数 学 试 卷

（本试卷满分120分 考试时间120分钟）

一.选择题.（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，期中为中心对称图形的是（   ）

2.将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（  ）

A.0,3         B.0,1           C.1,3            D.1，-1

3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=40°，则∠AOB的度数为（   ）

A.20°        B.40°          C.80°           D.100°

4.若是一元二次方程的两个根，则的值是（   ）

A.3           B.-2            C.-3             D.2

5.若二次函数配方后为，则c、h的值分别为（    ）

A.8、-1       B.8、1          C.6、-1          D.6、1

6.若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（  ）

A.-2＜a＜4    B.a＜4          C.a＞-2          D.a＞4或a＜-2

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都

是整数，若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得

到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心

的坐标是（   ）

A.（0,0）   B.（1,0）  C.（1，-1）   D.（0.5,0.5）

8.有一个患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，

则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（   ）

A.10        B.11       C.60          D.12

9.二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

（3）-1是方程的一个根；  （4）当-1＜x＜2时，＜0

其中正确的个数为（   ）

A.4个           B.3个          C.2个         D.1个

10.已知：AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=3，AB=4，BC=6，则△PCD的面积的最小值是（    ）

A.2             B.4             C.8           D.9

二.填空题（本题共有6题，每小题3分，共18分）

11.已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则ab的值为        .

12.请写出一个开口向上，顶点为（3,2）的抛物线的解析式            .

13.如图，在Rt△OAB中，∠B=90°，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△，则∠=         .

14.如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上一点，连OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB=       .

15.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=          .

16.如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，CB=4，AB=AC=AD=3，则BD的长为        .

第10题图                     第13题图                第14题图         第16题图

三.解答题（本题共9题，共72分）

17.（本小题满分6分）解方程： 

18.（本小题满分6分）已知抛物线的对称轴为y轴，且过点C（0，3）.

（1）求：此抛物线的解析式；

（2）若点（-2，）与（3，）在此抛物线上，则    （填“＞”、“”＝或“＜”）

19.（本小题满分6分）如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB

20.（本小题7分）已知二次函数（m是常数）.

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；

（2）当m=1时，该函数的图像沿y轴向下平移h个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点，则h=   ；所得新抛物线的解析式为               .

21.（本小题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2,4）、

B（1,0）、C（5,1）.

（1）画出△ABC关于x轴对称的△，其中A、B、C分别

和、、对应，则点的坐标为      .

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△，

其中A、B、C分别和、、对应，画出

△，则点的坐标为       ；

（3）△与△关于点         

成中心对称

22.（本小题满分8分）如图，在半径为5 的⊙O中，AB是直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若点E是半圆的中点，AD和⊙O交于点F，AF=6，连接FE，交AC于点G，连结OG，求.

23.（本小题满分10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓，我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务。

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式。

（2）当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

（3）当售价x（元/台）满足什么条件时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）不低于70000元？

24.（本小题10分）已知直线AB绕着点A顺时针旋转α°到AG，作B点关于直线AG的对称点I，交直线AG于点F，连结DI交直线AG于点H

（1）如图1，当α=30°时，连BD，则∠BDI=      .

（2）如图2，连CH，求证：CH⊥AG；

（3）如图3，当α=60°，若AB=，则CH=       

25.（本小题满分12分）抛物线（a是常数，a≠0）过点（2，-1），与过点D（0，-1）的直线y=kx+b交于M、N两点（M在N的左边）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当k=时，点P是直线MN上方的抛物线上一动点，当最大时，求带点P的坐标；

（3）求证：无论k取何值，直线y=1总与以MN为直径的圆相切.

2014～2015学年度第一学期期中试题

九年级数学参

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的标号填在下面的表格中.)

11． 5    12． y= （x-3）2 +2     13． 70 0    14．   15． y= a（1+x）2      16． 

三、解答题：（本大题共7个小题.共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．解：∵，，………… (3分)

∴   ………… (4分)

∴

         ………… (5分)

∴，           ………… (6分)

18．解：⑴ ∵抛物线的对称轴为轴       

∴                     ………… (2分)

又∵抛物线过点

∴                     ………… (3分)

∴抛物线的解析式为：………… (4分)

⑵                    ………… (6分)

19．证： ∵ 

∴    =         ………… (2分)

∴    =         …………（4分）

∴ DC=AB       …………(6分)

20．解： (1) ∵，， 

∴

                    ………… (4分)

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．………… (5分)

⑵h=   3    ；所得新抛物线的解析式为：．………… (7分) 

21．解： (1)如图所示：即为所求，其中点坐标为………… (3分)

(2) 如图所示：即为所求，其中点坐标为………… (6分)

(3)                    …………(7分)

22．(1)证明：连接OC       ……………… 1分

∵CD与⊙O相切

∴OC⊥ CD．          ……………… 2分 

∴∠OCD =90°

∵AD⊥ CD．

∴∠ADC =90°

∴∠OCD +∠ADC =180°

∴AD∥OC            ……………… 3分

∴∠ACO =∠CAD 

∵OA、OC为⊙O半径

∴OA=OC

∴∠ACO =∠CAO

∴∠CAD =∠CAO

∴AC平分∠DAB        ……………… 4分         

(2)解：连接BF，过点G分别作GP⊥ AB，GM⊥ AD，

      GN⊥ FB，垂足为点P、M、N，       

∵AB是⊙O直径，半径为5

∴∠AFB =90°  AB=10

在Rt△AFB中由勾股定理得

BF=8

∵GM⊥ AD，GN⊥ FB，

∴∠GMF =∠GNF =∠AFB =90°

∴四边形MGNF是矩形

∵点E是半圆的中点

∴∠AFE =∠BFE

∴EF平分∠AFB 

∴GM=GN

∴矩形MGFN是正方形

∴MF=FN=MG=GN……………… 5分

又AC平分∠DAB

∴点G为⊙O的内心

又GP⊥ AB，GM⊥ AD， GN⊥ FB

∴点P、M、N为△ABF与内切圆⊙G的切点

且GP=GM=GN     ……………… 6分

∴设MF=a，则由切线长定理得：

AM=AP=6-a

BN=BP=8-a

由AP+BP=AB，可得

（6-a）+（8-a）=10

解得：a=2      ……………… 7分

FM=GP=2，

∴      ……………… 8分

 23．解：（1）……………… 3分

（2）设每月的利润元．

∵售价不低于330元/台

∴

∵数量不低于450元

∴

即： 

∴

∴……………… 4分 

  ……………… 5分

∵

二次函数，开口向下，对称轴为：直线，

又∵，在对称轴右侧，随的增大而减小……………… 6分

∴当时有最大值，w最大=71500

答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．……………… 7分

（3）当利润为70000元时，即得： 

解得：, ……8分

 如图所示：当时， ……9分

又∵

∴时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润不低于700000元．……… 10分 

24．（1）30°……………… 3分

（2）连接AC、AI、BH．

∵B、I关于直线AG对称

∴AG垂直平分BI    

∴AI=AB，HI=HB 

∠AIH=∠ABH……………… 4分

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠ABC=∠BCD =∠ADC =90°

∴AI=AB=AD

∴∠AIH=∠ADH=∠ABH     ……………… 5分

又  ∠AKD=∠BKH

∴∠BAD=∠BHD =∠BCD =90° ……………… 6分

∴A、H、B、C、D在以BD为直径的圆上……………… 7分

∴∠AHC=∠ABC=90°

∴CH⊥AG     ……………… 8分

 (3)………………10分

25．(1)解：把（2，-1）代入得：

  ………………1分

解得：………………2分

∴所求抛物线解析式为：………………3分

⑵解：过P点作直线m∥MN

则，设直线m的解析式为： 

当直线m与抛物线相切时，最小，………………4分

即：有唯一解

则：方程有两个相等的实数根………………5分

∴有两个相等的实数根

∴

∴………………6分

则

∴， 

∴P点坐标为：………………7分

注：本小问其余解法比照给分

⑶如图2，取MN的中点E，取AB的中点C，分别过点M、N作直线的垂线，垂足分别为A、B，连、MC并延长MC交NB的延长线于点H

∴MA∥NB

∠MAB=∠ABH=，∠AMC=∠BHC，AC=BC

∴△AMC≌△BHC

∴AM=BH，MC=HC

在△MHN中

∵MC=HC

ME=EN

∴∥且………………8分

设， 

则， 

∴， 

过M作MG⊥轴于G

在Rt△MDG中由勾股定理得

∴………………9分

同理

∴………………10分

∵∥NB∥

∴∠MAB=∠ECB=

∴⊥直线………………11分

∴

∴无论取何值，直线总与以为直径的圆相切．………………12分

注：本小问其余解法比照给分下载本文