一、填空题（56分）：
1．（2021•上海）计算：= _________ （i为虚数单位）．
2．（2021•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= _________ ．
3．（2021•上海）函数f（x）=的值域是 _________ ．
4．（2021•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 _________ （结果用反三角函数值表示）．
5．（2021•上海）在的二项展开式中，常数项等于 _________ ．
6．（2021•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…+Vn）═ _________ ．
7．（2021•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 _________ ．
8．（2021•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 _________ ．
9．（2021•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．
10．（2021•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．
11．（2021•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．
12．（2021•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是 _________ ．
13．（2021•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 _________ ．
14．（2021•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 _________ ．
二、选择题（20分）：
15．（2021•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
| A． | b=2，c=3 | B． | b=﹣2，c=3 | C． | b=﹣2，c=﹣1 | D． | b=2，c=﹣1 |
| A． | 锐角三角形 | B． | 直角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 不能确定 |
| A． | Dξ1＞Dξ2 | |
| B． | Dξ1=Dξ2 | |
| C． | Dξ1＜Dξ2 | |
| D． | Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 |
| A． | 25 | B． | 50 | C． | 75 | D． | 100 |
19．（2021•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．（2021•上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
21．（2021•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（2021•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
23．（2021•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
2021年上海市高考数学试卷（理科）
参与试题解析
一、填空题（56分）：
1．（2021•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．
| 考点： | 复数代数形式的乘除运算。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案 |
| 解答： | 解： 故答案为1﹣2i |
| 点评： | 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握 |
| 考点： | 交集及其运算。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案 |
| 解答： | 解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}， 所以A∩B=（﹣，3） 故答案为（﹣，3） |
| 点评： | 本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简 |
| 考点： | 二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域． |
| 解答： | 解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x ∵﹣1≤sin2x≤1 ∴﹣≤﹣sin2x≤ 则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣ ∴函数f（x）=的值域是 故答案为： |
| 点评： | 本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题． |
| 考点： | 平面向量坐标表示的应用。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角． |
| 解答： | 解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量 ∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2 ∴α=arctan2 故答案为：arctan2 |
| 点评： | 本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题． |
| 考点： | 二项式定理的应用。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项． |
| 解答： | 解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣2）3=﹣160 故答案为：﹣160 |
| 点评： | 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题． |
| 考点： | 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求 |
| 解答： | 解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an 则 ∴=是以1为首项，以为公比的等比数列 则（V1+V2+…+vn）== 故答案为： |
| 点评： | 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题 |
| 考点： | 指数函数单调性的应用。 |
| 专题： | 综合题。 |
| 分析： | 由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围 |
| 解答： | 解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数 由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数 又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数 所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1 故答案为（﹣∞，1] |
| 点评： | 本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型． |
| 考点： | 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可． |
| 解答： | 解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l； 因为4π=πl2，所以l=2， 半圆的弧长为2π， 圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1， 所以圆柱的体积为：=． 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力． |
| 考点： | 函数奇偶性的性质；函数的值。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案 |
| 解答： | 解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1， 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1 |
| 点评： | 本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型． |
| 考点： | 简单曲线的极坐标方程。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求． |
| 解答： | 解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ 在三角形POM中，利用正弦定理可知： 解得ρ=f（θ）= 故答案为： |
| 点评： | 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及余弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题． |
| 考点： | 古典概型及其概率计算公式。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可． |
| 解答： | 解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球 三个同学共有3×3×3=27种 有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种 其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是= 故答案为： |
| 点评： | 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题． |
| 考点： | 平面向量的综合题。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． |
| 解答： | 解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0）， D（），设==λ，λ∈[0，1]， M（2+），N（）， 所以=（2+）•（） =﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1， 所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]． 故答案为：[2，5]． |
| 点评： | 本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力． |
| 考点： | 函数的图象。 |
| 专题： | 计算题；综合题。 |
| 分析： | 根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积． |
| 解答： | 解：由题意可得，f（x）=， ∴y=xf（x）=， 设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S， 则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx =10×+（﹣10）×+10× =﹣+5﹣ = =． 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题． |
| 考点： | 棱柱、棱锥、棱台的体积。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE． 取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可． |
| 解答： | 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD， 由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD， 显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE． 取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可， 当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a， ∴AB=a，所以EB=，EF=， 所以几何体的体积为：×=． 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力． |
15．（2021•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
| A． | b=2，c=3 | B． | b=﹣2，c=3 | C． | b=﹣2，c=﹣1 | D． | b=2，c=﹣1 |
| 考点： | 复数相等的充要条件。 |
| 专题： | 计算题；转化思想。 |
| 分析： | 由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项 |
| 解答： | 解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0 ∴1+2i﹣2+b+bi+c=0 ∴，解得b=﹣2，c=3 故选B |
| 点评： | 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 |
| A． | 锐角三角形 | B． | 直角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 不能确定 |
| 考点： | 余弦定理的应用；三角形的形状判断。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 |
| 解答： | 解：∵sin2A+sin2B＜sin2C， 由正弦定理可得，a2+b2＜c2 由余弦定理可得CosC= ∴ ∴△ABC是钝角三角形 故选C |
| 点评： | 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题 |
| A． | Dξ1＞Dξ2 | |
| B． | Dξ1=Dξ2 | |
| C． | Dξ1＜Dξ2 | |
| D． | Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 |
| 考点： | 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论． |
| 解答： | 解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为： =（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）= 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2， 故选择A． |
| 点评： | 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题． |
| A． | 25 | B． | 50 | C． | 75 | D． | 100 |
| 考点： | 数列的求和；三角函数的周期性及其求法。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | 由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a25＞0，a26，a27，…，a50＜0，f（n）=单调递减，a25，a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断 |
| 解答： | 解：由于f（n）=sin的周期T=50 由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a25＞0，a26，a27，…，a50＜0 且sin，sin…但是f（n）=单调递减 a25，a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24 ∴S1，S2，…，S25中都为正，而s26，s27，…，s50都为正 同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正， 故选D |
| 点评： | 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用． |
19．（2021•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
| 考点： | 直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角。 |
| 专题： | 证明题；综合题。 |
| 分析： | （1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S； （2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为； [解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为． |
| 解答： | 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD， ∴CD⊥PA ∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线 ∴CD⊥平面PDC ∵PD⊂平面PDC，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形 ∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2， ∴PD==2 ∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2 （2）[解法一] 如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1） ∴=（1，，1），=（0，2，0）， 设与夹角为θ，则cosθ=== ∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 [解法二] 取PB的中点F，连接AF、EF、AC， ∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点 ∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角 ∵Rt△PAC中，PC==4 ∴AE=PC=4 ∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB= ∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△ ∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 |
| 点评： | 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题． |
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
| 考点： | 函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用。 |
| 专题： | 计算题。 |
| 分析： | （1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可； （2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． |
| 解答： | 解：（1）由解得：﹣1＜x＜1． 由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10， ∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴． 由得：． （2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]， ∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x）， 由单调性可知y∈[0，lg2]， 又∵x=3﹣10y， ∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]． |
| 点评： | 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题． |
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
| 考点： | 圆锥曲线的综合。 |
| 专题： | 应用题。 |
| 分析： | （1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向； （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论． |
| 解答： | 解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3．…2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）． 由vt=，整理得．…10分 因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25． 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分 |
| 点评： | 本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题． |
