专题简析： 在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。 

解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商

变化求出因数或被除数、除数。 

例题1  小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。正确的和是多少？ 

思路导航：把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位上的4看作1，少了3个1，这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的和是241＋33=274。

例题 2】 小马虎在做一道减法时, 把减数十位上的 2看作了 5, 结果得到的差是 342,

正确的差是多少?

【思路导航】 十位上的 2表示 2个十, 十位上的 5表示 5个十, 把十位上的 2看作 5, 就是把 20看作 50,减数从 20变为 50,增加了 30,所得的差减少了 30,应在 342中增加 30,才是正确的差。

340+30=372

例题 3】 小马虎在计算一道题目时,把某数乘 3加 20,误看成某数除以 3减 20,得 数是 72。某数是多少?正确的得数是多少?

【思路导航】 小马虎计算得到 72,是先除再减得到的,我们可以根据逆运算的顺序把 72先加后乘,求出某数为(72+20)×3=276,然后再按题目要求,按运算顺序求出正确 的数 276×3+20=848。

二.用对应法解题

专题简析： 小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法。 在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。 

 例题1  奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？ 

思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 4千克梨＋5千克荔枝=58元    （1） 6千克梨＋5千克荔枝=62元    （2） 比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了6－4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2元，那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。

例题2  学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元？

思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 3个足球＋4个排球=190元    （1） 6个足球＋2个排球=230元    （2） 我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再观察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元，然后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元，也就是6个排球是150元，一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元。

例题3  商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？ 

思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式： 红气球的个数＋蓝气球的个数=21    （1） 蓝气球的个数＋黄气球的个数=28    （2） 黄气球的个数＋红气球的个数=29    （3） 我们可将（1）＋（2）＋（3），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个数，由此，可得出三种气球的总只数：78÷2=39只。然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出黄气球的只数：39－21=18只；同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是39－29=19只。

例题4  三年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？ 

思路导航：“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵；“75棵不是二班种的”，说明一班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说明一班和二班共种73棵。这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110棵。用110－72=38棵就是一班种的棵数，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的棵数。

例题 5  已知 13个李子的重量等于 2个苹果和 1个桃子的重量, 而 4个李子和 1个苹果的重量等于 1个桃子的重量。 问多少个李子的 重量等于 1个桃子的重量?

思路导航:根据题意列出等式:

13李 =2苹+1桃 (1)

4李+1苹 =1桃 (2)

把(2)式代入(1)式得:13李 =2苹+4李+1苹

即 9李 =3苹,即 3李 =1苹 (3)

把(3)式代入(2)式得:4李+3李 =1桃

即:7李 =1桃

三.盈亏问题

盈亏问题是一类生活中很常见的问题. 按不同的方法分配物品时, 经常发生不能均 分的情况.如果有物品剩余就叫盈,如果物品不够就叫亏,这就是盈亏问题的含义.:

 盈亏问题的数量关系是： 

   （1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数   

       （大盈－小盈）÷两次分配差=份数   

       （大亏－小亏）÷两次分配差=份数   

   （2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量  

        每次分得的数量×份数－亏=总数量

例1 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？ 

分析  每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少11个梨，这说明小猴子的总只数为：12＋11＝23（只），也就是说：不足的个数＋多余的个数＝小猴子的只数 解  小猴子的只数为：12＋11＝23（只） 梨子的个数为： 23×6＋12＝150（个）或：23×7－11＝150（个） 答：有23只小猴子，150个梨。

 例2 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？  

 分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：   每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。   第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）   每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。   共有砖：4×9＋7＝43（块）。   解：（7+2）÷（5-4）=9（人）   4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）   答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。  

 如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？   由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数. 

  例3 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？   

分析 题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6

个,也就是每天多吃 2个时,苹果从多出 48个到少 8个,也就是所需的苹果总 数要相差 48+8=56(个) . 从这个对应的变化中可以看出,只要求 56里面含有 多少个 2,就是所求的计划吃的天数;有了计划吃的天数,就不难求出共有多少 个苹果了。

解 :(48+8)÷(6-4)

=56÷2

=28(天)

6×28-8=160(个)或  4×28+48=160(个)

答:妈妈买回苹果 160个,计划吃 28天。

如果条件“每天吃 4个,多出 48个”不变,另一条件改为“每天吃 6个, 则还多出 8个”,问苹果应该有多少个,计划吃多少天?

分析 改题后每天吃的苹果个数没有变,也就是说每天多吃 2个条件没变, 苹果总数由原来多出 48个变为多出 8个 . 那么所需苹果总数要相差:48-8=40(个) 解 :(48-8)÷(6-4)

=40÷2

=20(天)

4×20+48=128(个)或  6×20+8=128(个)

答:有苹果 128个,计划吃 20天 .

例 4学校规定上午 8时到校, 小明去上学, 如果每分种走 60米, 可提早 10分钟到校;如果每分钟走 50米,可提早 8分钟到校,求小明几时几分离家刚好 8时到校?由家到学校的路程是多少?

分析 小明每分钟走 60米,可提早 10分钟到校,即到校后还可多走 60×10=600(米);如果每分钟走 50米,可提早 8分钟到校,即到校后还可多走 50×8=400(米),第一种情况比第二种情况每分钟多走 60-50=10(米),就可 以多走 600-400=200(米),从而可以求出小明由家到校所需时间。

解:① 10分种走多少米? 60×10=600(米)

②  8分种走多少米? 50×8=400(米)

③需要多长时间?

(600+400)÷(60-50) =20(分钟)

④由家到校的路程:

60×(20-10) =600(米)

或 :50×(20-8) =600(米)

答:小明 7点 40分离家去上学刚好 8时到校;小明的家离校有 600米。

 例 5学校为新生分配宿舍 . 每个房间住 3人,则多出 23人;每个房间住 5人,则空出 3个房间 . 问宿舍有多少间?新生有多少人?

分析 每个房间住 3人,则多出 23人,每个房间住 5人,就空出 3个房间, 这 3个房间如果住满人应该是 5×3=15(人) . 由此可见, 每一个房间增加 5-3=2 (人) . 两次安排人数总共相差 23+15=38(人),因此,房间总数是:

38÷2=19(间),学生总数是:3×19+23=80(人),或者 5×19-5×3=80 (人)。

解:(23+5×3)÷(5-3)

=(23+15)÷2

=38÷2

=19(间)

3×19+23=80(人)或  5×19-5×3=80(人)。

答:有 19间宿舍,新生有 80人。

四.简 单 推 理

一、知识要点

解答推理问题, 要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。 推理要有条理地进行, 要充分利用已经得出的结论,作为进一步推理的依据。

【例题 1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量, 4袋牛肉干的重等于一包巧克力 的重量,一袋饼干等于几袋牛肉干的重量?

【思路导航】 根据“一包巧克力的重量 =两袋饼干的重量”与“ 4袋牛肉干的重量 =一包 巧克力的重量”可推出:两袋饼干的重量 =4袋牛肉干的重量。因此,一袋饼干的重量 =两袋 牛肉干的重量。

【例题 2】 一头象的重量等于 4头牛的重量,一头牛的重量等于 3匹小马的重量,一匹 小马的重量等于 3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量?

【思路导航】 根据 “一头象的重量等于 4头牛的重量” 与 “一头牛的重量等于 3匹小马 的重量”可推出:“一头象的重量等于 12匹小马的重量”,而“一匹小马的重量等于 3头 小猪的重量”,因此,一头象的重量等于 36头小猪的重量。

【例题 3】 根据下面两个算式,求○与□各代表多少?○+○+○ =18

○+□ =10

【思路导航】 在第一个算式中, 3个○相加的和是 18,所以○代表的数是:18÷3=6, 又由第二个算式可求出□代表的数是:10-6=4.

【例题 4】 根据下面两个算式,求○与△各代表多少?

△-○ =2                            ○+○+△+△+△ =56

【思路导航】 由第一个算式可知,△比○多 2;如果将第二个算式的○都换成△,那么 5个△ =56+2×2,△ =12,再由第一个算式可知,○ =12-2=10.

【例题 5】 甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生,在区运动会上他们分别获 得跳高、跳远和垒球冠军。已知:二小的是跳远冠军;一小的不是垒球冠军,甲不是跳高冠 军; 乙既不是二小的也不是跳高冠军。 问:他们三个人分别是哪个学校的?获得哪项冠军?

【思路导航】 由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的;因为“一 小的不是垒球冠军” , 所以一小一定是跳高冠军, 三小的是垒球冠军; 由 “甲不是跳远冠军” , “乙既不是二小的也不是跳高冠军” 可知,一小的甲是跳高冠军, 二小的丙是跳远冠军,三 小的乙是垒球冠军。

八．年龄问题

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

  年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

  解答年龄问题的一般方法是：

  几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

  几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。

  例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

分析 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。

  解：①爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁）

  ②妈妈的年龄：39-6=33（岁）

  答：爸爸的年龄是39岁，妈妈的年龄是33岁。

  例2父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

分析 父女年龄差是50-14=36（岁）.不论是几年前还是几年后，这个差是不变的.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是父亲比女儿多的5-1=4（倍）所对应的年龄。

  解：（50-14）÷（5-1）=9（岁）

  当时女儿9岁，14-9=5（年），也就是5年前。

  答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍.

知识点说明：

一、年龄问题变化关系的三个基本规律

1.两人年龄的倍数关系是变化的量.

2.每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；

3.两个人之间的年龄差不变

二、年龄问题的解题要点是：

1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．

2．关键：抓住“年龄差”不变．

3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式．

4．陷阱：求过去、现在、将来。

年龄问题变化关系的三个基本规律：

1．两人年龄的差是不变的量；

2．两人年龄的倍数关系是变化的量；

年龄问题的解题正确率保证：验算！

例题精讲

【例 1】小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？

1【解析】这道题有两种解答方法：

方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年[6+6=12]（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（36+6）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大[42-12=30]（岁）．

列式：（36+6）-（6+6）=30（岁）

方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（36-6=30）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便．

列式：36-6=30（岁）

答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁．

九．用还原法解题讲义

用还原法解题，一般用倒退法，简单说，就是倒过来想。根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想。

例1：一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。

分析：我们从最后结果432出发倒着推理。最后乘以8得432，要还原就应该除以8，即：432÷8=54；加上15，要还原就应该减15，即：54－15=39；减24，要还原就应该加上24，即：39＋24=63。

列式如下：         432÷8－15＋24=63

答：这个数是63。

例2：甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人的本数同样多，乙原来比丙多多少本？

分析：根据“乙给丙5本后，三个人的本数同样多”可知乙比丙多2个5本：5×2=10本；而这10本中有3本是甲给乙的，要还给甲3本，乙就只比丙多10－3=7本。

列式如下：               

5×2=10本10－3=7本

答：乙原来比丙多7本。

例3：李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？

线段图：                   

 分析：从图中可以看出，剩下的65个鸡蛋加上10个就等于余下的一半。余下的个数=（65＋10）×2=150（个）。而余下的150个加上10个就等于总数的一半，总数=（150＋10）×2=320（个）。

列式如下：  

余下的个数=（65＋10）×2=150（个）

总数=（150＋10）×2=320（个）。

答：李奶奶原来有320个鸡蛋。

十假设法解题思路

假设是数学中思考问题的一常见的方法, 有些应用题乍看很难求 出答案,但是如果我们合理地进行假设,往往会使问题得到解决。所 谓假设法就是依照已知条件进行推算, 根据数量上出现的矛盾, 作适 当的调整,从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用 假设法解决问题的一个范例。

解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是:

兔数 =(总脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)

用假设法解答类似 “鸡兔同笼”的问题时,可以根据题意假设几 个量相同,然后进行推算, 所得结果与题中对应的数量不符合时,要 能够正确地运用别的量加以调整,从而找到正确的答案。

例题 1鸡、兔共 30只,共有脚 84只。鸡、兔各有多少只? 

思路导航:

假设全是鸡,共有脚:30×2=60只;

比实际少:84-60=24只;

这是因为把 4只脚的兔子都按 2只脚的鸡计算了。

每把一只兔子算作一只鸡,少算:4-2=2只脚,现在共少算了 24只脚,说明把:24÷2=12只兔子按鸡算了。所以,共有兔子 12只,有鸡 30-12=18只。

例题2  鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？

 思路导航：因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。 兔的只数：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；   鸡的只数：18＋30=48只。

例题3  某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，得了84分。做错了几题？

 思路导航：这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考。 若全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。为什么会少24分，因为做错一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以错了24÷12=2题。

例题4  水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？

 思路导航：水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃1块巧克力糖，3块水果糖，那若干天后，两种糖正好同时吃完。现在小红每天吃2块水果糖，少吃3－2=1块，结果若干天后水果糖还剩下7块。所以共吃了7÷1=7天，水果糖有2×7＋7=21块。

例题5  学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？

 思路导航：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”，则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌，那么1650元就相当于8＋3=11张办公桌的价钱。 所以，每张办公桌：1650÷11=150元   每把椅子：150÷2=75元。

十一抽屉原理

一、 抽屉原理就是：有10个苹果分别放进9个抽屉中，至少有一个抽屉中放有两个苹果。这就是抽屉原理。 

二、 第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。 

第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

1、基本型

将 n+1个苹果 任意放到 n 个抽屉 中,至少有一个抽屉中有不少于 2个苹果(即至少有 2个苹果在同一个抽屉中)

2、加强型

将 m 个苹果 任意放到 n 个抽屉 中(m>n) ,

(1)m÷n是整数,至少有一个抽屉中的苹果不少于 m÷n个;

(2)m÷n有余数,至少有一个抽屉中的苹果不少于[m÷n]+1个,即“m÷n的商再加 1”个。 注:基本型其实是加强型中的一种特殊形式。

三、做题关键——如何找抽屉和苹果

想象抽屉原理的场景,即把 2个苹果放进 相同 的一个抽屉里。那么具体到题中重点体会是把 “谁谁谁”放进 相同 的什么东西里。相同的这个东西就是抽屉, “谁”和“谁”就是苹果。

注意:找抽屉的个数时往往考察到同学们的计数知识。对于简单的用枚举法,对于稍微复杂 的要会熟练运用加乘原理。

四、答题步骤

1、说明什么是抽屉,什么是苹果,以及各自的数量

2、抽屉原理的结论——“根据抽屉原理,至少……”

3、回答题目问题——“即……

五、常见题型

1、考察存在性

例 1:雷锋小组由 13人,张老师说:“你们这个小组至少有 2个人在同一个月过生日。 ”你知 道为什么张老师这么说吗?

解析 :结论是“至少有 2个人在同一个月过生日” 。即把 2个人放进同一个月里。那么“月” 就是抽屉,人就是苹果。

答:将月份看做抽屉,一年共有 12个月,将人看做苹果,共有 13人。将每人根据生日对应 的月份放进相应的“抽屉”中。根据抽屉原理,至少有 2个苹果在同一个抽屉中,即至少有 2个人在同一个月过生日。

例 2 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友在一起做游戏, 每人可以从口袋中随意取出 2个球,那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜 色完全一样。你能说明为什么吗?

解析:结论是“总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样” 。一样的东西是抽屉, “两个

球的颜色”就是抽屉。那么“取法”就是抽屉,人就是苹果。

答:从三种颜色的球中挑选 2个球,取法共有 6种:红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝。 将这 6种取法看做抽屉,7个小朋友看做苹果。根据抽屉原理,至少有 2个苹果在同一个抽屉 中,即至少有 2个小朋友取出的两个球的颜色完全一样。

浅谈抽屉原理问题解题技巧

桌上有十个苹果, 要把这十个苹果放到九个抽屉里, 无论怎样放, 我们会发 现至少会有一个抽屉里面放两个苹果 [是“至少两个苹果”吧? ]。 这一现象就是 我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合, 每一个苹果就可以代表一个元素, 假如有 n+1或多于 n+1个元素放到 n 个集合中 去,其中必定至少有一个集合里有两个元素 [这个定义是有问题的。苹果的问题 还可以认为抽屉不能空, “多于 N+1个元素在 n 个集合中必定有两个元素的集合” 无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中 一个重要的原理 [这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里 也是“至少有 2个苹果”

一.基础题型

【浅谈抽屉原理问题解题技巧

桌上有十个苹果, 要把这十个苹果放到九个抽屉里, 无论怎样放, 我们会发 现至少会有一个抽屉里面放两个苹果 [是“至少两个苹果”吧? ]。 这一现象就是 我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:如果每个抽屉代表一个集合, 每一个苹果就可以代表一个元素, 假如有 n+1或多于 n+1个元素放到 n 个集合中 去,其中必定至少有一个集合里有两个元素 [这个定义是有问题的。苹果的问题 还可以认为抽屉不能空, “多于 N+1个元素在 n 个集合中必定有两个元素的集合” 无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中 一个重要的原理 [这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里 也是“至少有 2个苹果”

一.基础题型

【例 1】从一副完整的扑克牌中至少抽出()张牌才能保证至少 6张牌的花 色相同?

A.21B.22

C.23D.24

解析:题目要求保证:6张牌的花色相同 . 考虑最不利情形:每种花色取 5张,一共 20张,然后抽出大小王共 2张,总共 22张,再证 6张花色相同,共 23张 . 因此,答案选 C.

【例 2】一副无“王”的扑克牌,至少抽取几张,方能使其中至少有两张牌 具有相同的点数?()

A.10B.11

C.13D.14

解析:题目要求:两张牌具有相同的点数 . 考虑最不利情形:从中任取一种 花色的牌 13张,每张牌点数都不同,再抽取任何一张点数都会重复,总共抽取 14张。因此,答案选 D.

【例 3】调研人员在一次市场调查活动中收回了 435份调查试卷,其中 80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码 . 那么调研人员至少需要从这些调查表 中随机抽出多少份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者? ()

A.101B.175

C.188D.200

解析:题目要求保证:两个手机号码后两位相同 . 手机号码后两位共有种不 同组合 . 考虑最不利情形:先抽中了份没有填写手机号码的问卷,再抽中了 100份手机号码后两位各不相同的问卷, 再任意抽取任何一份问卷, 手机号码后两位 都会重复,总共抽取 188份 . 因此,答案选 C.

【例 4】某区要从 10位候选人中投票选举,现规定每位选举人必 须从这 10位中任选两位投票 . 问至少要有多少位选举人参加投票, 才能保证有不 少于 10位选举人投了相同的两位候选人的票?

A.382B.406

C.451D.516

解析:题目要求保证:不少于 10位选举人投了相同的两位候选人 . 根据题意, 不同的选票有种 . 考虑最不利情形:45种选票方式都被投了 9次,再有一位选举 人,就会有 10位选举人投了相同的两位候选人的票,一共投票次,所以至少要 有 406人选举人 . 因此,答案选 B.

可以看出 , 题目中出现“至少„„,才能保证„„”的问法时, 首先考虑抽屉 原理,找到“最不利”情形,迅速得到答案 .

二.应用题型 [不知道老师是否真正地知晓“抽屉原理”的含义,抽屉原理 不等于最不利原则, 无论是从数学上还是从行测上都不等于。 抽屉原理不能解决 文章这一部分多集合重复题目, 因为抽屉原理证明的是 n+k个元素在 n 个集合中 的存在性, 而非集合重复情况的讨论。 抽屉原理的推论和应用是确定且可证明的, 但是多集合重复的答案是逆向思维的情形构造,不可用抽屉原理证明。 ]

抽屉原理证明。 ]

【例 1】共有 100个人参加某公司的招聘考试,考试内容共有 5道题, 1~5题分别有 80人, 92人, 86人, 78人和 74人答对,答对了 3道和 3道以上的人 员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试?

A.30B.55

C.70D.74

解析:想要“通过考试的人员尽量少”,就要让“未通过考试的人员尽量 多”.1~5题答错的总数为 . 考虑最不利情形:恰好每人答错 3道题,这样未能 通过考试的人数会最多,即 30人 , 则至少有 70人通过考试 . 因此 , 答案选 C.

【例 2】某班 40名同学在期末考试中,语文,数学,英语三门课成绩优秀 的分别有 32人, 35人, 33人,三门课都优秀的人数至少是()?

A.32B.28

C.24D.20

解析:想要“三门课都优秀的人尽量少”, 就要让“至少一门课不优秀的人 尽量多”.各门分别有 8人, 5人, 7人未达到优秀,共人次 . 考虑最不利情形:这 20人次分配给 20个不同的人,就能保证三门课不都优秀的人数最多,即 20人 , 则至少有人三门课都优秀 . 因此,答案选 D.

【例 3】有 10个学生,其中任意 5个人的平均身高都不小于 1.6米,那么 其中身高小于 1.6米的学生最多有多少人?()

A.3B.4

C.5D.6

解析:题目要求:身高小于 1.6米的学生最多 . 考虑最不利情形:1次把最 矮的 5个学生全部选中, 且这 5个人的平均身高都不小于 1.6米, 这就意味着最 多会有 4个人身高低于 1.6米, 而另外 1个人的身高高于 1.6米 , 即身高小于 1.6米的学生最多 4人 . 因此,答案选 B.

可以看出 , 题目中出现“3个或者 3个以上的满足不同条件的集合时”,而 问题中出现“„„都满足的至少有多少个”的问法时,也要首先考虑抽屉原理, 找到反向“最不利”情形,进而迅速得到答案 .

【例 1】从一副完整的扑克牌中至少抽出()张牌才能保证至少 6张牌的花 色相同?

A.21B.22

C.23D.24

解析:题目要求保证:6张牌的花色相同 . 考虑最不利情形:每种花色取 5张,一共 20张,然后抽出大小王共 2张,总共 22张,再证 6张花色相同,共 23张 . 因此,答案选 C.

【例 2】一副无“王”的扑克牌,至少抽取几张,方能使其中至少有两张牌 具有相同的点数?()

A.10B.11

C.13D.14

解析:题目要求:两张牌具有相同的点数 . 考虑最不利情形:从中任取一种 花色的牌 13张,每张牌点数都不同,再抽取任何一张点数都会重复,总共抽取 14张。因此,答案选 D.

【例 3】调研人员在一次市场调查活动中收回了 435份调查试卷,其中 80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码 . 那么调研人员至少需要从这些调查表 中随机抽出多少份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者? ()

A.101B.175

C.188D.200

解析:题目要求保证:两个手机号码后两位相同 . 手机号码后两位共有种不 同组合 . 考虑最不利情形:先抽中了份没有填写手机号码的问卷,再抽中了 100份手机号码后两位各不相同的问卷, 再任意抽取任何一份问卷, 手机号码后两位 都会重复,总共抽取 188份 . 因此,答案选 C.

【例 4】某区要从 10位候选人中投票选举,现规定每位选举人必 须从这 10位中任选两位投票 . 问至少要有多少位选举人参加投票, 才能保证有不 少于 10位选举人投了相同的两位候选人的票?

A.382B.406

C.451D.516

解析:题目要求保证:不少于 10位选举人投了相同的两位候选人 . 根据题意, 不同的选票有种 . 考虑最不利情形:45种选票方式都被投了 9次,再有一位选举 人,就会有 10位选举人投了相同的两位候选人的票,一共投票次,所以至少要 有 406人选举人 . 因此,答案选 B.

可以看出 , 题目中出现“至少„„,才能保证„„”的问法时, 首先考虑抽屉 原理,找到“最不利”情形,迅速得到答案 .

二.应用题型 [不知道老师是否真正地知晓“抽屉原理”的含义,抽屉原理 不等于最不利原则, 无论是从数学上还是从行测上都不等于。 抽屉原理不能解决 文章这一部分多集合重复题目, 因为抽屉原理证明的是 n+k个元素在 n 个集合中 的存在性, 而非集合重复情况的讨论。 抽屉原理的推论和应用是确定且可证明的, 但是多集合重复的答案是逆向思维的情形构造,不可用抽屉原理证明。 ]

抽屉原理证明。 ]

【例 1】共有 100个人参加某公司的招聘考试,考试内容共有 5道题, 1~5题分别有 80人, 92人, 86人, 78人和 74人答对,答对了 3道和 3道以上的人 员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试?

A.30B.55

C.70D.74

解析:想要“通过考试的人员尽量少”,就要让“未通过考试的人员尽量 多”.1~5题答错的总数为 . 考虑最不利情形:恰好每人答错 3道题,这样未能 通过考试的人数会最多,即 30人 , 则至少有 70人通过考试 . 因此 , 答案选 C.

【例 2】某班 40名同学在期末考试中,语文,数学,英语三门课成绩优秀 的分别有 32人, 35人, 33人,三门课都优秀的人数至少是()?

A.32B.28

C.24D.20

A.32B.28

C.24D.20

解析:想要“三门课都优秀的人尽量少”, 就要让“至少一门课不优秀的人 尽量多”.各门分别有 8人, 5人, 7人未达到优秀,共人次 . 考虑最不利情形:这 20人次分配给 20个不同的人,就能保证三门课不都优秀的人数最多,即 20人 , 则至少有人三门课都优秀 . 因此,答案选 D.

【例 3】有 10个学生,其中任意 5个人的平均身高都不小于 1.6米,那么 其中身高小于 1.6米的学生最多有多少人?()

A.3B.4

C.5D.6

解析:题目要求:身高小于 1.6米的学生最多 . 考虑最不利情形:1次把最 矮的 5个学生全部选中, 且这 5个人的平均身高都不小于 1.6米, 这就意味着最 多会有 4个人身高低于 1.6米, 而另外 1个人的身高高于 1.6米 , 即身高小于 1.6米的学生最多 4人 . 因此,答案选 B.

可以看出 , 题目中出现“3个或者 3个以上的满足不同条件的集合时”,而 问题中出现“„„都满足的至少有多少个”的问法时,也要首先考虑抽屉原理, 找到反向“最不利”情形,进而迅速得到答案 .下载本文