基础巩固强化

1.若a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．不确定

2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)

A.         B.        C.      D. 

3．数列{an}满足其中任何连续的三项之和为20，并且a4＝9，a12＝7，则a2012＝(　　)

A．9       B．7      C．4      D．2

4．设正项等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T10＝32，则＋的最小值为(　　)

A．2        B.        C．2         D. 

已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则·＝(　　)

A．2011       B．－2011      C．0         D．1

5．数列{an}是公差d≠0的等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＝b1，a3＝b3，a7＝b5，则b11等于(　　)

A．a63         B．a36      C．a31         D．a13

6已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则(　　)

A．a6＝b6     B．a6>b6      C．a6已知a>0，b>0，A为a、b的等差中项，正数G为a、b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)

A．ab＝AG     B．ab≥AG    C．ab≤AG      D．不能确定

7．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．

8．已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝5Sn－3，且a1＝1，则{an}的通项公式是_______．

10．已知等差数列{an}的公差大于0，且a3、a5是方程x2－14x＋45＝0的两个根，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝2－an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.

能力拓展提升

12．已知数列{an}、{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，则b2012＝(　　)

A.       B.     C.      D. 

等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为(　　)

A．1      B．－      C．1或－      D．－1或－

13．已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于________．

14．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a＝________.

15．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值．

(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝－，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn>2n－.

16．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．

(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.

(2)若a1＝1，证明点P1，P2，…，Pn (n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．

在等差数列{an}中， 设Sn为它的前n项和，若S15>0，S16<0，且点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为－2的直线l上，

(1)求a1的取值范围；

(2)指出，，…，中哪个值最大，并说明理由．

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则a6＋a7>0是S9≥S3的(　　)

A．充分但不必要条件      B．必要但不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

2．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和是100，那么a6·a15的最大值是(　　)

A．25      B．50      C．100      D．不存在

3．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　)

A.      B．4     C．2      D. 

4．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.则下列命题中为真命题的是(　　)

A．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列

B．若对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列

C．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列

D．若对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列

5．小正方形按照下图中的规律排列：

每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论：

①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an＝an－1＋n(n∈N*)，其中正确的为(　　)

A．①②④       B．①③④       C．①②          D．①④

6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为______．

7．已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

8．已知f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn(n为正偶数)且{an}为等差数列，f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f与3的大小，并证明你的结论．

9．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．

(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；

(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．

[答案]　A     [答案]　C    [答案]　C    [答案]　B

[答案]　A     [答案]　A    [答案]　B    [答案]　C

[答案]　78ar    [答案]　an＝2n＋1     [答案]　an＝

[解析]　(1)∵a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0，

∴a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2.

∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.

又当n＝1时，有b1＝S1＝，∴b1＝，

当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)，

∴＝(n≥2)．

∴数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，

∴bn＝b1qn－1＝.

(2)由(1)知，cn＝anbn＝，

∴Tn＝＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋…＋＋，②

①－②得Tn＝＋＋＋…＋－

＝＋2(＋＋…＋)－，

整理得Tn＝1－.

[解析]　(1)∵当n＝1时，2S1＝2－a1，∴2a1＝2－a1，∴a1＝；

当n≥2时，

两式相减得2an＝an－1－an(n≥2)，

即3an＝an－1(n≥2)，又an－1≠0，∴＝(n≥2)，

∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．

∴an＝·()n－1＝2·()n.

(2)由(1)知bn＝2·()n＋n，

∴Tn＝2[＋()2＋()3＋…＋()n]＋(1＋2＋3＋…＋n)

＝＋＝1－()n＋.

[答案]　C    [答案]　C    [答案]　－1    [答案]　28    [答案]　 

[解析]　(1)S1＝a(S1－a1＋1)，∴a1＝a，

当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，

Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，

两式相减得an＝a·an－1，＝a，

即{an}是等比数列，∴an＝a·an－1＝an.

(2)由(1)知an＝an，Sn＝，

∴bn＝(an)2＋an

＝，

若{bn}为等比数列，则有b＝b1b3，

而b1＝2a2，b2＝a3(2a＋1)，b3＝a4(2a2＋a＋1)，

故[a3(2a＋1)]2＝2a2·a4(2a2＋a＋1)，解得a＝，

再将a＝代入，得bn＝()n成立，

所以a＝.

(3)证明：由(2)知bn＝()n，

所以cn＝－

＝＋＝2－＋，

所以cn>2－＋，

Tn＝c1＋c2＋…＋cn

>(2－＋)＋(2－＋)＋…＋(2－＋)＝2n－＋>2n－.

[解析]　(1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，

∴q＝＝＝＝＝3，即公比q＝3.

(2)证明：∵Sn＝na1＋d，

∴＝a1＋d＝1＋d.

∴点Pn在直线y＝1＋d上．

∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为的直线上．

此直线方程为y－1＝(x－1)．即dx－2y＋2－d＝0.

[解析]　(1)由已知可得＝－2，则公差d＝－2，

∴

∴14(2)最大的值是，

∵S15＝15a8>0，S16＝8(a8＋a9)<0，

∴a8>0，a9<0，即S8最大．

又当1≤i≤8时， >0；当9≤i≤15时， <0，

∵数列{an}递减，

∴≤≤…≤，≥≥…≥⇒最大．

[答案]　A    [答案]　A    [答案]　C   [答案]　A   [答案]　D   [答案]　2500

[解析]　(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx＋c，

则f ′(x)＝2ax＋b＝6x－2，∴a＝3，b＝－2，

∵f(x)过原点，∴c＝0，∴f(x)＝3x2－2x.

依题意得Sn＝3n2－2n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，a1＝S1＝1适合上式．

∴an＝6n－5(n∈N*)．

(2)∵an＝＋＋＋…＋，

∴an－1＝＋＋＋…＋(n≥2)．

相减得＝6，∴bn＝6·2n(n≥2)．

b1＝2a1＝2，

∴bn＝

∴Tn＝2＋6(22＋23＋…＋2n)＝3·2n＋2－22.

[解析]　由f(1)＝n2，f(－1)＝n得，a1＝1，d＝2.

∴f＝＋32＋53＋…＋(2n－1)·n，

两边同乘以得， f＝2＋33＋…＋(2n－3) n＋(2n－1) n＋1，

两式相减得， f＝＋22＋23＋…＋2n－(2n－1) n＋1＝＋－(2n－1).

∴f＝3－<3.

 [解析]　(1)证明：先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2(2)(ⅰ)假设{xn}是递增数列，由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.

由x1由xn对任意n≤1都有xn<，①

注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②

由①式和②式可得1－－xn>0，即xn<1－.

由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有

－xn＋1≤(1－)(－xn)．③

反复运用③式，得

－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1.

xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，知2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．

根据指数函数y＝(1－)n的性质，得2－1≤0，c≤，故0(ⅱ)若0即xn＋1－xn＝－x＋c>0.

即证xn<对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0①当n＝1时，x1＝0<≤，结论成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即xc<，

因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间(－∞，]内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)故xn<对任意n≥1成立．

因此，xn＋1＝xn－x＋c>xn，即{xn}是递增数列．

由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是(0，]．下载本文