例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，
⑴求二次函数的解析式；
⑵在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
例2、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。 ⑴求圆心的坐标； ⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数
y＝－x的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。
例3、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。 ⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； ⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； ⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
例4、已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）．
（1）求抛物线的顶点的坐标；
（2）求的面积；
（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由．
例5、如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由
例6、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．
例7、如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
例8、已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作
x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ
的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，
并指出t的取值范围；当t为何值时，
S有最大值或最小值．
例9、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
例10、如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时
S最小，并求出这个最小值.
例11、在矩形中，，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系．然后将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点上，则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上（如图）．
（1）求经过三点的二次函数解析式；
（2）设直线与（1）的二次函数图象相交于另一点，试求四边形的周长．
（3）设为（1）的二次函数图象上的一点，求点的坐标．
例12、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点的坐标分别为和．
（1）求点的坐标；
（2）求所在直线的解析式；
（3）设过点的抛物线与直线的另一个交点为，问在该抛物线上是否存在点，使得为等边三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例13、已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
