10＋CD＝CD，解得，CD＝15＋5 (海里)，∴BD＝AD－AB＝15＋5－10＝5＋5 (海里)，∵＝(小时)，∴渔政310船再航行小时，离我渔船C的距离最近．

18．如图，在10×10的方格纸中，有一格点三角形ABC．(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形)

(1)将△ABC先向右平移5格再向下平移2格，画出平移后的△A′B′C′；

(2)在所给的方格纸中，画一个与△ABC相似、且面积为6个平方单位的格点△DEF.

解：(1)如图，△A′B′C′就是△ABC先向右平移5格再向下平移2格得到的三角形；

(2)∵△DEF的面积是6个方格单位，△ABC的面积是3个方格单位，∴S△DEF∶S△ABC＝2∶1，∴它们的边长的比＝∶1，根据网格AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴DE＝AB＝，EF＝BC＝，DF＝AC＝4，∴作出三边分别为，，4的△DEF就是所要求作的三角形．故△DEF就是所要求作的三角形．

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,3)，B(－4,0)．

(1)求点C的坐标；

(2)求经过点D的反比例函数解析式．

解：(1)∵A(0,3)，B(－4,0)，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，在菱形ABCD中，AD＝BC＝AB＝5，∴OC＝BC－OB＝1，∴C(1,0)；

(2)在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，∴D(5,3)，设经过点D的反比例函数解析式为y＝，把D(5,3)代入y＝中，得＝3，∴k＝15，∴y＝.

20．小明学习电学知识后，用四个开关按键(每个开关按键闭合的可能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图．

(1)若小明设计的电路图如图1(四个开关按键都处于打开状态)如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；

(2)若小明设计的电路图如图2(四个开关按键都处于打开状态)如图所示，求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．(用列表或树状图法)

解：(1)一共有四个开关按键，只有闭合开关按键K2，灯泡才会发光，所以P(灯泡发光)＝；

(2)用树状图分析如下：

一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，所以P(灯泡发光)＝＝.

六、(本题满分12分)

21．如图，BE是△ABC的外接⊙O的直径，CD是△ABC的高．

(1)求证：＝；

(2)已知：AB＝11，AD＝3，CD＝6，求⊙O的直径BE的长．

(1)证明：连接EC，∵BE是直径，∴∠BCE＝∠ADC＝90°，又∵∠A＝∠E，∴△ADC∽△ECB，∴CD∶BC＝AC∶BE；

(2)解：由题意知，BD＝11－3＝8，在Rt△ACD中，由勾股定理知，AC＝＝3，Rt△BCD中，由勾股定理知，BC＝＝10，由(1)知，CD∶BC＝AC∶BE，∴BE＝＝5.

七、(本题满分12分)

22．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD，CD分别为点G和点H.

(1)证明：DG2＝FG·BG；

(2)若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．

(1)证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝，又∵△AGF∽△EGD，∴＝，∴＝，∴DG2＝FG·BG；

(2)解：∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，∴DH＝DC＝AB＝，∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2＋DH2，∴AH＝，∴AE＝13.又∵△ADG∽△EBG，∴＝＝，∴AG＝GE＝×AE＝×13＝，∴GH＝AH－AG＝－＝.

八、(本题满分14分)

23．如图1抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为C(1,4)，交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为(3,0)．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图2，T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；

(3)如图3，过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵点B的坐标为(3,0)，∴4a＋4＝0，∴a＝－1，∴此抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵y＝－x2＋2x＋3，∴当x＝0时，y＝3，∴点D的坐标为(0,3)，∵点B的坐标为(3,0)，∴BD＝＝3.设M(m,0)，则DM＝.∵MN∥BD，∴＝，即＝，∴MN＝(1＋m)，∵△DNM∽△BMD，∴＝，即DM2＝BD·MN，∴9＋m2＝3×(1＋m)，解得m＝或m＝3(舍去)，当m＝时，y＝－2＋4＝.故所求点T的坐标为；

(3)在x轴上存在一点H，能够使D，G，H，F四点围成的四边形周长最小．理由如下：∵y＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴当x＝2时，y＝－4＋4＋3＝3，∴点E(2,3)．∴设直线AE的解析式为y＝kx＋n，∴解得∴直线AE的解析式为y＝x＋1，∴点F(0,1)，∵D(0,3)，∴D与E关于x＝1对称，作点F关于x轴的对称点F′(0，－1)，连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，则四边形DFHG的周长即为最小．设直线EF′的解析式为y＝px＋q，∴解得∴直线EF′的解析式为y＝2x－1，∴当y＝0时，2x－1＝0，得x＝，即H，当x＝1时，y＝1，即G(1,1)；∴DF＝2，FH＝F′H＝＝，GH＝＝，DG＝＝，∴使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小值为DF＋FH＋HG＋GD＝2＋＋＋＝2＋2.下载本文