本试卷适用佳木斯、鹤岗、双鸭山、鸡西、七台河、牡丹江、伊春.

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．全卷共三道大题,总分120分

一、选择题（每小题3分,共30分）

1. 下列运算正确的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

2. 下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（    ）

A.       B.       C.         D.   

3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成,它的俯视图和左视图如图所示,那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（    ）

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

4. 已知一组数据的平均数是1,则这组数据的众数是（    ）

A.     B. 5    C. 和5    D. 1和3

5. 如图,在长为,宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是,则小路的宽是（    ）

A.     B.     C. 或    D. 

6. 已知关于x的分式方程的解是非负数,则的取值范围是（    ）

A.     B.     C. 且    D. 且

7. 某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本（三种图书都要买）,此次采购的方案有（    ）

A. 5种    B. 6种    C. 7种    D. 8种

8. 如图,是等腰三角形,过原点,底边轴,双曲线过两点,过点作轴交双曲线于点,若,则的值是（    ）

A.     B.     C.     D. 

9. 如图,在平面直角坐标中,矩形的边,将矩形沿直线折叠到如图所示的位置,线段恰好经过点,点落在轴的点位置,点的坐标是（    ）

A.     B.     C.     D. 

10. 如图,在正方形中,点分别是上的动点,且,垂足为,将沿翻折,得到交于点,对角线交于点,连接,下列结论正确的是：①;②;③若,则四边形是菱形;④当点运动到的中点,;⑤．（    ）

A. ①②③④⑤    B. ①②③⑤    C. ①②③    D. ①②⑤

二、填空题（每小题3分,共30分）

11. 据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天,全国营运性客运量约5699万人次,将5699万用科学记数法表示为__________．

12. 函数y=中,自变量x的取值范围是____________．

13. 如图,在矩形中对角线,交于点,请添加一个条件______________,使矩形是正方形（填一个即可）

14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些小球除标号外完全相同,随机摸出两个小球,恰好是一红一白的概率是__________．

15. 关于的不等式组有3个整数解,则实数的取值范围是__________．

16. 如图,是的直径,切于点A,交于点,连接,若,则__________．

17. 已知圆锥的母线长,侧面积,则这个圆锥的高是__________．

18. 在中,,点是斜边的中点,把绕点顺时针旋转,得,点,点旋转后的对应点分别是点,点,连接,,在旋转的过程中,面积的最大值是__________．

19. 矩形中,,将矩形沿过点的直线折叠,使点落在点处,若是直角三角形,则点到直线的距离是__________．

20. 如图,在平面直角坐标系中,的顶点A在直线上,顶点B在x轴上,垂直轴,且,顶点在直线上,;过点作直线的垂线,垂足为,交x轴于,过点作垂直x轴,交于点,连接,得到第一个;过点作直线的垂线,垂足为,交x轴于,过点作垂直x轴,交于点,连接,得到第二个;如此下去,……,则的面积是__________．

三、解答题（满分60分）

21. 先化简,再求值：,其中．

22. 如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点坐标分别是,．

（1）将向上平移4个单位,再向右平移1个单位,得到,请画出．

（2）请画出关于轴对称的．

（3）将着原点顺时针旋转,得到,求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．

23. 如图,抛物线与轴交于两点,交轴于点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）拋物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．

24. 某中学开展主题为“垃圾分类,绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在,将他们的得分按A：优秀,B：良好,C：合格,D：不合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）这次学校抽查的学生人数是__________人;

（2）将条形图补充完整;

（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________;

（4）如果该校共有2200人,请估计该校不合格的人数．

25. 已知甲,乙两地相距,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距,货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象,结合图象回答下列问题：

（1）图中的值是__________;

（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式;

（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中,货车出发多长时间与出租车相距．

26. 如图①,和是等边三角形,连接,点F,G,H分别是和的中点,连接．易证：．

若和都是等腰直角三角形,且,如图②：若和都是等腰三角形,且,如图③：其他条件不变,判断和之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明．

27. 2023年5月30日上午9点31分,神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空,某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播,学校准备为同学们购进A,B两款文化衫,每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元,用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．

（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

（2）已知毕业班的同学一共有300人,学校计划用不多于14800元,不少于14750元购买文化衫,求有几种购买方案？

（3）在实际购买时,由于数量较多,商家让利销售,A款七折优惠,B款每件让利m元,采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同,试求m值．

28. 如图,在平面直角坐标系中,菱形的边在x轴上,,的长是一元二次方程的根,过点C作x轴的垂线,交对角线于点D,直线分别交x轴和y轴于点F和点E,动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动,动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发,设运动时间为t秒．

（1）求直线的解析式．

（2）连接,求的面积S与运动时间t的函数关系式．

（3）点N在运动的过程中,在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A,C,N,Q为项点的四边形是矩形．若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,说明理由．

2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题试卷答

一、选择题.

1. C

2. A

3. B

4. C

5. A

6. C

7. B

8. C

9. D

解：∵矩形的边,.

∴,,.

由题意知.

∴.

又∵.

∴.

∴.

由折叠知,.

∴.

∴,即.

连接,设与交于点F.

∴.

∵.

∴四边形是矩形.

∴,,.

∴.

由折叠知,.

∴.

∵在中,.

∴.

解得：.

∴点的坐标是.

故选：D．

10. B

解：四边形是正方形.

,.

.

.

.

.

.

,故①正确.

将沿翻折,得到.

.

∵.

,故②正确.

当时,.

.

,即在同一直线上.

.

.

通过翻折的性质可得,.

∴,.

.

四边形是平行四边形.

.

平行四边形是菱形,故③正确.

当点运动到的中点,如图.

设正方形的边长为,则.

在中,.

.

.

.

.

.

.

.

,.

,.

.

在中,,故④错误.

.

.

,.

.

根据翻折的性质可得.

.

.

,故⑤正确;

综上分析可知,正确的是①②③⑤．

故选：B．

二、填空题.

11.  

12.  

13. 或

14. 

15.  

16.  34

17.   12

18.   

解：如图,在中,,,点是斜边的中点.

∴,,.

∴.

过点A作交的延长线于点G.

∴.

又∵在旋转的过程中,点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动,.

∴点F到直线的距离的最大值为,（如图,G,A,F三点共线时）

∴面积的最大值.

故答案为：．

19.   6或或

解：由题意矩形沿过点的直线折叠,使点落在点处.

可知点E在以点A为圆心,长为半径的圆上运动.

如图,延长交的另一侧于点E,则此时是直角三角形.

点到直线的距离为的长度,即.

当过点D的直线与圆相切与点E时,是直角三角形,分两种情况.

①如图,过点E作交于点H,交于点G.

∵四边形是矩形.

∴.

∴四边形是矩形,

∵,,.

由勾股定理可得.

∵.

∴.

∴到直线的距离.

②如图,过点E作交于点N,交于点M.

∵四边形是矩形.

∴.

∴四边形是矩形,

∵,,.

由勾股定理可得.

∵.

∴.

∴到直线的距离.

综上,6或或.

故答案为：6或或．

20. 

解：∵.

∴.

∵轴.

∴点A的横坐标为.

∵.

∴点A的纵坐标为.

∴.

∴.

∵.

∴设,则.

∴.

∴.

∴.

.

∵.

∴.

∴平分.

∵,.

∴.

∵,.

∴.

∴.

∴.

∴

.

∵.

∴.

∴.

∵,,.

∴.

∴.

∴.

∴,.

∵轴,轴.

∴,.

∵轴,轴,轴.

∴.

∴,.

∵.

∴,.

∴.

∵.

∴.

同理.

∴.

.

∴.

∴．

故答案为：．

三、解答题.

21. ,原式

22. （1）见解析    （2）见解析    

（3）

【小问1详解】

解：如图所示,即为所求;

【小问2详解】

如图所示,即为所求;

【小问3详解】

将着原点顺时针旋转,得到.

设所在圆交于点D,交于点E.

,.

.

,.

.

.

,,.

.

故线段在旋转过程中扫过的面积为．

23.（1）    

（2）存在,点的坐标为或

【小问1详解】

解：因为抛物线经过点 和点两点,所以

.

解得

.

所以抛物线解析式为：．

【小问2详解】

解：如图,设线段的中点为,可知点的坐标为,过点作与平行的直线,假设与抛物线交于点, （在的左边）,（在图中未能显示）．

设直线的函数解析式为．

因为直线经过点和,所以

.

解得.

所以,直线的函数解析式为：．    

又.

可设直线的函数解析式为.

因为直线经过点 ,所以

．

解得．

所以,直线的函数解析式为．

根据题意可知.

．

又.

所以,直线上任意一点与点,点连线组成的的面积都满足．

所以,直线与抛物线的交点,即为所求,可得

.

化简,得

.

解得.

所以,点的坐标为,点的坐标为．

故答案为：存在,点的坐标为或．

24. （1）40    （2）见解析    

（3）    

（4）220人

【小问1详解】

解：人.

∴这次学校抽查的学生人数是人.

故答案为：40;

【小问2详解】

解：由（1）得C：合格的人数为人.

补全统计图如下所示：

【小问3详解】

解：.

∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是.

故答案为：;

【小问4详解】

解：人.

∴估计该校不合格的人数为220人．

25. （1）120    （2）    

（3）或

【小问1详解】

解：结合图象,可得.

设直线的解析式为.

将代入解析式,可得,解得.

直线的解析式为.

把代入,得.

故答案为：120;

【小问2详解】

解：根据货车停下来装完货物后,发现此时与出租车相距.

可得此时出租车距离乙地为.

出租车距离甲地为.

把代入,可得,解得.

货车装完货时,,可得.

根据货车继续出发后与出租车相遇,可得（出租车的速度+货车的速度）.

根据直线的解析式为,可得出租车的速度为.

相遇时,货车的速度为.

故可设直线的解析式为.

将代入,可得,解得.

直线的解析式为.

故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为;

【小问3详解】

解：把代入,可得,解得.

.

.

根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地,可得,

.

出租车返回时的速度为.

设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t小时,与出租车相距.

此时货车距离乙地为,出租车距离乙地为.

①出租车和货车第二次相遇前,相距时;

可得.

解得.

②出租车和货车第二次相遇后,相距时;

可得.

解得.

故在出租车返回的行驶过程中,货车出发或与出租车相距．

26. 图②中,图③中,证明见解析

解：图②中,图③中.

图②证明如下：

如图②所示,连接.

∵点F,G分别是的中点.

∴是的中位线.

∴.

同理可得.

∵和都是等腰直角三角形,且.

∴.

∴.

∴.

∴.

∵.

∴ 

.

∴是等腰直角三角形.

∴;

图③证明如下：

如图③所示,连接.

∵点F,G分别是的中点.

∴是的中位线.

∴.

同理可得.

∵和都是等腰三角形,且.

∴.

∴.

∴.

∴.

∵.

∴ 

.

∴是等边三角形.

∴．

27. （1）A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元   

（2）一共有六种购买方案    

（3）

【小问1详解】

解：设A款文化衫每件x元,则B款文化衫每件元.

由题意得,.

解得.

检验,当时,.

∴是原方程的解.

∴.

∴A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元.

答：A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元;

【小问2详解】

解：设购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件.

由题意得,.

解得.

∵a是正整数.

∴a的取值可以为275,276,277,278,279,280.

∴一共有六种购买方案;

【小问3详解】

解：设购买资金为W元,购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件.

由题意得, 

.

∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同.

∴W的取值与a的值无关.

∴.

∴．

28. （1）;    

（2）;    

（3）存在,点Q的坐标是或．

【小问1详解】

解：解方程得：,.

∴.

∵四边形是菱形,.

∴,.

∴.

∴.

过点A作于H.

∵.

∴,.

∴.

设直线的解析式为.

代入,得：.

解得：.

∴直线的解析式为;

 【小问2详解】

解：由（1）知在中,,.

∴,.

∵直线与 y轴交于点E.

∴.

∴.

∴是等边三角形.

∴,.

∴.

∴.

①当点N在上,即时.

由题意得：,.

过点N作于P.

则.

∴;

②当点N在上,即时.

由题意得：,.

过点N作于T.

则.

∴;

综上,;

【小问3详解】

解：存在,分情况讨论：

①如图,当是直角边时,则,过点N作于K.

∵,.

∴,.

∴.

∴.

∴,.

∴将点N向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到点C.

∴将点A向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到点Q.

∵.

∴;

②如图,当是对角线时,则,过点N作于L.

∵,.

∴是等边三角形.

∴.

∴.

∴.

∴.

∴将点C向右平移3个单位长度,再向上平移个单位长度得到点N.

∴将点A向右平移3个单位长度,再向上平移个单位长度得到点Q.

∵.

∴;

∴存在一点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形是矩形,点Q的坐标是或．

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