第一次段考 理科数学试题

                              （满分150分.考试用时120分钟）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1、复数的共轭复数是

A．    B．    C．          D． 

2、设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，

则在内取值的概率为（     ）

A．      B．      C．       D． 

3、若，则等于

A．    B．    C．          D． 

4、若的展开式中，的系数是系数的倍，则的值为（　　）

A         B           C           D  

5、五人并排站成一排，如果必须相邻且在的左边，那么不同的排法共有（  ）种。

A．    B．    C．          D． 

6、某一批花生种子,如果每粒发芽的概率为,那么播下粒种子恰好有粒发芽的概率是(  )

A．    B．    C．          D． 

7、设随机变量X ~ B ( n , p )，且，则的值为（   ）

A．    B．    C．          D． 

8、由和围成的封闭图形的面积是(    )

A．    B．    C．          D． 

9、现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为

A．         B．    C．       D． 

10、在的展开式中，含项的系数为（   ）

A．          B．             C．           D． 

11、将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（   ）

A．种        B． 种         C． 种       D．  种

12、 形如这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为（  ）     

A．    B．    C．          D． 

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13、若，则的值     ;

14、已知是复数，且满足，则________________。

15、展开式中,项的系数为           。（用数字作答）   

16、在区间上随机取两个数，则的概率是____________.

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）

17、  某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布列如下：

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉次的概率。

18、大学毕业生小张到甲、乙、丙三个单位应聘，各单位是否录用他是相互的，其

被录用的概率分别为，，（允许小张被多个单位同时录用)，

(1)求小张没有被录用的概率；

(2)求小张恰被两个单位录用的概率

19、已知.经计算得.

　　（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；

　　（2）用数学归纳法证明你的猜想.

20、已知函数．

（I）求函数的单调递减区间；

（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（III）过点作函数图象的切线，求切线方程．

21、盒子内装有张卡片，上面分别写有数字，每张卡片被取到的概率相等。先从盒子中任取张卡片，记下它上面的数字，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中任取张卡片，记下它上面的数字。设。

（1）求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设“函数在区间内有且只有一个零点”为事件，求的概率。

22、已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.

中山一中2015-2016下学期高二年级期中考试试题

 数学（理科）答案  

   命题人：李德明      审题人：彭彰

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题均为12分，共计70分） 

17.(本题满分12分)  

解（1）由概率分布的性质有:，解得: ——————（分）

的概率分布为

（2）设事件表示“两个月内共被投诉次”，事件表示“两个月内有一个月被投诉次，另外一个月被投诉次”；事件表示“两个月内每月均被投诉次”

则由事件的性得：

故该企业在这两个月内共被消费者投诉次的概率为。————————（ 10 分）

18．解:设分别表示事件“小张被甲单位录取”，“小张被乙单位录取”， “小张被丙单位录取”，

(1) 小张没有被录用的概率为：   ; ————————（ 5 分）

 (2) 小张恰被两个单位录用的概率为： 。————（  分）

答：(1)小张没有被录用的概率是；(2)小张恰被两个单位录用的概率是。————（ 12 分）

19、解：（1）由题意知，，

由此得到一般性结论：（或者猜想也行）. 

————————（分）

（2）证明：①当时，，所以结论成立。————————（  分）

②假设时，结论成立，即，————————（  分）

那么，时， ，————————（  分）

所以当时，结论也成立.由（1）（2）可知，上述结论对都成立，所以猜想成立. ————————（  分）

20、解：（Ⅰ）得

              函数的单调递减区间是；————————（  分）

（Ⅱ）即         

设则 

当时， 单调递减； 当时，单调递增；

最小值实数的取值范围是；  ——————（  分）

（Ⅲ）设切点则即         

设，当时是单调递增函数  

 最多只有一个根，又

由得切线方程是． ————————（  分）

21、解：（1）由题意可知随机变量的可能取值为。

先从盒子中随机任取张卡片，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中任取张卡片的基本事件总数

为————————（分）

当时，摸出的卡片上面分别写着数字，，——-（分）

当时，摸出的卡片上面分别写着数字，，——-（分）

当时，摸出的卡片上面分别写着数字，，——（分）

的分布列为：

的数学期望为：。——————（分) 

(2)随机变量的可能取值为,

当时， ，它没有零点，不符合要求，————————（  分）

当时， ，它的零点分别为，在区间内只有个零点，符合要求。————————---       （分）

当时， ，它的零点分别为，，都不在区间内，不符合要求。————————（  分）

事件相当于，由（1）知，，即所求的概率等于。——————（分）

22、 【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得    

，故，的方程为                   ————————（  分）

     在第一象限的图象对应的函数解析式为，则    

故在点处的切线斜率为，切线的方程为

令得，所以点的坐标为

故线段的长为  。                             ————————（  分）

（Ⅱ）恒过定点，理由如下：

由题意可知的方程为，因为与相交，故

由，令，得，故

设，  由消去得： 

则，                                ————————（  分）

直线的斜率为，同理直线的斜率为

直线的斜率为   ，因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以

即    ————————（分）

整理得：， 因为不经过点，所以，  

所以，即

故的方程为，即恒过定点                 ————————（  分）下载本文