(试用)

高等数学课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：

1．一元函数微积分学，

2．向量代数和空间解析几何，

3．多元函数微积分学，

4．无究级数（包括傅里叶级数），

5．常微分方程

6． 数学实验

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。本文用黑体字排印的属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。

一、函数、极限、连续

1．理解函数的概念。

2．了解函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

3．理解极值、最值、凹凸性、拐点、连续（直观）等概

念。

4．掌握基本初等函数的性质及其图形

5．了解函数的几种表示方法、初等函数、反函数、分段函

数、隐函数（由一个方程和参数方程确定）的概念。

6．理解复合函数的概念。

7．会建立简单实际问题中的函数关系式（了解建立数学模型

的基本过程）。

8．了解微积分的两个基本问题（切线、面积问题）

9．会用数学软件分析函数的基本性质。

10. 理解极限的概念（对极限的、定义可在学习过程中逐步加

深理解，对于给出求N或不作过高要求。）

11. 掌握极限四则运算法则。

了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用

两个重要极限求极限。

12．理解无穷小、无穷大，以及无究小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

13．函数在一点连续的概念。

14．了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

15．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小

值定理）。

16．会用数学软件分析函数极限。

二、一元函数微分学

1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的

关系。

2．会用导数描述一些物理量。

3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数。了解微分的四则运算法则。理解(了解)一阶

微分形式不变性。

4．了解高阶导数的概念。

5．掌握初等函数（一阶、二阶）导数的求法。

6．会求隐函数的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

7．理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。

8．了解柯西（Cauchy）定理，理解(了解)泰勒（Taylor）定理。

9．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

10．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐渐线）。会求解较简单的

最大值和最小值的应用问题。

11．会用洛必达（L’Hospital）法则求不定式的极限。

12．了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲线的曲率半径。13．理解(了解)求方程近似解的二分法和切线法。

14．用数学软件分析函数图形和泰勒定理的简单应用。

三、一元函数积分学

1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．会用（掌握）不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与积分法。

3．会用待定系法，会求简单的有理函数的积分。

4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。

5．了解广义积分的概念。

6．理（了）解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

7．掌握元素法，并会用元素法（定积分表达一些）解决几何、物理及经济量的（如面积、体积、弧长、功、引力

等）的问题。

8．会用数学软件求积分及其近似值。

四、向量代数与空间解析几何

1．解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2．握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件。

3．握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向时运算的方法。

4．握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5．解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的

柱面方程。

6．解空间曲线的参数方程和一般方程。

7．解曲面的交线在坐标平面上的投影。

8．会用数学软件分析空间三维图形。

五、多元函数微分学

1．理解多元函数的概念。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4．了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5．掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6．会用克莱母法则，求解线性方程组，了解线性代数方程组解的机构。

7．会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数的方法。

8．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

9．理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些

较简单的最大值和最小值的应用问题。

10. 会用数学软件求简单的优化问题

六、多元函数积分学

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直

角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4．会计算两类曲线积分。

5．掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

6．了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）、斯托克斯（Stokes）公式并会计算

两类曲面积分。

7．了解散度、旋度的概念及其计算方法。

8．会用元素法（重积分、线积分及面积分）解几何、物理与经济量（如体积、

曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。

9．了解用数学软件求各类数值积分。

七、无穷级数

1．理解无穷级数敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条

件。

2．掌握几何级数P—级数的收敛性。

3．了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

5．了解函数项级数的收敛及和函数的概念。

6．掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。

7．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

8．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

9．会利用的马克劳林（Maclaurin）展开成幂级数。

10．了解冥级数在近似计算上的简单应用。

11．了解摄动法。

12．了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的迪利克雷（Dirichlet）条件及方法，

了解（会）将定义在（-π，π）和（-l，l）上的函数展开为傅里叶级数，并

会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。

13．会用数学软件解简单的函数逼近问题。

八、常微分方程

1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3．会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的

思想，了解（会解）全微分方程，里卡迪(Riccati)方程。

4． 用降阶法解下列方程和

5．理解二阶线性微分方程解的结构。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常

系数齐次线性微分方程的解法。

7．会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特

解。

8． 学会一种求微分方程数值解方法(如、差分法，迭代法及

欧拉-柯西法中选一种)

9． 会建立简单实际问题的微分方程模型，并会用数学软件求

其解（会用微分方程解一些简单的几何和物理问题）。

10．会用数学软件求解微分方程精确解和数值解。

说明

1．数学软件的介绍与高等数教学内容同步进行。一般高等数学一个段落之后，相应的介绍软件和实习。习题课是完成高数学教学教学基本要求的一个重要的教学环节，习题课学时不应少于总学时的

15%（1/6），且以小班上课为宜。

2．符号表示与原基本要求不同之处。

3小括弧（）内表示原基本要求的内容。

4基本要求保留了原基本要求的核心（绝大多数内容），增加一些新要求。有些原基本要求要中一些条款进行了调整。

5本基本要求是根据现代数学改革的成果和结合民族预科生的教学特点制定的，还在检验当中。下载本文