一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0}，集合A={0，1，2}，则∁U A=（）

A. {-1，3}

B. {-1，0}

C. {0，3}

D. {-1，0，3}

2.复数i（3-i）的共轭复数是（）

A. 1+3i

B. 1-3i

C. -1+3i

D. -1-3i

3.已知函数f（x）=x3+3x．若f（-a）=2，则f（a）的值为（）

A. 2

B. -2

C. 1

D. -1

4.函数f（x）=sin x+cos x的最小正周期是（）

A. 2π

B.

C. π

D.

5.如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E

＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）

A. CE

B. CF

C. CG

D. CC1

6.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7.若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是（）

A. b＞a

B. b＜a

C. |b|＜|a|

D. |b|＞|a|

8.设数列{}的前n项和为S n，则S10=（）

A. B. C. D.

9.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为

（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，

n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的-个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）

816

357

492

A. 75

B. 65

C. 55

D. 45

11.已知双曲线C=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px

（p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，

cos∠PF1F2=，则双曲线C的离心率为（）

A. 或

B. 或3

C. 2或

D. 2或3

12.三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为

+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O表面积的最小值为（）

A. π

B.

C. 2π

D. 4π

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50

的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为______

14.若cos（+α）=，则cos2α的值等于______．

15.已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是______

16.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），直线l：y=k（x-1）+2，设点A关于直

线l的对称点为B，则•的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B=b+c．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）记△ABC的外接圆半径为R，求的值．

18.某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾

病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随

机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，

30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．

年龄（单位：

[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]岁）

保费（单位：

306090120150元）

（Ⅰ）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；

（Ⅱ）现分别在年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于200元的概率．

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥

平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．

（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；

（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M-PAD与三棱锥P-DEF的体积相等，求的值．

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为

F1，F2，且|F1F2|=2．P是椭圆C上任意一点，满足|PF1|+|PF2|=2．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，M为线段AB的中点，求|OM|的最大值．21.已知函数f（x）=x lnx-2ax2+x，a∈R．

（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以

坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．

23.已知函数f（x）=x2-a|x-1|-1，a∈R．

（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0）={x∈Z|-1≤x≤3）}={-1，0，1，2，3}，

集合A={0，1，2}，则∁U A={-1，3}，

故选：A．

求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义进行求解是解决本题的关键．

2.答案：B

解析：解：∵i（3-i）=3i-i2=1+3i，

∴复数i（3-i）的共轭复数是1-3i．

故选：B．

直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3.答案：B

解析：解：∵f（x）是奇函数，且f（-a）=2；

∴f（-a）=-f（a）=2；

∴f（a）=-2．

故选：B．

容易看出f（x）是奇函数，从而根据f（-a）=2即可求出f（a）=-2．

看出奇函数的定义及判断方法．

4.答案：A

解析：解：∵f（x）=sin x+cos x

=（

=，

∴T=2π，

故选：A．

把三角函数式整理变形，变为f（x）=A sin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．

本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．

5.答案：B

解析：解：如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，

CF，

在正方体ABCD-A1B l C1D1中，由于A1F AC，

又OC=AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，

可得：A1O∥CF，

又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，

可得CF∥平面ABD．

故选：B．

连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，由A1F AC，又OC=AC，可证四边

形A1OCF为平行四边形，可得A1O∥CF，利用线面平行的判定定理即可得解．

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．6.答案：D

解析：【分析】

本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义．

作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．

【解答】

解：作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：

由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，

作直线2x+y=0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大，

由，可得B（2，0），此时z=4．

故选：D．

7.答案：C

解析：解：令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，

∴a=log2t=，b=log3t=，

∴|a|-|b|=-=|lg t|•＞0，

∴|a|＞|b|．

故选：C．

令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，将指数式化成对数式得a，b后，然后取绝对值作差比较可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

8.答案：A

解析：解：=，

所以：，

=，

=，

所以：．

故选：A．

首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

9.答案：B

解析：解：根据程序框图：执行循环前：a=0，b=0，n=0，

执行第一次循环时：，a=1，b=2，

所以：92+82≤40不成立．

继续进行循环，

…，

当a=4，b=8时，

62+22=40，

所以：n=1，

由于a≥5不成立，执行下一次循环，

当a=5时，

输出结果n=2

故选：B．

直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．

本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

10.答案：B

解析：解：由1，2，3，4…24，25的和为=325，

又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：

“5阶幻方”的幻和为=65，

故选：B．

先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．

本题考查了对“即时定义”的理解及进行简单的合情推理，属中档题．

11.答案：D解析：【分析】

设PF1=m，PF2=n，根据cos∠PF1F2=和抛物线

性质得出PF2=m，再根据双曲线性质得出

m=7a，n=5a，最后根据余弦定理列方程得出a，

c间的关系，从而可得出离心率．

本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，属于中

档题．

【解答】

解：过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂

足分别为M，N，

不妨设PF1=m，PF2=n，则F1M=PN=PF2=PF1cos∠PF1F2=，

∵P为双曲线上的点，则PF1-PF2=2a，即m-=2a，故m=7a，n=5a．

又F1F2=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得=，

化简可得c2-5ac+6a2=0，即e2-5e+6=0，

解得e=2或e=3．

故选：D．

12.答案：C

解析：【分析】

由题意画出图形，设AB=AC=x，AA1=y，由三棱柱的侧面积可得．利用分割补形

法结合基本不等式求三棱柱外接球半径的最小值，则答案可求．

本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查分割补形法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

【解答】

解：如图，

设AB=AC=x，AA1=y，则三棱柱的侧面积为，

得．

把三棱柱补形为长方体，则其对角线长为．

当且仅当，即x=，y=1时上式取“=”．∴三棱柱外接球半径的最小值为，表面积的最小值为．

故选：C．

13.答案：180

解析：【分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．【解答】

解：由分层抽样的定义得=，得n=12×15=180，

即该单位的女职工人数为180，

故答案为180.

14.答案：

解析：解：∵cos（+α）=-sinα=，

∴sinα=-，

∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（-）2=．

故答案为：．

由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

15.答案：

解析：解：公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，

可得：，

可得（a2+4d）2=a2（a2+10d），可得8d=a2

则===．

故答案为：．

利用等差数列以及等比数列的通项公式，化简求出公差与a2的关系，然后转化求解的

值．

本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．16.答案：[-1，3]

解析：解：根据题意，设B的坐标为（m，n），

又由AB关于直线y=k（x-1）+2对称，则有，解可得：，则B的坐标为（1-，），

则=（1-，），=（1，0），

则•=1-，

当k=0时，•=1，

当k＞0时，•=1-，此时k+≥2=2，-1≤•≤1，

当k＜0时，•=1-，此时k+=-[（-k）+]≤-2，此时有1＜•≤3；

综合可得：-1≤•≤3，

故答案为：[-1，3]．

根据题意，设B的坐标为（m，n），分析可得，解可得m、n的值，即可得B的坐标，则有=（1-，），=（1，0），由数量积的计算公式可得•=1-，分类讨论k的值，求出•的取值范围，综合即可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出B的坐标，属于基础题．

17.答案：解：（I）由正弦定理得sin A cos B=sin A+sin C

又sin C=sin（A+B）．

∴sin A cos B=sin A+sin A cos B+cos A sin B．

即cos A sin B+sin B=0，

∴cos A=-，

∵0＜A＜π，∴A=

（II）由余弦定理得b2+c2-a2=2bc cos A=-bc．

∴==sin2A，

∵：A=，∴sin2A=，

即=sin2A=．

解析：（Ⅰ）由正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可

（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理进行转化求解即可

本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．

18.答案：解：（Ⅰ）∵（0.007+0.018+a+0.025+0.020）×10=1，

解得a=0.030，

设该样本年龄的中位数为x0，则40＜x0＜50，

∴（x0-40）×0.030+0.018+0.07=0.5，

解得．

（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，

从5人中任选2人的基本事件有：

（a20，a60），（a20，a90），（a20，a120），（a20，a150），（a60，a90），（a60，a120），（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共10种，

事件“两人保费之和大于200元”包含的基本事件有：

（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共4种，

∴这2人所交保费之和大于200元的概率p=．

解析：（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质能求出a的值和该样本年龄的中位数．（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人所交保费之和大于200元的概率．

本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.答案：（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵PA=PD，且E是AD的中点，

∴PE⊥AD，…1分

又∵面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PE⊥平面ABCD，…2分

∵BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PE，…3分

又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，

∴EF∥AC，BD⊥AC，

∴BD⊥EF，…4分

又BD⊥PE，PE∩EF=E，

∴BD⊥平面PEF；…6分

（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设=λ，则=，

∴V M-PAD=V B-PAD=V P-ABD，…8分

又V P-DEF=V P-ACD=V P-ABD，…10分

∵V M-PAD=V P-DEF，

∴=，解得：λ=，即=．…12分

解析：（Ⅰ）连接AC，可得PE⊥AD，利用面面垂直的性质可证PE⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可证BD⊥PE，由EF∥AC，BD⊥AC，可证BD⊥EF，BD⊥PE，PE∩EF=E，利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PEF；

（Ⅱ）连接MA，MD，设=λ，则=，利用V M-PAD=V P-DEF，可得=，进而解得λ的值，即可得解的值．

本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．

20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆定义可知2a=2

∴a=，

由|F1F2|=2可得c=1

∴b2=a2-c2=1

椭圆方程为

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0

∴x1+x2=，x1x2=，=16k2-8m2+8＞0

∴M（），OM2=，

|AB|==2

化简可得，

∴=

令4k2+1=t≥1，则OM2===4-2

当且仅当t=时取等号

∴|OM|=即|OM|的最大值

解析：本题主要考查了利用椭圆定义及性质求解椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用，试题具有一定的综合性 .

（Ⅰ）由椭圆定义可求a，结合已知可求c，再由b2=a2-c2可求b，即可求解

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，可求x1+x2，x1x2，进而可求M，OM2，结合已知|AB|=2及弦长公式可得，代入后

利用基本不等式可求.

21.答案：解：（I）f′（x）=ln x-4ax+2，

若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，

即4a≥在（0，+∞）上恒成立．

令g（x）=，则g′（x）=，

∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

∴g（x）的最大值为g（）=e，

∴4a≥e，即a≥．

∴a的取值范围是[，+∞）．

（II）∵f（x）有两个极值点，

∴f′（x）=0在（0，+∞）上有两解，

即4a=有两解，由（1）可知0＜a＜．

由ln x1-4ax1+2=0，ln x2-4ax2+2=0，可得ln x1-ln x2=4a（x1-x2），

不妨设0＜x1＜x2，

要证明x1+x2＞，只需证明＜，

即证明＞ln x1-ln x2，

只需证明＞ln，

令h（x）=-ln x（0＜x＜1），

则h′（x）=＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1）=0，即＞ln x在（0，1）上恒成立，

∴不等式＞ln恒成立，

综上，x1+x2＞．

解析：本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，考查导数与函数单调性的关系，属于中档题．

（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）=的最大值即可得出a的范围；

（II）令=x，根据分析法构造关于x的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立

即可．

22.答案：解：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，

由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，

∴直线l的直角坐标方程为x +y=1．

（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），

代入（x-2）2+y2=1得t2+3+1=0，

设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2=-3＜0，t1t2=1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3

解析：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，

∴直线l的直角坐标方程为x +y=1

（Ⅱ）根据参数的几何意义可得．

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.答案：解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x2-4|x-1|-1=，

当x≥1时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，即此时f（x）≥-1，

当x＜1时，f（x）=x2+4x-5=（x+2）2-9≥-9，即此时f（x）≥-9，

综上f（x）≥-9，即函数f（x）的值域为[-9，+∞）．

（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2-a|x-1|-1≥a|x+1|，

即a（|x+1|+|x-1|）≤x2-1，即a≤在区间[0，2]内有解，

当0≤x≤1时，a≤==，

当0≤x≤1时，-≤≤0．此时a≤0，

当1＜x≤2时，a≤===（x-），

当1＜x≤2时，0＜（x-）≤，此时a≤，

综上a≤，

即实数a的取值范围是（-∞，]．

解析：（Ⅰ）当a=4时，结合绝对值的应用，将函数转化为二次函数，利用二次函数的最值性质进行求解．

（Ⅱ）（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，等价为a≤在区间[0，2]内有解，利用不等式的性质求出的最大值即可．

本题主要考查函数与方程的应用，结合绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键．下载本文