一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）
1. 点到平面的距离.
2. 设，则.
3.函数=在处方向导数的最大值等于.
4. 交换二次积分的次序=.
5. 函数的麦克劳林公式中项的系数是 .
二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的填在括号内. 每小题2分，共20分）
1.的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B ).
（A）是开集； （B）是闭集；
（C）既是开集又是闭集； （D）两者都不是 .
2.在点处两个偏导数存在是在处可微的( A ).
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充分必要条件； （D）以上都不是.
3. 非齐次线性微分方程 的特解形式( D ).
(A) (B)；
(C)； (D) .
4. 设上半球, 则以下等式错误的是( C ).
（A）； （B）；
（C）； （D） .
5. 设方程确定了函数，则在点处的全微分（ D ）.
（A） （B）
（C） （D）
6. 在下列级数中，唯有（ C ）是收敛的.
（A） （B） （C） （D）
7. 设D由x轴，围成，则（ （B） ）.
（A） （B）
（C） （D）
8. 设可微函数f(x, y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 ( A ) .
(A)在处的导数等于零 （B）在处的导数大于零
(C)在处的导数小于零 (D)在处的导数不存在
9. 幂级数收敛域是 ( A ).
( A ) [-3,3) ( B ) [-3, 3] ( C ) (－3, 3) ( D) (-3, 3]
10. 微分方程的解是( A ) .
（A） （B） （C） （D）
三、计算题：（每小题7分, 共56分）
1. 设，求dz .
解：设
2. 求函数 的极值.
解 解得驻点;
; 故有极小值
3. 计算二重积分，其中是由直线
所围成的平面区域.
解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，
“先后”积分较容易，所以
4. 计算，其中为抛物线 从点到点的一段弧。
解 积分与路径无关。
选取路径
故
5.设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.
解: 所求面积为
6. 判断级数 是绝对收敛还是条件收敛还是发散？
解：
当时，p级数发散，原级数不绝对收敛。
而是交错级数，且
故条件收敛。
7. 设将展开为余弦级数，求.
解: 根据余弦级数的定义，其系数计算公式为，则
=
==1
8．求一阶常微分方程的特解.
四、应用题：（本题8分）
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和
，需求函数分别为，；总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？
解 由已知条件
收益函数
利润函数
于是：
由的唯一驻点
根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，
即：两个市场的售价分别为和时，可获最大利润，最大利润.
五、证明题：（本题6分）：
设，求证：
证明：
