实验三   数值积分与微分

实验目的

1）用MATLAB软件掌握梯形公式、辛普森公式和孟特卡罗方法计算数值积分；

2）通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题。

预备：对数值函数，用辛普森公式计算定积分的程序simp.m:

function s=simp(y,h,m)

s=0;

for k=1:m

   s=s+4*y(2*k);

end

for k=1:(m-1)

   s=s+2*y(2*k+1);

end

s=(s+y(1)+y(2*m+1))*h/3;

实验内容

1.用矩形、梯形(trapz)、和辛普森(simp)三种公式计算由下表数据给出的积分

用MATLAB作积分：

a.矩形法求积分

》y=[0.35 0.6598 0.9147 1.1611  1.3971  1.6212  1.8325];

》s1=sum(y(1:6))*0.2

s1 = 

1.2287

b.梯形法求积分

》s2=trapz(y)*0.2

s2 =

1.3730

    c.用辛普森公式计算积分

》s3=simp(y,0.2,3)

s3 =

1.3743

d.精确值：

各方法结果比较：

    2.选择下面函数用梯形(trapz)、辛普森(quad)和孟特卡罗三种方法计算积分，改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森），改变随机点数目（对孟特卡罗），进行比较、分析。

a.梯形公式计算积分：

为了便于改变区间数，编制函数tpz(n)专用于计算按n个区间的梯形法积分。

function s=tpz(n)

x=linspace(-2,2,n+1);

y=1/sqrt(2*pi).*exp(-x.*x./2);

s=trapz(x,y);

分别用tpz(20)  tpz(30)   tpz(40)计算区间数分别为n=20 n=30 n=40时的结果，并与精确值（用误差函数计算）0.9545比较

b.辛普森法

先编制函数ff( )

function y=ff(x)

y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x*x/2);

分别计算quad(ff,-2,2,0.1)   quad(ff,-2,2,0.01)   quad(ff,-2,2,0.001)并与精确值比较

c.孟特卡罗法

编制程序mt( )如下：（n是随机点的数目）

function s=mt(n)

s=0;

x=-2.+4.*rand(1,n);

y=1/sqrt(2*pi).*exp(-x.*x./2);

s=sum(y)*4/n;

分别计算mt(100)  mt(10000)  mt(1000000)并与精确值比较如下：

6.测得活塞中气体压力P和体积V的一组数据如下：

a.求数值微分，在MATLAB下运行如下命令：

》P=[60 80 100 120 140 160 180]；

》V=[80 69.2 60 52 45 38.6 32.5]；

》pp=spline(V,P)；

》ppd=ppder(pp)；

》dy=ppval(ppd,[60  50]);

dy=

    -2.3341   -2.71

即在V=60, 50(in3)处，V改变1(in3)时P的变化量分别是 -2.3341和 -2.71 (lbf/in2)。

b.求数值积分

》V1=linspace(40,70,1000)；

》P1=spline(V,P,V1)；

》S=trapz(V1,P1)；

S= 

   3.4144e+003

即V从70减至40(in3)时气体作的功是-3414.4 (lbf in)。

10.炮弹射击的目标为一半径100m的圆形区域，当瞄准目标的中心发射时，在众多因素的影响下，弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，x方向和y方向的均方差分别为80m和50m，且偏差在x和y之间的相关系数为0.4。求炮弹命中圆形区域的概率。

用孟特卡罗法计算如下积分

其中Ω是半径为100的圆形区域。

编制如下程序mtc( )

function s=mtc(n)

m=0;ss=0;

for i=1:n

    x=(rand-0.5)*200;

    y=(rand-0.5)*200;

   if x^2+y^2<=100^2

      z=1/(2*pi*80*50*sqrt(1-0.4*0.4))*exp(-0.5/(1-0.4*0.4)*(x*x/00-2*0.4*x/80*y/50+y*y/2500));

      ss=ss+z;

      m=m+1;

   end

end

s=ss*40000/n;

取随机点数n=1000000，计算mtc (1000000)得结果为0.6986

即炮弹命中的概率是69.9%.下载本文