数学试题（理科）
完卷时间：120分钟 试卷分值：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设A、B为非空集合,定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，
若则A*B=（ ）
A．（0，2） B．（1,2）
C．[0,1]∪[2，+∞） D．[0,1]∪（2，+∞）
2．等比数列首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部，则数列的前项的和为 （ ）
A． B． C． D．
3．把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．设则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量，则的夹角是 （ ）
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
8．若函数内有极小值，则实数b的取值范围是 （ ）
A．（0，1） B．（—，1） C．（0，+） D．（0，）
9．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 （ ）
A． B．
C． D．
10．设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题5分，满分25分）
11．在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则= 。
12．把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则=
13．已知函数在[1，2]上的表达式为，若对于x∈R，有，且，则的值为 ；
14．三棱锥的两个面是边长为的等边三角形，另外两个面是等腰直角三角形，则这个三棱锥的体积为
15．选做题（考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分）
（1）（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是 。
（2） （不等式选讲选做题）若，且，则的最小值为 。
三、解答题：本大题共有6个小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（本小题满分12分）
设函数．
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设A，B，C为△ABC三个内角，若，且C为锐角，求sinA。
17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足为正整数，且是等差中项。
（1）求数列通项公式；
（2）若求使成立的正整数n的最小值。
18．（本小题满分12分）
甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅。
（1）求线路信息通畅的概率；
（2）求线路可通过的信息量X的分布列；
（3）求线路可通过的信息量X的数学期望。
19．（本小题满分12分）已知棱长为1的正方体AC1，E，F分别是B1 C1和C1D1的中点
（1）求点A1到平面BDFE的距离
（2）求直线A1D与平面BDFE所成的角
20．（本小题满分13分）
设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，—1），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在斜率为，且过定点的直线l，使得l与椭圆交于两个不同点M，N，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
