松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学
（满分150分，完卷时间120分钟） 2023.4
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～
12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，2|
1B x x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，则A B = ▲ ． 2．若复数z 满足34i z i ⋅=-，则z = ▲ ．
3．已知空间向量()1,2,3a = ，()2,2,0b =- ，()1,1,c λ= ，若()
2c a b ⊥+
，则λ= ▲ ．
4．已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ,若( 1.96)0.03P X <-=,则(|| 1.96)P X <= ▲ ．
5．已知
2π
θπ<<，且4
cos 5
θ=-，则tan 2θ= ▲ ． 6．在二项式8
1()x x
-的展开式中，含4x 的项的系数是 ▲ ．（结果
用数字作答）
7．将右图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 ▲ mm ．
8．从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队。用A 表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用B 表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则()|P B A = ▲ ．（结果用最简分数表示）
9．参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 ▲ 升． 10．已知(0,
2
x π
∈，则
22
14
sin cos x x
+的最小值为 ▲ ． 11．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，
(
)f x =()2023
2023(
2
f f += ▲ ．
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12．已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2(0)OA a a =>
.若存在
,R m n ∈，使得mAB OA + 与nAB OB +
垂直，且()()
mAB OA nAB OB a +-+= ，
则AB
的最小值为 ▲ ．
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题
选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．
13．已知直线1:10l ax y ++=与直线2:20l x ay +-=，则“1l ∥2l ”是“1a =”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
14．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如
下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 y ax
b =+ ，其中 0.76a =， b y ax =- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 15．若方程()()0f x g x ⋅=的解集为M ，则以下结论一定正确的是（ ）
①{}{}|()0|()0M x f x x g x === ②{}{}|()0|()0M x f x x g x === ③{}{}|()0|()0M x f x x g x ⊆== ④{}{}|()0|()0M x f x x g x ⊇== A．①④ B．②④
C．③④
D．①③④
16．已知函数32
13,3
y x x x a a R =
--+∈，在区间(3,5)t t -+上有最大值，则实数t 的取值范围是（ ） A．60t -<< B．60t -<≤ C．62t -<<
D．62t -<≤
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
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B
D
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2sin b A =．
（1）求角B ；
（2）求cos cos cos A B C ++的最大值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，045ADC ∠=，
2AD AC ==，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M
是PD 的中点．
（1）证明：PB ∥平面ACM ；
（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车.根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多
少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的
18
. ①某位顾客现有a 万元现金，欲购买价值a 万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品.问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）
车型 A B C D E F 价格 9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5% 15% 25% 35% 15% 5%
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20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分
已知椭圆22
12:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线
2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e
，12e e ⋅. 过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、
Q 两点.
(1)求1C 、2C 的方程；
(2)若113AF F B =
，求直线PQ 的方程；
(3)求四边形APBQ 面积的最小值.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分
已知0x >，记()x f x e =，()x g x x =，()ln ()h x g x =.
（1）试将()y f x =、()y g x =、()y h x =中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复
合函数；
（2）借助（1）的结果，求函数(2)y g x =的导函数和最小值； （3）记()()
()f x h x H x x a x
-=
++，a 是实常数，函数()y H x =的导函数是''()y H x =．
已知函数()'()y H x H x =⋅有三个不相同的零点1x 、2x 、3x ．求证：1231x x x ⋅⋅<
.
松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷
参
一、填空题
1．{}1； 2．5 ；3．1- ； 4．0.94 ；5．247- ； 6．28 ；7．50
8．13；9．
811
；10．9；
二、选择题
13．B 14．B 15．C 16．B
三.解答题
17．解：
（1）由2sin b A =
结合正弦定理可得：2sin sin B A A =,……2分
因为△ABC
为锐角三角形，所以sin B =
……4分 故3
B π
=
. ……6分
（2）结合(1)的结论有：
12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=+
+- ⎪⎝⎭
(8)
分 11cos cos 22A A A =-+
+11
cos 22
A A =++ ……9分
1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（或者1cos 32A π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭） ……11分
由203202
A A πππ
⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，
当3A π
=
时，max sin =61A π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭， ……13分
即cos cos cos A B C ++的最大值是3
2
. ……14分
18．解：（1）证明：连接MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 与BD 的交点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以PB MO . ……2分 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB 平面ACM . ……6分 （2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ， 因为M 为PD 的中点，所以MN PO ，且1
12
MN PO =
=, PO ⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，
所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. ……10分 在中，2,1AD AO ==
，所以DO =
，从而12AN DO =
=
，
在,tan MN Rt ANM MAN AN ∆∠=
==中， 所以直线AM 与平面ABCD
所成角大小为arctan
……14分
（也可为
2arcsin 3）.
解法二：可以A 为原点建立空间直角坐标系完成.
19．解：（1）销售一辆车的价格的数学期望E 为：
95%1215%1825%2435%3015%405%21.65E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20000433000E ⨯=（万）43.3=（亿）
所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元. ……6分 （2）①全款购车两年后资产总额为：43%(1 1.8%)=0.0322a a ⋅⋅+ （万元） ……8分 分期付款购车两年后资产总额为：4
3
2
11111( 1.018 1.018 1.018 1.018)2
8
8
88
a ⋅⨯-⨯-⨯-⨯-
432
111.018(1.018 1.018 1.0181)2
8
a ⎡⎤=⋅⨯-⨯+++⎢⎥⎣⎦
44
111 1.0181.0180.02332
81 1.018a a ⎡⎤-=⋅⨯-⨯=⎢⎥-⎣⎦（万元） ……11分 Rt DAO ∆
因为0.0322a 0.0233a >，所以顾客选择全款购车方式收益更多. ……12分 ②由①得：0.0322a 0.02330.000.1888a a -=<
所以21.2134a < 所以，这一措施对购买A 、B 、C 车型有效. ……2分 20.
（1）解：由题意可得：
1e =
2e =，
所以12e e =
==
得：21b = ……3分
所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为. ……4分
（2）解：由（1）可知，因为直线AB 不垂直于轴，设直线AB 的方程为
，
设点、，则111122(1,),(1,)AF x y F B x y =---=+
，
由113AF F B =
得：123y y -=，即：123y y =-
联立可得， 由韦达定理可得， ……6分 将123y y =-
代入得：222222132m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
，化简得：1m =± ， ……8分
当1m =时，弦AB 中点21(,)33M -
，则直线PQ 的方程为1
2y x =-； 当1m =-时，弦AB 中点21(,3
3
M --，则直线PQ 的方程为1
2
y x = ……10分 （3）解：设AB 中点00(,)M x y 由（2）可得
1C 22
12x y +=2C 2212
x y -=()11,0F -y 1x my =-()11,A x y ()22,B x y 22
122
x my x y =-⎧⎨+=⎩()22
2210m y my +--=()()
222442810m m m ∆=++=+>12222m y y m +=
+12
21
2
y y m =-+
，
则
，所以，点， 2
PQ OM m k k ==-
，直线的方程为，
联立可得，所以， 不妨取点、， ……13分 所以点到直线
的距离为，
21
d
点到直线
的距离为
22d
则分
所以，四边形的面积为
分 故当时，四边形的面积取最小值. ……18分
21. 解：（1）()()ln ()ln ln ()x
h x g x x x x x y f h x e e e e x g x =======（）． ……4分 （2）利用复合函数的求导法则可求得()2'(2)22ln 21x
g x x x =+（）， ……6分 令()2'(2)22ln 21x
g x x x =+（）=0，可求得：
当12x e =时，函数()2y g x =的最小值为1
1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ……10分 ()2212
m AB m +==
+022m y m =
+002212x my m =-=-+22
2,22m M m m ⎛
⎫- ⎪++⎝⎭
PQ 2m
y x =-22222
m y x x y ⎧
=-⎪⎨⎪-=⎩2242x m =-2
20m ->P ⎛ ⎝Q P AB Q AB 212d d +=
APBQ ()()2212211
22
m S AB d d m +=+===+=0m =APBQ 2
（3）()()()-f x h x a x
x H x =
++=ln e x
x x x
a -++
由()2222e (1)e (1)1e (1'()1)x x x x x x x x x H x x x x
x +----+=-+==， 可得函数()H x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ……11分 因为函数()y H x =⋅'()H x 有三个不相同的零点1x 、2x 、3x ． 而y ='()H x 的零点为1，不妨设3x =1，则()y H x =的零点为1x 、2x ． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，
1
1
1x >.()1H x =()2=0H x ． ……12分 令1()()K x H x H x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
则()11222
211e 1e (1)1(1)'()e e 11x x x x x x x x x K x x x x x x x
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎛⎫⎝⎭-⎝⎭=+⨯=+-- ⎪⎝⎭. 令1
()e 1x x
p x e x x =+--，则111
211'()111x
x
x x
x P x e e xe e e x x ⎛⎫=+-+⨯=++- ⎪⎝⎭
，
所以当(0,1)x ∈时，'()0p x >，所以当(0,1)x ∈时，()P x 是严格增的， 所以当(0,1)x ∈时，()(1)0p x p <=，所以当(0,1)x ∈时，()0F x '>，
则1()()K x H x H x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
在(0,1)上单调递增， ……15分
所以在(0,1)上1()()K x H x H x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭<(1)0K =，所以111()H x H x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
<0．
又()1H x =()2=0H x ，所以()2110H x H x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()211H x H x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
. ……17分
又函数()y H x =在(1,)+∞上单调递增，所以21
1
x x <
，即121x x <. 综上，1231x x x <. ……18分下载本文
