图形的全等

1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.

观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？

2. 由全等图形类比得出：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。

其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，

它们是对应边；与重合，它们是对应角. 

△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”. 

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

全等三角形的对应边      ，对应角        。

全等三角形的对应边上的中线       ，对应边上的高       ，对应角的角平分线       ；全等三角形的周长       ，面积       。

几何语言： 

∵△ABC≌△DEF  （已知）

∴AB=       ，AC=      ，BC=           （                                     ）

  ∠A=      , ∠C=      ，∠B=    .（                                     ）

练习：

1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。

B

A

E

C

(图6)

解：

A

D

B

E

C

(图7)

2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。

解：

3.判断：

   全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（     ）

   全等三角形的周长相等.（     ）

   周长相等的两个三角形是全等三角形.（     ）

   全等三角形的面积相等.（     ）

   面积相等的两个三角形是全等三角形.（     ）

A

C

D

B

O

4.填空：如图所示，已知△AOB≌△COD，∠C=∠A,AB=CD,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。

5.如图3，已知CD⊥AB于D， BE⊥AC于E,

A

E

C

F

D

B

G

△ABE≌△ACD，∠C=20°,AB=10，AD=4，G为AB延长线上的一点，求∠ABE的度数和CE的长. 

二、三角形的判定定理：边角边公理

定理：两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为"边角边"，符号表示："SAS"

例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）？

例2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．这两个三角形全等吗

例3. 在△ABC和△A′B′C′中（自己画图）

(1)                       (2) 

   ∴( SAS )            ∴(       )

 (3) 

∴(       )

练习1：

1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？

（1）　AC＝DF，　∠C＝∠F，　BC＝EF；

（2）　BC＝BD，　∠ABC＝∠ABD．

2． 如图2，△AOB和△COD全等吗？为什么？

3. 如图，在△ABC中，AB＝AC， AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．

4. 如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，证明：△ABC≌△CDA.

5.如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，证明：△ABD≌ACE.

6. 如图，已知AB=AC，AE=AD，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.

7.已知： AD∥BC，AD＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC≌△CBA吗？如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？

练习2

1.已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，

求证：△ACB≌△ADB

2.已知：AD∥BC，AD=CB

   求证：△ADC≌△CBA

A

D

C

B

F

E

3.已知：AD∥BC，AD=CB，AE=CF

求证：△AFD≌△CEB

A

D

C

B

E

4.已知：EA=EC，ED=EB，

   求证：△AED≌△CEB

A

D

C

B

F

E

5.已知：AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，FD⊥AD，

  求证：△EAB≌△FDC

A

D

C

B

E

1

2

6.已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2

   求证：∠B=∠C

三、三角形的判定定理：角边角定理

定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"

例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？

例2.如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，试说明：△ADF≌△CBE.

例3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于与BE交于F，若BF＝AC，试说明：△ADC≌△BDF.

例4.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：

(1)△BDA≌△AEC；

(2)DE＝BD＋CE.

练习：

1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS”，说明△AOB≌△DOC

2. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD

3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD

4. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，Ａ

D

F

C

B

E

两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是多少？

四、三角形的判定定理：角角边定理

定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角角边"，符号表示："AAS"

例1.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠BDC=∠CEB，求证：BE=CD．

例2.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，

AD∥BC.试证明AD=CB.

A

B

C

D

E

F

例3.如图，是上一点，交于点，，．

求证：．

例4. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,

求证:△ABD≌△AED.

练习1：

1.如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E。求证：AD=AE

2．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD

3．已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判断AD是△ABC的中线

还是角平分线？请说明理由

4．如图，AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC

5．如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE。

6.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE

求证；AB=AC，AD=AE；

练习2：

1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（   ）

第4题

 A．4 厘米  B．5厘米  C．6 厘米  D．无法确定     

D

C

A

B

A

D

B

C

O

第3题

第1题                第2题

2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（     ）

A．120°   °   °   °.

3．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为

______________________，对应边分别为_____________________.

4.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）                   

A

B

C

D

E

5.如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.

6.如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。

求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

五、三角形的判定定理：边边边公理

定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“SSS”

例1. 如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD， 求证：OB=OC

例2. 如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF

例3. 如图，AB=CD，BE=DF, AF=CE,求证：BE∥DF

练习1：

1.如图，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，根据(S、S、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。

第1题                                   第2题

2. 已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。

3. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．

4.△ABC中， AB=AC，求证：∠B=∠C   （自己画图）  

练习2：

1． 在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是(      ) 

A．BC=B’C’   B．∠A=∠A’    C．AC=A’C’   D．∠C=∠C’

2． 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（     ） 

    A．45°     B．135°    C．45°或135°     D．都不对

3．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（　　　）

A．AB＝3，BC＝4，AC＝8；         B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；

C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；   D.∠C＝90°，AB＝6

4．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12°，则这个三角形是＿＿三角形．

5．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿．

6．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．

7．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．

  E

A

B

  D

F

C

8． 已知，如图，D是△ABC的边AB上一点, DF交AC于点E, DE=FE, FC∥AB, 

求证：AD=CF．

9. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。

9． 阅读下题及证明过程：已知：如图， D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．

证明：在△AEB和△AEC中， 

∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，

∴△AEB≌△AEC……第一步

∴∠BAE=∠CAE……第二步

C

A

B

D

E

问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

六、勾股定理

一.观察:

【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的

图案是根据一个着名的数学定理设计的。观察这枚邮票上

的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？

二.体会:

1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？

2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在，那么它们的关系是什么？

3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢？请写出你发现的规律.

三.思考:

勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案,你能从中说出勾股定理的推导过程吗

1. 以a、b 为直角边，c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形．

2. 用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形．

3．用二种方法分割边长为a+b的正方形.

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

符号语言：

1、判断题

（1)若a、b、c是三角形的三边，则.                 （      ）

 (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.              （      ）

2、求下列直角三角形中未知边的长．

3．下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少？

(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)

4．受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高

5．如图，在四边形中，∠，

∠，，求.

练习2：

一、选择题

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为(  ).

（A）30           （B）28        （C）56         （D）不能确定

2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm         （B）8 cm        （C）10 cm        （D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

  （A）25            （B）14            （C）7            （D）7或25

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为(  ) 

（A）13          （B）8           （C）25         （D）

5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） 

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是(  )

（A） 钝角三角形    （B） 锐角三角形   （C） 直角三角形   （D） 等腰三角形.

7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 (  )

（A） 25      （B） 12.5     （C） 9     （D） 

  （第7题）                  （第8题）               （第10题）

二、填空题

8. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.

9. 在直角三角形中，斜边=2，则=______.

10. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.

三、解答题

11. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

12. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

13.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

A

B

C

D

七、勾股定理的逆定理

一．作图

1．画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。（单位：厘米）

A：3、4、3；?? B：3、4、5； C：3、4、6；?? D：5、12、13；

2．测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：

A：________ B：________ C：________ D：________

3．判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。

A：________ B：________ C：________ D：________

4．找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。

A：________________ B：_____________ C：________________ D：_____________

5．猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？

　　你的猜想是_____________。

二．探索

1、操作：

①、以6cm、8cm、10cm三个数为边画一个三角形，再以6cm、8cm两个数为直角边长，画一个直角三角形。

②、把你所画的边长为6cm、8cm、10cm的三角形和6cm、8cm为直角边的直角三角形分别剪下来。

③、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。

2、观察、猜想：

叠合后的两个三角形存在什么关系？你还能得出什么结论呢？

 3、归纳总结：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。

① a

 c

b

符号语言：∵a2+b2=c2 

∴ΔABC为RtΔ 

这个结论与勾股定理有什么关系？

②像(3，4，5)、(6，8，10)、(5,12,13)等

满足a2+b2=c2的一组正整数,通常称为勾股数。

三．实践:

例1．已知：如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12.求图形的面积.

例2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.

四．练习1

1．在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是  (    )

A. a＋b＝c       B. a:b:c＝3:4:5        C. a＝b＝2c         D. ∠A＝∠B＝∠C

2．三角形三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2（a、b都是整数，a＞b），则这个三角形是（   ）.

A.直角三角形          B.锐角三角形          C.钝角三角形         D. 不能确定

3．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状.

3．已知某校有一块四边形空地ABCD,如图现计划在该空地上种草皮,经测量

∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m, 若每平方米草皮需100元,问需投入多少元  

练习2：

一、选择题

1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（      ）.

A．2，3，4     B．5，7，9      C．8，15，17       D．200，300，400

2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（      ）

A

B

C

D

3．三角形的三边长a、b、c，满足,则这个三角形是(      ) . 

    A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形     D. 等边三角形

4．下列结论错误的是（   ）

A.三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；

B.三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；

C.三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形；

D.三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形．

5．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个(  )角.

A．锐角     B．直角      C．钝角       D．不能确定

6．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；⑤、2mn、（m、n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（  ）

A．5组          B．4组        C．3组        D．2组

二、填空题

1．在△ABC中，若，则∠A＋∠C＝______度.

2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为       .

3．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为???????????????? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.

4．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．

5．正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是                   

图1                         图2                   图3

三、解答题

1． 一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

2．已知：如图，△ABC中，AB5cm，BC3 cm，AC4cm，CD⊥AB于D，

求CD的长及△ABC的面积；

2．已知△ABC的三边为,,

对于m、n为任何正整数时（m＞n），你能说明△ABC为直角三角形吗？

4．已知：正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC的上一点，且EC＝BC．

求证：EF⊥AF．

八、平方根（1）

一．回顾

1．口答

(    )=9     (     )=25    (     )=

(    )=16    (    )=81    (     )=0        (     )=121

2．想一想

（1）如果一个数的平方等于2，这个数是几？  

（2）一个数的平方等于5呢？想知道这个数的结果吗

二．理解:

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的a平方根,也称为a的二次方根。

如果，那么就叫做的平方根。

例如: ∵      ∴  是4的平方根

∵ ，  ∴       是的平方根

∵ （+   ），（－   ），∴         是的平方根

1．问题一:

观察下面的式子:

① 12=1,  (-1)2=1

② =, 2=

(1)请你写出一个与上面式子类似的式子;

(2)你发现了什么结论

2．小结：一个正数的平方根有__    _个，它们互为___    ___.

一个正数的正的平方根，记作“”，正数的负的平方根记作“”，这两个平方根合起来记作“”，读作“正、负根号”。

例如：2的平方根记作，4的平方根记作

∵     ∴  是4的平方根，即：

一般地，   ，如等

3．问题二：

（1）9的平方根是什么？5的平方根是什么？

（2）0的平方根是什么？0的平方根有几个？

（3）－4，－8，－36有平方根吗？为什么？

（4）由此，你得到了什么结论

4．平方根的性质：

一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；

0只有1个平方根，它是0本身；

负数没有平方根。

求一数的平方根的运算，叫做开平方

说明：⑴“开平方”就是求一个数的平方根

⑵开平方与平方互为逆运算

三．实践:

例1．求下列各数的平方根：

（1）25；   （2）    （3）15；    （4）

例2．求下列各式中的x的值

(1)         (2)         (3) =36

练习:

一、选择题

1．3的平方根是（    ）

A．3    B．－3        C．±    D． 

2．下列各式正确的是（    ）

A．=1                            B．=

C．=1                        D．=

3．下列各式无意义的是（    ）

A．－            B．            C．            D．

4．3－2正的平方根是（    ）

A．        B．        C．3        D．6

5．（－23）2的平方根是(     )

A．±8                B．8        C．－8        D．不存在

6．使有意义的x的值是(     )

A．正数      B．负数     C．0   D．非正数

二、填空题

7．125的平方根是____________，（）2正的平方根是____________．

8．（－1）2的平方根是____________，16正的平方根的平方根是____________．

9．252－242的平方根是__________，的负的平方根是____________．

10．若+=0，则a+b－5=____________．

11．若4x2=9，则x=____________．

12．如果一个数的平方根是与，那么这个数是           。若的平方根是±1，则x=                   。

三、计算：

13．－            14．             15．

16．±           17．               18． 

四．字母x取何值时，下列关于x的代数式有平方根

19．x－3              20．－x2         21．|－x|+1           22．－x2－3

五．求下列各式中x的值．

23．（x）2=16       24．（x+5）2=144      25．3x2－27=0       26．（2x+3）2=16

六．计算题

27．+（y+2）2=0，求x－3+y3的值．

28．请你在数轴上画出表示的点，并简要说出你的画法．

九、平方根（2）

一．回顾

1．如果，那么x＝________；如果，那么________．

2．一个正数的两个平方根为m+1和m－3，则m= ______ ，n= _______.

3．的平方根是______.

4．的最小值是________，此时a的取值是________．

5．想一想：

下面两个问题都与平方根有关，每题都有两个解吗？

问题1：小明家装修新居，计划用100块正方形地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算，每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？

问题2：求4个直角边长为10厘米的等腰直角三角形纸片拼合成的正方形的边长？

二．理解:

正数有2个平方根（），其中正数的正的平方根（），叫做的算术平方根。

如4的算术平方根，记作=2；2的算术平方根，记作.

0只有1个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即。

思考：什么样的数才有算术平方根？

三．实践:

例1．求下列各数的算术平方根

⑴625，⑵，⑶6，⑷，⑸

例2．求的算术平方根

例3．若，

例4．若y=，则2x＋y的算术平方根

四．练习1:

1、下列说法正确的是（     ）

A、-8是的平方根，即，   B、8是的算术平方根，即

C、±5是25的平方根，即±， D、±5是25的平方根，即

2、下列说法错误的是（     ）

A、是3的平方根之一            B、是3的算术平方根

C、3的平方根就是3的算术平方根    D、的平方是3

3、36的倒数的算术平方根的相反数是________．

4、若       ；若         ；

若的算术平方根是2，则x＝_____；

（-4）2的算术平方根是       。

5、解答题

（1）若

（2）已知直角三角形的2条直角边的长分别是3和5，则斜边的长；

练习2:            

一、选择题

1、下列叙述正确的是（　）

A．如果a存在平方根，则a>0                B．=±4

C．是5的一个平方根                    D．5的平方根是

2、“的平方根是”用数学式表示为（　）

A．　　　B．   C．　　D．

3、已知正方形的边长为a，面积为S，则（　）

A．　　B．  C．　　D．

4、下列说法正确的是（　）

A．一个数的平方根一定是两个        B．一个正数的平方根一定是它的算术平方根

C．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

D．一个数的正的平方根是算术平方根

5、一个正数的算术平方根为m，则比这个数大2的数的算术平方根是（　）

A．　　　　B．     C．m2＋2　　　D．m＋2

6、如果a是b的一个平方根，则b的算术平方根是（　）

A．a　 　　B．－a      C．±a 　　D．|a|

7、的算术平方根是（　）

A．－4　　B．4     C．2　　　D．－2

二、解答题

8、求下列各式的值.

9、求下列各式中x的值.

10、计算已知，求x的值.

 14、

十、立方根

一．观察:

1．棱长这1时，正方体的体积是＝1，设体积为2的正方体的棱长为x.依题意列方程得：　　　　　　　　　.

2．做一个正方体的纸盒：

(1)使它的容积为 cm3,正方体的棱长是多少

(2)如果要使正方体纸盒的容积为25cm3,它的棱长应是多少 

二．理解:

1．一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也称为a的三次方根，也就是说，如果＝a，那么叫做a的立方根，记为＝，读作“a的立方根”或a的三次方根.　　　　

例如，4的立方是，所以4是的立方根，记为＝4，又如，x3=2，x是　　的立方根，表示为          ；x3=5，　　是的　  的立方根，表示为             

2．求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

开立方与立方也是互为逆运算。

三．实践:

例1．求下列各数的立方根

(1)-     (2)－            (3)９

例2．下列各数有立方根吗如果有,请写出来;如果没有,请说明理由.

  ,   9,   －3,  －,     0.

归纳：立方根的性质：任何数都有一个立方根,正数的立方根是_____数, 负数的立方根是_____数,0的立方根是______.

例3．讨论：

（1） ()等于多少？()等于多少？

（2）等于多少等于多少？

归纳：()=_____,    =______ .

例4．求下列各式中的x

⑴        ⑵        ⑶ 

五．练习1:

1.填空题

（1 ）27的立方根是       ，25的立方根是          的立方是       。

（2）-5的立方是　　　，-5是　　　的立方根，记为　　　＝　　　。 

（3）1的立方根是          ，-1的立方根是      ，0的立方根是     。

2.选择题

（1）-6的立方根用符号表示，正确的是（     ）

A       B -        C   -          D

（2）若+=0，则x与y的关系是（    ）

A          B           C              D 

3.求下列各式的x.

⑴x3-216=0               ⑵8x3+1=0               ⑶(x+5)3=

六．练习2:

一.选择题

1.下列说法正确的是（      ）.

（A）-的立方根是-4         （B）-的立方根是-8

（C）8的立方根是          （D）的立方根是-3

2.下列各式正确的是（      ）.

（A）     （B）    （C）     （D）

3.下列说法错误的是（      ）.

（A）任何一个有理数都有立方根，而且只有一个立方根     

（B）开立方与立方互为逆运算

（C）不一定是负数       （D）一定是负数

4.下列说法正确的是（       ）.

（A）一个数的立方根一定比这个数小   

(B）一个数的算术平方根一定是正数

（C）一个正数的立方根有两个              

（D）一个负数的立方根只有一个，且为负数

5.的平方根和立方根分别是（      ）.

（A）  （B）， （C）2， （D），

6.如果-b是a的立方根，则下列结论正确的是（      ）.

（A） （B）   （C）  （D）

7.要使成立，则a的取值范围是（      ）.

（A）    （B）    （C）    （D）一切实数

8.平方根和立方根相同的数为a，立方根和算术平方根相同的数为b，则a+b的立方根为（       ）.

 （A）0      （B）1    （C）0或1      （D）

9.已知：那么下列各式中正确的是（      ）.

（A）      （B）

（C）      （D）

二.填空题

的立方根是         ，1的立方根是      ，3的立方根是       ，

的立方根是         ，的立方根是           .

2.如果为正整数，则x的最小整数值是               .

3.的立方根与的立方根的和是              .

4.若x的立方根等于-3，则x等于            .

5.已知，则             .

6.若，则x的最小整数为              .

（14）若x-2是625的算术平方根，则x的立方根是            .

三.求下列各式的值

（1）     （2）     （3）

四.求满足下列各式的未知数x：

（1）        （2）

五.已知x-2的平方根是，的立方根是4，求的值.

十一、实数

一．思考：

问题1.现有一个直角三角形，直角边均为1，斜边为多少？你认识这个数吗？

问题2.大家都知道2是一个有理数，它的算术平方根为多少？还是一个有理数吗？

问题4：为了生活的需要，人们引入了负数，数就由原来的正数和0扩充为有理数。细心的同学会发现还有一些不是有理数的数，和有理数一起又扩充为什么样的数呢？，它们到底是什么数呢？

二.理解 ：

1. 在数轴上画出表示的点：

由的作法可知，１<<2，而在1与2之间没有整数，由的运算过程可知，不是一个分数，是一个无限不循环小数。

2. 无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。

实数的分类：

3.无理数的常见形式:       

 ①π是无理数;

 ②                  带根号且开方开不尽的数; 

 ③ 001…

三．实践：

例1．把下列各数填入相应的集合内：

、、0、、、…

有理数集合{                         }无理数集合{                         }

正实数集合{                         }负实数集合{                         }

例2. 在数轴上表示出表示，的点

例3.比较大小

（１）与　　　　　　（２） 与

例４.设m是的整数部分，n是的小数部分，试求m－n的值．

四．练习1：

1.判断：

(1）无理数都是无限小数（　　）　　　　　　(2）无限小数都是无理数（    ）

（3）两个无理数的和一定是无理数 （  　）　　（ 　　）

 (      )　 　　　　　　　　(6)整数和分数统称为有理数 (     )

2.把下列各数分别填入相应的集合中：

整数集合（                             　　　　　　    ）

分数集合（                          　　　　　　       ）

有理数集合(                        　　　　　　        )

无理数集合(                        　　　　　　        )

五、练习2：

1． 有下列说法：

（1）无理数就是开方开不尽的数；月     （2）无理数是无限不循环小数；

（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。

   其中正确的说法的个数是（      ）

A．1     B．2     C．3      D．4

2．的平方根是（       ）

A．         B．           C．          D．

3．若，则的值是（     ）

A．            B．          C．          D．

4．若，，则（     ）

A．8           B．±8             C．±2           D．±8或±2

二、填空题

5．在，，，，，0，，，中，其中：

整数有                          ；无理数有                          ；

有理数                                              

6．的相反数是          ；绝对值是             。

7．在数轴上表示的点离原点的距离是           。

8．若有意义，则=         。

9．若，则±=        。

10．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是               。

三、解答题

11．计算

（1）；      （2）；       （3） 

12．求下列各式中的x

（1）x2 = 17；                        （2）x2  = 0

13．比较大小，并说明理由：

（1）与6；                       （2）与。

14．写出所有适合下列条件的数：

（1）大于小于的所有整数；   （2）绝对值小于的所有整数。

15．化简：

17．观察，即；  

，即；

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