数学试卷

2019年6月

一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．27-的立方根是

A ．3-

B ．3

C ．3

±D

．33

-2

．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD =80°，则∠BOM

等于A ．140°

B ．120°

C ．100°

D ．80°

3．科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它

们的最小身长只有0.000 000 02米，甚至比已知的最小细菌还要小．将

0.000 000 02用科学记数法表示为

A ．-7210⨯

B ．-8210⨯

C ．-9

210⨯D ．-10

210⨯4．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a c b -<<，则实数c 的值可能是

A ．12

-

B ．0

C ．1

D ．

72

5．图1是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng ）．斗栱是中国古代匠师们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的结构，位于柱与梁之间，斗栱是由斗、升、栱、翘、昂组成，图2是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知a b >，则下列不等式一定成立的是A ．55a b ->-B ．55ac bc >C ．55a b -<+D ．55

a b +>-7．下面的统计图反映了2013-2018年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的情况．根据统计

图提供的信息，下列推断不合理．．．

的是图1

图2

B ．2013-2018年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过2400元

C ．从2015年起，我国城镇居民人均消费支出超过20000元

D ．2018年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过70%

8．如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a 和南北向的交通主干道b ，若他希望租住的小区到主干道a 和主干道b 的直线距离之和最小，则下图中符合他要求的小区是A ．甲B ．乙C ．丙

D ．丁

二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．当_______x =时，代数式2x x

-的值为0．

10．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，D 为BC 中点，若AD =

5

2

，AC =3，则AB 的长为

．

11．如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ．若∠A =60°，∠ABC =20°，

则∠C 的度数为

.

12．如果4m n =+，那么代数式2+m n mn

n m m n

⎛⎫-⋅

⎪⎝⎭的值是___________．13．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若1APQ S =△，则PBCQ S 四边形=______．14．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．

抛掷次数5010020050010002000300040005000“正面向上”的次数193868168349707106914001747“正面向上”的频率

0.3800

0.3800

0.3400

0.3360

0.3490

0.3535

0.3563

0.3500

0.3494

下面有三个推断：

①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；

③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．其中正确的是___________．

15．按《航空障碍灯（MH /T 6012-1999）

》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯(Aviation Obstruction light )．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替

变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达___________秒．

16．

右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a ，b ，c ，d 有如图1的位置关系时，均有a +b =c +d =17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x 的值为___________．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题

6分；第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：04cos45(1)

822︒+-+-－

18．解不等式组：()48211032

x x x x -<-⎧⎪

⎨+>⎪

⎩，

．19．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．

已知：在△ABC 中，∠C =90°．

求作：△ABC 的中位线DE ，使点D 在AB 上，点E 在AC 上．作法：如图，

①分别以A ，C 为圆心，大于

1

2

AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ．所以线段DE 就是所求作的中位线．

根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．

证明：连接PA ，PC ，QA ，QC ，DC ，

∵PA =PC ，QA =_________，

∴PQ 是AC 的垂直平分线（________）（填推理的依据）．∴E 为AC 中点，AD =DC ．∴∠DAC =∠DCA ，

又在Rt △ABC 中，有∠BAC +∠ABC =90°，∠DCA +∠DCB =90°．∴∠ABC =∠DCB （________）（填推理的依据）．∴DB =DC ．∴AD =BD =DC ．∴D 为AB 中点．

∴DE 是△ABC 的中位线．

图1

图2

20．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k --+-=，其中0k <．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当1k =-时，求该方程的根．

21．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，连接DE ．

（1）求证：DA =DF ；

（2）若∠ADE =∠CDE =30°，23DE =，求□ABCD 的面积．

22．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，连接AC ，BC ，OP ，AC 与OP 相交于

点D ．

（1）求证：90B CPO ∠+∠=︒；（2）连结BP ，若AC ＝

125

，sin ∠CPO ＝3

5，求BP 的长．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线2

y x

=

的交点为M ，N ．

（1）当点M 的横坐标为1时，求b 的值；

（2）若3MN AB ≤，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．

24．有这样一个问题：探究函数211

8y x x

=

-的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数211

8y x x

=-的图象与性质进行了探究．

下面是小宇的探究过程，请补充完整：

（1）函数211

8y x x

=

-的自变量x 的取值范围是；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：①画出函数214y x =

和2

y x

=-的图象；②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数214y x =和2

y x

=-的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；

③在x 轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点用平滑的曲线连

接起来，得到函数211

8y x x

=

-在y 轴右侧的图象．继续在x 轴负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象．

（3）结合函数211

8y x x

=

-的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；

②该函数还具有的性质为：_________________（一条即可）．

25．某学校共有六个年级，每个年级10个班，每个班约40名同学．该校食堂共有10个窗口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在12岁（含12岁）到18岁（含18岁）之间，平均年龄约为15岁．

小天、小东和小云三位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了60名同学，将收集到的数据进行了整理．

小天从初一年级每个班随机抽取6名同学进行调查，绘制统计图表如下：

小东从全校每个班随机抽取1名同学进行调查，绘制统计图表如下：

小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔10人抽取1人进行调查，绘制统计图表如下：

根据以上材料回答问题：

（1）写出图2中m的值，并补全图2；

（2）小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处；

（3）为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为______窗口尽量多的分配工作人员，理由为___________________________________．

26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：223y ax ax =-+与直线l ：y kx b =+交于A ，B 两点，且

点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上．（1）求点A 的坐标；

（2）若1a =-，求直线l 的解析式；（3）若31k -<<-，求a 的取值范围．

27．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，

连接PA ，PQ ，记BQ kCP =．（1）若60α=︒，1k =，

①如图1，当Q 为BC 中点时，求PAC ∠的度数；②直接写出PA 、PQ 的数量关系；

（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证

明；若不存在，请说明理由．

图1图2

28．对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N

上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具

有关系

()M N ，φ．

（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，则点1(0P ，

2(11)P ，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____；

（2）已知点()20P ，

，点()02Q ，记线段PQ 为图形X ．①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系

()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；

②当图形Y 为以(0)T t ，

⊙T 时，若图形X 与图形X 具有关系()X Y ，φ，求t 的取值范围．

2．海淀区2019年初三第二次模拟考试（答案及评分参考）

数学试卷

2019年6月

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678答案

A

A

B

D

C

D

D

C

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．210．411．4012．813．314．②③

15．7

16．1

三、解答题（本题共

68分，第17-22题，每小题5

分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7

分）

17．（本小题满分5分）

解：原式

=2

4122

+-（=3．

18．

（本小题满分5分）解：原不等式组为482(1)10

32

x x x x ì-<-ï

í+>ï

î，．①②

解不等式①，得3x <．解不等式②，得2x <

．∴原不等式组的解集为2x <．

19．

（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：

（作等弧交于两点P ,Q 点1分，直线PQ 1分）（2）QC

到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等角的余角相等

20．

（本小题满分5分）解：（1）依题意可知，22(21)4(1)54k k k ∆=---=-,

∵0k <,∴0D >．

∴方程有两个不相等的实数根.（2）当1k =-时，方程为230x x +=．

解得123,0x x =-=．

21．（本小题满分5分）

（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴AB ∥CD ．∴∠BAF =∠F ．∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ．∴∠F =∠DAF ．∴AD =FD ．

（2）解：∵∠ADE =∠CDE =30°，AD =FD ，

∴DE ⊥AF ．∵tan ∠ADE ＝3

3

AE DE =

，23DE =，∴2AE =．

∴243ABCD ADE S S AE DE ==⋅= ．

22．

（本小题满分5分）（1）证明：连接OC ，如图.

∵PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，∴OC ⊥PC ，OA ⊥PA ，∠APC =2∠CPO ．∴∠OCP =∠OAP =90°．

∵∠AOC +∠APC +∠OCP +∠OAP =360°，∴∠AOC +∠APC =180°．

∵∠AOC =2∠B ，∴90B CPO ∠+∠=︒．

（2）解：连接BP ，如图．

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．

∴∠ABC+∠BAC =90°．∵90ABC CPO ∠+∠=︒，∴∠BAC =∠CPO =∠APO .

∵AC ＝

125

，sin ∠BAC ＝35,

∴3AB =,32

OA =．∵3

2OA =，sin ∠APO ＝35

,∴

2AP =.

∴PB ==．

23．

（本小题满分6分）解：（1）∵点M 是双曲线2

y x

=

上的点，且点M 的横坐标为1，∴点M 的坐标为（1，2）．∵点M 是直线y x b =+上的点，

∴1b =．

（2）当1b =±时，满足3MN AB =，

结合函数图像可得，b 的取值范围是1b ≤-或1b ≥．

24．（本小题满分6分）

（1）0x ≠；（2

（3）① 1.6-；(在 1.9 1.3至--之间即可)

②该函数的其它性质：

当0x >时，y 随x 的增大而增大.（写出一条即可）

25．

（本小题满分6分）解：（1）15.0

（2）小东．

理由：小天调查的不足之处：仅对初一年级抽样，不能代表该学校学生总体的情况；

小云调查的不足之处：抽样学生的平均年龄为16岁，远高于全校学生的平均年龄，不能代表该学校学生总体情况.

（3）6号和8号（或者只有8；或者5，6，8）．

理由：从小东的调查结果看，这几个窗口受到更多的同学的喜爱，应该适当增加这几个窗口的工

作人员.

注意：（2）（3）的答案不唯一

26．（本小题满分6分）

（1）∵抛物线C ：223y ax ax =-+与y 轴交于点A ，

∴点A 的坐标为（0，3）.

（2）当1a =-时，抛物线C 为223y x x =-++.

∵抛物线C 与x 轴交于点B ，且点B 在x 轴的正半轴上，

∴点B 的坐标为（3，0）.

∵直线l ：y kx b =+过A ，B 两点，

∴330.b k b =⎧⎨+=⎩，解得1,3.

k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 的解析式为3y x =-+.

（3）如图，

当0a >时，

当3a =时，抛物线C 过点B （1，0），此时3k =-.

结合函数图象可得3a >.

当0a <时，

当1a =-时，抛物线C 过点B （3，0），此时1k =-.

结合函数图象可得1a <-.

综上所述，a 的取值范围是1a <-或3a >.

27．

（本小题满分7分）（1）①解：在CM 上取点D ，使得CD =CA ，连接AD .

∵60ACM ∠=︒，

∴△ADC 为等边三角形．

∴60DAC ∠=︒.

∵C 为AB 的中点，Q 为BC 的中点，

∴AC =BC=2BQ .

∵BQ =CP ,

∴AC =BC=CD =2CP .

∴AP 平分∠DAC .

∴∠PAC =∠PAD =30°.

②PA =PQ

.

（2）存在2k =②中的结论成立.

证明：过点P 作PC 的垂线交AC 于点D .

∵45ACM ∠=︒，

∴∠PDC =∠PCD =45°.

∴PC =PD ，∠PDA =∠PCQ =135°.∵2CD PC =，2BQ PC =，

∴CD =BQ .

∵AC =BC ，

∴AD =CQ .

∴△PAD ≌△PQC.

∴PA =PQ .

28．（本小题满分7分）

（1）1P ；

（2）①是，

图1图2

如图1，在直线y x =上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上.这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点.故图形X 与图形Y 满足(),X Y ϕ.

直线y x =与线段PQ 交于点M （1，1），过点M 作MH ⊥y 轴于H ，与1A B 交于点N ，则11MA =，22MN =，可得1A （212-，212

+）.同理可求得2A （212+，212

-）.如图2，在线段PQ 上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，4A 两点.故图形X 与图形Y 满足(),Y X ϕ.

同上可求得3A （212-，212-），4A （212+，212+）.②51t -≤≤-或225t -≤≤.

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