一、填空题

（每空？分，共？分）

1、设f(x)=若f(x)存在,则常数a= .

2、已知向量=(6，2)，=(－4，)，直线L过点A(3，－1)且其方向向量与向量

+2垂直,则直线L的方程为 .

3、某工业区2005年底有厂房10万平方米，计划从2006年起，每年拆除0.2万平方米旧厂房.假定该工业区每年新增

加厂房数量是上年年底的10%，若到2008年底该工业区的厂房数量在［k,k+1］（k∈N *）内，则k= 万平方

米.

4、设函数f(x)的定义域为R.若存在与x无关的正常数M，使｜f(x)｜≤M｜x｜对一切实数x均成立，则称f(x)为有

界泛函．在下列函数中：①f(x)=2x，②g(x)=x2，③h(x)=2x，

④v(x)=xsinx；属于有界泛函的有_________________．（写出所有满足要求的标号）

二、选择题

（每空？分，共？分）

5、已知集合M={0,1,2},N={x|x=a2,a∈M},则集合M

∩N等于

A． B．{1} C．{0} D．{0,1}

6、设函数y=f(x)的反函数为y=f

－1(x),若f(x)=2x,则f－1()的值为

A． B．1 C．

D．－1

7、下列图象表示的函数在x=x

处连续的是

A ．①

B．②③C．①④

D．③④

8、已知a>b>0,e1、

e2

分别为圆锥曲线+=1和-=1的离心率,则lge1+lge2的值

A．一定是正数 B ．一定是零 C．一定是负数 D．以上答案均不对

9、设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

A．若与所成的角相等，则 B．若，，则

C．若，

，则 D．若，，则

10、已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)为奇函数，则φ的一个取值为

A．0 B．－ C

． D．π11、在△ABC中，D在直线BC

上，且

=4=r－

s,则s+r等于

A．0 B

．C ．D．3

12、已知F1（－1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线L交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为

A ．

B ．

C ．

D ．

13

、若曲线在点P处的切线平行于直线y＝3x，则点P的坐标为

A．（0，1） B．（－1，2） C．（－1，－3） D．（1，0）

14、已知函数f（ｘ）＝Ａsin（ωｘ＋φ）（Ａ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的导函数y=f′(x)图象如图所示，则f（ｘ）的表达式为

A．4sin（2ｘ＋π） B．2sin（2ｘ＋π） C．4sin（2ｘ＋π D．2sin（2ｘ＋π）

15

、等差数列的前n项和为S n

，已知，则

A．n=5时，S n有最大值 B．n=6时，S n有最大值C．n=5时，S n有最小值 D．n=6时，S n有最小值16、已知直平行六面体ABCD―A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD＝60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为

A ．

B ．

C ．

D ．

三、计算题

（每空？分，共？分）

17、在△A BC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c

，已知向量=(2sin A，－1)，

=(sin A，1+cos A)，满足⊥，b+c =．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sin(B +)的值．

18、若函数f(x)= sin2ωx－sinωx cosωx(ω＞0)的图象与直线y=m (m为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若点A（x0,y0）是y=f(x)图象的对称中心，且x0∈［0,］,求点A的坐标.

19、如图，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

（Ⅰ）求点B到平面A1C1CA的距离；

（Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；

（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由

.

20

、如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为

．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底

是半椭圆的短轴，上底

的端点在椭圆上，记

，梯形面积为．

（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（Ⅱ）求面积的最大值．

21

、在数列中，

，．

（Ⅰ）证明：数列

是等比数列；（Ⅱ）求数列的前

项和；

（Ⅲ）若

对任意皆成立，求实数λ的最小值．

22、已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件：

①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3，且f(1)=4；

②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)－3．

（Ⅰ）求f(0)的值；

（Ⅱ）求证：f(x)≤4；

（Ⅲ）证明：f()≤+3(n∈N*)；

（Ⅳ）当x∈(］(n=1，2，3，……)时，试证明f(x)＜3x+3．

参

一、填空题

1、-2

2、2x－3y－9=0

3、12

4、①④

二、选择题

5、Ｄ

6、Ｄ

7、Ａ8、Ｃ

9、Ｄ

10、Ｂ

11、Ｃ

12、Ａ

13、Ｄ

14、Ｂ

15、Ｃ

16、Ａ

三、计算题

17、解:

（Ⅰ）由⊥得2sin2A－1－cos A=0,

即2cos2A+cos A－1=0.∴cos A =或cos A=－1.

∵A是△AB C的内角，cos A=－1舍去，∴A

＝.

（Ⅱ）∵b+c

=,由正弦定理，sin B +sinC=sin A =.

∵B+C =,∴sin B +sin(-B )=. ∴cos B +sin B =,即sin(B +)=. 18、解:（Ⅰ）f(x )=［(1-cos2ωx )-sin2ωx］

=-(sin2ωx+cos2ωx )+=-sin(2ωx +)+. ∵y=f(x)的图象与y= m相切,

∴m为f(x)的最大值或最小值,

即m =或m =.

（Ⅱ）又∵切点横坐标依次成公差为的等差数列,

∴f(x)

最小正周期为.又T ==,ω＞0,∴ω=2, 即f(x )=-sin(4x +)+. 令sin(4x +)=0,则4x0+=kπ(k∈Z),x0=-. \

由0

≤-

≤π及k∈Z.得k=1,2,3.

因此对称中心为

(π, )、(π,)、(π,).19、解：（Ⅰ）∵A1B1C1－ABC为直三棱住∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC ∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA，

∴BC长度即为B点到平面A1C1CA的距离

∵BC=2 ∴点B到平面A1C1CA的距离为2；

（Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM，

∵BC⊥平面ACC1A1∴CM为BM在平面A1C1CA的影，

∴BM⊥A1G ∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角，

平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

，

即二面角B―A1D―A

的大小为；

（Ⅲ）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD 其位置为AC中点，证明如下：

∵A1B1C1―ABC为直三棱柱∴B1C1//BC

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ∵F为AC中点

∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D

同理可证EF⊥BD

∴EF⊥平面A1BD，∵E为定点，平面A1BD为定平面，

∴点F唯一；解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）∵A1B1C1―ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2

AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点

建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）

C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）

D（0，0，1） E（1，0，2），

设平面A1BD

的法向量为

平面ACC1A1

的法向量为=（1，0，0）

即二面角B―A1D―A

的大小为；

（Ⅲ）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD，欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，当且仅当n//，

，

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件即点F为AC中点.

20

、解：（Ⅰ）依题意，以

的中点

为原点建立直角坐标系

（如图），则点的横坐标为．

点

的纵坐标

满足方程，

解得

，

其定义域为．

（Ⅱ）记

，则．

令

，得

．因为当

时，

；当时，

所以是的最大值．

因此，当

时，

也取得最大值，最大值为．

即梯形面积

的最大值为．

21

、（Ⅰ）证明：由题设，得

，．

又

，所以数列

是首项为

，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知

，于是数列的通项公式为

．

所以数列的前

项和．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知S1=2，S2=8，S3=27，∴

得，得；

猜想实数λ的最小值为4

；下面证明对任意的

，：

∵

所以不等式

，对任意皆成立，

∴实数λ的最小值为4．

22、（Ⅰ）解:令x1=x2=0,由①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,

∴f(0)≥3.

又由②得f(0)≥2f(0)-3,

即f(0)≤3;

∴f(0)=3.

（Ⅱ）证明:任取x1、x2∈［0,1］,且设x1＜x2,

则f(x2)=f［x1+(x2-x1)］≥f(x1)+f(x2-x1)-3, ∵0＜x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥3,

即f(x2-x1)-3≥0.∴f(x1)≤f(x2).

∴当x∈［0,1］时,f(x)≤f(1)=4.

（Ⅲ）证明:用数学归纳法证明：

f()≤+3(n∈N*).

(1)当n=1时,f()=f(1)=4=1+3=+3,不等式成立；

(2)假设当n=k时,f()≤+3(k∈N*),

由

f()=f ［

+(+)］≥

f()+f(+)-3≥f()+f()+f()-6，

得

3f()≤f()+6≤+9.∴f()≤+3,

即当n=k+1时,不等式成立；

由(1)(2),可知不等式

f()≤+3对一切正整数都成立；

（Ⅳ）由（Ⅲ）,当x∈

(

,］(n=1,2,3,…)时,

3x+3＞3×+3=+3≥f(), …由（Ⅱ），x∈（0,1］,f(x)单调递增或者恒为常数，∴f()≤f()，∴f(x)＜f()＜3x+3.下载本文