时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0，则¬p为：∀x∈R，x2＋x＋1≠0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
[答案] C
[解析] p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题即可，不一定p，q都是假命题．
2．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是( )
A．“p∨q”假 B．“p∧q”真
C．“¬q”真 D．“p∨q”真
[答案] D
[解析] p假，q真，故“p∨q”真．
3．已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y＝x2＋x－1的顶点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] 抛物线y＝x2＋x－1的顶点坐标为＝(b，c)，∴
∵a，b，c，d成等比数列，则有ad＝bc＝，故选A.
4．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|＋|PB|＝6，则|PA|的取值范围是( )
A．[1,4] B．[1,6]
C．[2,6] D．[2,4]
[答案] D
[解析] 因为|PA|＋|PB|＝6>2，所以P点的轨迹为椭圆，所以3－1≤PA≤3＋1，即|PA|∈[2,4]．
5．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1) [答案] C [解析] f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，因此f(x)＝x2－4x，f(－1)＝5，f(1)＝－3，即f(－1)>f(1)． 6．若曲线C y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于( ) A．－2 B．0 C．－1 D．1 [答案] D [解析] 曲线C上任意点处切线的倾斜角都是锐角，所以y′>0恒成立，即3x2－4ax＋2a>0恒成立，Δ＝16a2－24a<0，解得0 A. B. C. D．2 [答案] C [解析] x2－λy2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝2，所以λ＝，所以e＝＝＝. 8．命题“∃x0∈R， >1”的否定是( ) A．∃x0∈R，≤1 B．∀x0∈R， >1 C．∀x0∈R，≤1 D．∃x0∈R， <1 [答案] C [解析] 特称命题的否定为全称命题，故选C. 9．由线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( ) A. e2 B．2e2 C．e2 D. [答案] D [解析] 因为y′＝ex，所以k＝e2，故切线方程为y－e2＝e2(x－2)，因此，切线与两标轴围成的三角形的面积为S＝×e2×1＝，故选D. 10．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] D [解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值， ∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5. 11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( ) A. B. C．2 D. [答案] A [解析] e＝＝≤＝＝. 12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案] B [解析] 二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________． [答案] a＋b＋1<0 [解析] 实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋1<0. 14．△ABC的三边，a，b，c，已知a>c>b，且成等差数列，若A(－1,0)，B(1,0)，则动点C的轨迹方程为________． [答案] ＋＝1(y≠0，且x<0) [解析] 由题意得a＋b＝2c＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a>c>b，所以是椭圆的一部分． 15．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________. [答案] －3 －9 [解析] y′＝3x2＋2ax＋b，则－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，∴a＝－3，b＝－9. 16．以下四个关于圆锥曲线的命题： ①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆； ③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点． 其中真命题的序号为______________(写出所有真命题的序号)． [答案] ③④ [解析] ①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．②中点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知p 5x2－4x－1>0，q >0，试判断¬p是¬q的什么条件？ [解析] 由5x2－4x－1>0，得x<－或x>1， 即p x<－或x>1； 由>0，得x<－5或x>1，即q x<－5或x>1，容易判断p是q的必要不充分条件，从而¬p是¬q的充分不必要条件． 18．(本题满分12分)已知x∈R，求证：cosx≥1－x2. [解析] 令F(x)＝cosx－1＋x2， 则F′(x)＝－sinx＋x， 当x≥0时F′(x)≥0， ∴F(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又F(0)＝0， 即x∈[0，＋∞)时，恒有F(x)≥0， 即cosx≥1－. 又F(－x)＝cos(－x)－1＋ ＝cosx－1＋ ＝F(x)， ∴F(x)是R上的偶函数， ∴当x<0时，恒有F(x)≥0， 即cosx≥1－， 综上所述，对一切x∈R，都有cosx≥1－. 19．(本题满分12分)设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行． 求a的值，并讨论f(x)的单调性． [解析] f′(x)＝ex(ax2＋x＋1＋2ax＋1)， 由条件知， f′(1)＝0，故a＋3＋2a＝0⇒a＝－1. 于是f′(x)＝ex(－x2－x＋2) ＝－ex(x＋2)(x－1)， 故当x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0； 当x∈(－2,1)时，f′(x)>0， 从而f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增． 20．(本题满分12分)(2009·全国Ⅱ文，21)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围． [解析] 本题考查函数、导数、不等式等基础知识，以及利用导数求函数的最值． 解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)． 由a>1知，当x<2时，f′(x)>0， 故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数； 当2 综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数． (2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值． f(2a)＝(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a ＝－a3＋4a2＋24a， f(0)＝24a. 由假设知 即解得1 21．(本题满分12分)一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线＝＝1(a>0，b>0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且·＝－3，＝4，求直线与双曲线的方程． [解析] 由e＝，所以c2＝3a2，所以b2＝2a2，所以双曲线方程为2x2－y2＝2a2，设直线l y＝x＋m，R(0，m)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则⇒x2－2mx－m2－2a2＝0，所以① 又因为·＝－3，＝4，则有x1x2＋y1y2＝－3，所以2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＋3＝0，② ⇒③ 由①，③得x2＝－m，x1＝3m，m2＝a2，代入②得m2＝1，a2＝1，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2，所以所求的直线与双曲线方程分别是y＝x±1，x2－＝1. 22．(本题满分14分)已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c. (1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围． (2)若f(x)在x＝1时取得极值，且x∈(－1,2)，f(x) ∴Δ＝1－12b≥0.故b≤. (2)由题意x＝1是方程3x2－x＋b＝0的一个根，设另一根为x0，则 ⇒ ∴f(x)＝x3－x2－2x＋c，f′(x)＝3x2－x－2. 当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0； 当x∈(1,2)时，f′(x)>0， ∴当x＝－时，f(x)有极大值＋c. 又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c， 即当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值为f(2)＝2＋c. ∵对x∈[－1,2]时，f(x) 故c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．下载本文
