（第Ⅰ卷）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合)(是实数集R R U =,{}{}02112<-=≤≤-=x x x B x x A ，,则()=B C A U （ ）
A ．[]01-，
B ．[]2,1
C ．[]1,0 D.(][)∞+∞，21-
2.已知b a ,为实数，则“55b a <”是“b a 22<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件 3.若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则
21a i i
+-的值为（ ） A ．2 B ．2i - C ．2i D ．i -
4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积（ ）
A
B ． 1
C ．2
D ．4
5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问
题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问
塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为12，则z 的最小值为
A ．6-
B ．3-
C ．3
D ．6
7.向量,a b 均为非零向量， (2),(2)a b a b a b -⊥-⊥ ，则,a b 的夹角为 （ ）
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56
π 8.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是R 上的偶函数，若)3()(f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1≤a
B ．3≥a
C ．31≤≤a D.31≥≤a a 或
9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10016
2016162016=-s s ，则d 的（ ） A ．201
B ．101
C ．10
D ．20
10.已知函数)2,0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π
个单位后得到
的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图象（ ）
A ．关于点)0,12(π
对称 B ．关于直线12π=x 对称
C ．关于点)125,0(π对称
D ．关于直线12
5π=x 对称 11.已知数列}{n a 前n 项和为)13()1(1714118521--+⋅⋅⋅+-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）
A ．57-
B ．37-
C ．16
D ．57
12.已知)('x f 为函数)(x f 的导函数，且12)1(')0(21)(-+-=x e f f x x f ，若x x x f x g +-=22
1)()(，则方程0)(2
=--x x a
x g 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,1 B ．(]1,∞- C ．(]1,0 D ．(){}
10, ∞- 第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若点)1,1(A 在直线03=-+mn ny mx 上，其中，0>mn ，则n m +的最小值为 ．
14.曲线2
1)4sin(2sin )(-+=π
x x
x f 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 . 15.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 .
16.已知函数ln(1),0
()11,02x x
f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m
-的取值范围
是 .
三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分）
17.（10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27
2cos 2sin 42=-+C B
A
（1）求角C ；
（2）若边3=c ，3=+b a ，求边a 和b 的值．
18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n .
（1）求数列{}n a 的通项n a .
（2）设n n a n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19.（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．
（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
20.（12分）已知函数).(2)1()(2
R a x a ax x f ∈++-=
（1）当2=a 时，解不等式1)(>x f ；
（2）若对任意[]3,1-∈x ，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．
21.（12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设13+=
n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围．
22．（12分）已知函数()2ln f x x x ax =-+，
（1）当),1(+∞∈x 时，函数)(x f 为递减函数，求a 的取值范围；
（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <, 求证1202x x f +⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
（3）证明当2≥n 时，1ln 1
4ln 1
3ln 1
2ln 1
>++++n
数学试题（答案）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.D
2.B
3.C
4.B
5.A
6.A
7.B
8.D
9.B 10.D 11.A 12.D
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.34 14.21
15.丁 16. [32ln 2,2)-
三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分）
17.(1)解:由 272cos 2sin 42=-+C B A ，及π=++C B A 得[]2
7
1cos 2)cos(122=+-+-C B A
即01cos 4cos 42=++C C ， .............................（3分）
故1)1cos 2(2=-C 解得21cos =C 30ππ=∴< 22-+= 而21 cos =C ， 21 22 22=-+∴ab c b a ab c b a =-+∴2223=c 又............................（7分） ab b a 33)(2=-+∴2=∴ab 3=+b a 又................................（8分） 联立⎩⎨⎧==+23ab b a ⎩⎨⎧= =⎩⎨⎧==∴12 21b a b a 或..................................（10分） 18.（1）),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n ......................（1分） 两式相减得1122---=-n n n n a a S S 12-=∴n n a a ， )2(21 * -∈≥=∴N n n a a n n ，即数列{a n }是等比数列．..........................（3分） ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n ..........（5分） （2）n n n c 2)1(+= n n n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-…①................（7分） 143 22)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T …②...............（8分） ①﹣②得143 22)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n T ) 1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ..........................................（10分） 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n ...........................................（11分） 12+⋅=∴n n n T ................ ........ ......................（12分） 19.解：（1）由题设知1 π ()[1cos(2)]26f x x =++．..........................（1分） 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π 26 x + πk =，..........（2分） 即0 π2π6x k =- （k ∈Z 所以0011π ()1sin 21sin(π)226 g x x k =+=+-.........（4分） 当k 为偶数时，01π13()1sin 124g x ⎛⎫ =+ -=-= ⎪⎝⎭，.......................（5分） 当k 为奇数时，01π15 ()1sin 124 g x =+ =+=..............................（6分） （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+= ++++ ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣⎦ 1π311 3cos 2sin 2sin 2262222 x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭ 1π3sin 2232 x ⎛ ⎫=++ ⎪⎝⎭．.................................................（9分） 当πππ2π22π232k x k - ++≤≤，即5ππ ππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232 h x x ⎛ ⎫= ++ ⎪⎝⎭是增函数，..............................（11分） 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡ ⎤ - +⎢⎥⎣ ⎦ ，（k ∈Z ）．..........（12分） 20.解：（1）2=a 时，函数232)(2 +-=x x x f ， 01321)(2>+-∴>x x x f ，解得12 1 > 121> 讨论：①当0=a 时，2)(+-=x x f 在区间[]3,1-上是单调减函数， 且0123)3(<-=+-=f ，不满足题意；.................................（6分） ②当0>a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为2 12121>+= a x ， 若 32121<+a ，则51>a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)2121(≥+a f ， 即0162≤+-a a ，解得223223+≤≤-a ，取 2235 1 +≤32121≥+a ，则5 10≤a ，取5 1 61≤≤a ；.............................................（9分） 当01 2121<+= a x ， 函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ，解得6 1 ≥ a ，此时a 不存在； 综上，实数a 的取值范围是 2236 1 +≤≤a ．............................（12分） 21.解：（1）∵点),(n S n 在函数x x x f 23)(2 -=的图象上，n n S n 232-=∴ )2(58321≥+-=∴-n n n S n )2(561≥-=-=∴-n n S S a n n n ,................(3分) 11S a = )1(56≥-=∴n n a n .........................................（6分） （2）[])1 61 561(215)1(6)56(331+--=-+-== +n n n n a a b n n n .............（7分） )1611(21)161561()13171()711(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n …（9分） 122 1 <∴ 22.（1）11 20)(')1,0()(≤-≤≤∴∈a x x a x f x x f ，易知则为减函数，在 ..（4分） （2）由于12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x < 所以，22111222ln 0,ln 0x x ax x x ax -+=-+= 两式相减得：()()22221211 ln 0x x x a x x x --+-=，()212121ln x x a x x x x ∴=++- ()()2122 1211211212 1221212ln ln 22=2x x x x x x x x x x f x x a x x x x x x x x --++⎛⎫ '∴-++=-= ⎪ ++--⎝⎭.....(5分) 要证明1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，只需证()2121212ln 0x x x x x x --<+，即只需证212211 21ln 1 x x x x x x ⎛⎫- ⎪ ⎝⎭>+ 设21 1x t x =>，构造函数()() ()()()()2 2221114ln ,0111t t h t t h t t t t t t --'=-=-= >+++ ()h t 在()+∞1，单调递增，()()()21ln 101 t h t t h t -∴=- >=+ 212211 21ln 1x x x x x x ⎛⎫ - ⎪⎝⎭∴>+，1202x x f +⎛⎫'∴< ⎪⎝⎭...........................（8分） (3)由（1）可知，1=a 时，1>x ,x x x -<<2ln 0 01ln 12>->∴ x x x ,) 1(1 111ln 12>--=->∴n n n n n n ..............（10分）. n n n n n n 1 1111)31-21()21-1(ln 1)1ln(14ln 13ln 12ln 12-=--+⋅⋅⋅++>+-+⋅⋅⋅+++≥∴）（时 11 1>- n 而即不等式成立.............................................（12分）下载本文
