欧阳光明（2021.03.07）

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1..

（A）   （B）（C）  （D）不可导.

2..

  （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；   （B）是等价无穷小；

  （C）是比高阶的无穷小；         （D）是比高阶的无穷小. 

3.若，其中在区间上二阶可导且，则（     ）.

（A）函数必在处取得极大值；

（B）函数必在处取得极小值；

（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；

（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。

（A）   （B）（C）  （D）.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

4.                       .

5.                   .

6.                 .

7.                      .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

8.设函数由方程确定，求以及.

9.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.

10.求微分方程满足的解.

四、 解答题（本大题10分）

11.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

12.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.

(1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

13.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.

14.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）

解答

  一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D  2、A  3、C  4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. . 6..7.   .   8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.解：方程两边求导

，

10.解：

11.解：

12.解：由，知。

  ，在处连续。

13.解：

    ，

四、 解答题（本大题10分）

14.解：由已知且， 

    将此方程关于求导得        

特征方程：    解出特征根：

其通解为                        

代入初始条件，得    

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：

由于切线过原点，解出，从而切线方程为：

则平面图形面积

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16.证明：

故有：

  证毕。

证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且

由题设，有，

有，由积分中值定理，存在，使即

综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在

和，使及，即.      下载本文